第3章 第1课时 空间中的角（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时　空间中的角 基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　两条直线的夹角 1.已知两条异面直线的方向向量分别是μ=(3,1,-2),v=(3,2,1),则这两条异面直线的夹角θ满足(　　) A.sin θ=　　　　　　B.sin θ= C.cos θ=　　　　　　D.cos θ= 2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,AD=4,E为PC的中点,则异面直线PD与BE夹角的余弦值为　　(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 3.已知动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1(不含端点)上,设=λ,若∠APC为钝角,则实数λ的取值范围是(　　) A.　　　　　　B. C.　　　　　　D. 4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=AA1=2. (1)求证:A1C⊥BC; (2)求直线AC1和A1B1夹角的大小. 题组二　直线与平面的夹角 5.若直线l的一个方向向量是m=(1,0,1),平面α的一个法向量是n=(-3,1,3),则直线l与平面α的夹角为(　　) A.0°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.90° 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AB,A1D1的中点分别为E,F,则直线EF与平面AA1D1D夹角的正弦值为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 7.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=2,PA=4,则直线PA与平面DEF夹角的正弦值为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 8.在正三棱柱ABC-A'B'C'中,AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'夹角的正弦值为　　　　.  题组三　平面与平面的夹角 9.已知两个平面的法向量分别为m=(0,1,1),n=(1,-1,0),则这两个平面的夹角为(　　) A.30°　　　　　　B.60° C.60°或120°　　 D.120° 10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则平面A1BC1与平面ACD所成的锐二面角的余弦值为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 11.在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和点(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与xOy平面的夹角为45°,则a=　　　　.  12.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究成果比西方早一千多年,书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,四面体P-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=1,则二面角A-PC-B的余弦值为　　　　.  13.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,AC=A1C=,平面ACC1A1⊥平面ABC,∠ACB=90°. (1)求证:A1C⊥AB; (2)若BC=,求二面角C-A1B-B1的正弦值. 能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　两条直线的夹角 1.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体的上、下底面平行,且均为扇环形(扇环是指圆环被两条半径截得的部分).现有一个如图所示的曲池,它的高为2,AA1,BB1,CC1,DD1均与曲池的底面垂直,底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为90°,则异面直线AB1与CD1夹角的余弦值为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 2.在矩形ABCD中,O为BD的中点且AD=2AB,将△ABD沿对角线BD翻折,使二面角A-BD-C的大小为90°,则直线AO与CD夹角的余弦值为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 3.已知四棱锥P-ABCD,底面是边长为2的正方形,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,AB⊥平面PAD,E是线段PD上的动点(不含端点).若线段AB上存在点F(不含端点),使得异面直线PA与EF的夹角为30°,则线段PE的长的取值范围是(　　) A.　　　　　　B. C.　　　　　 D. 题组二　直线与平面的夹角 4.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AA1=4,P是侧面BCC1B1内的动点,且AP⊥BD1,记AP与平面BCC1B1的夹角为θ,则tan θ的最大值为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 5.如图1,在等腰三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥A'-BCDE.若A'O⊥平面BCDE,则直线A'D与平面A'BC夹角的正弦值等于(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 6.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,点P在A1B1上,且满足 =λ,当直线PN与平面ABC的夹角最大时,λ的值为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 7.如图1,故宫太和殿是中国形制最高的宫殿,其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式,庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式,由一条正脊和四条垂脊组成,因此又称五脊殿.由于屋顶有四面斜坡,故又称四阿顶.如图2,五面体EFABCD的底面ABCD为矩形,AB=2EF=8,AD=6,EF∥AB,EA=ED=FB=FC=5,M,N分别是AD,BC的中点,则直线BF与平面EFCD夹角的正弦值为(　　) 　　　 A.　　　B.　　　C.　　　D. 题组三　平面与平面的夹角 8.在菱形ABCD中,∠ABC=60°,将其沿对角线AC折叠到平面B'AC之后,使得平面B'AC⊥平面ACD(如图),则平面B'CD与平面ACD夹角的正弦值为　　　　.  9.如图所示,四边形AEFB为矩形,AE⊥平面ABCD,BC∥AD,BA⊥AD,AE=AD=2AB=2BC=4. (1)求证:CF∥平面ADE; (2)求平面CDF与平面AEFB的夹角的余弦值. 10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=AC=AA1,AB⊥AC,P为线段BC1上一点. (1)若BP=PC1,求PC与AA1夹角的余弦值; (2)若BP=PC1,求PC与平面ABB1A1的夹角; (3)若平面A1ACC1与平面ACP的夹角为45°,求的值. 答案与分层梯度式解析 4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时　空间中的角 基础过关练 1.C　由已知得μ·ν=3×3+1×2+(-2)×1=9, |μ|=, |ν|=, 所以cos θ=|cos<μ,ν>|=.故选C. 2.B　以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示: 则B(2,0,0),E(1,2,1),P(0,0,2),D(0,4,0), ∴=(0,4,-2), 设异面直线PD与BE的夹角为θ, 则cos θ=. 故选B. 3.C　建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1, 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),设P(x,y,z),x,y,z∈(0,1). 因为=λ,所以,即(x,y,z-1)=λ(1,1,-1),故P(λ,λ,1-λ), 则=(λ-1,λ,1-λ)·(λ,λ-1,1-λ)=3λ2-4λ+1<0,解得<λ<1, 此时不共线,故<λ<1,故选C. 4.解析　(1)证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AC,CC1⊥BC, 又AC⊥BC,AC∩CC1=C,所以BC⊥平面ACC1A1, 所以A1C⊥BC. (2)以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(2,0,0),A1(2,0,2),C1(0,0,2),B1(0,2,2), 所以=(-2,2,0), 设直线AC1和A1B1的夹角为α, 则cos α=, 所以直线AC1与A1B1的夹角为. 5.A　设直线l与平面α的夹角为θ,则θ∈, 所以sin θ=|cos<m,n>|==0, 故直线l与平面α的夹角为0°.故选A. 6.C　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示: 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 则E(2,1,0),F(1,0,2),所以=(-1,-1,2), 易知y轴与平面AA1D1D垂直, 则平面AA1D1D的一个法向量为n=(0,1,0), 设直线EF与平面AA1D1D的夹角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|=. 所以直线EF与平面AA1D1D夹角的正弦值为. 故选C. 7.C　以A为原点,AC,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图, 则A(0,0,0),P(0,0,4),D(0,1,0),E(1,1,0),F(1,0,2), 所以=(1,-1,2), 设n=(x,y,z)为平面DEF的一个法向量, 则 令z=1,可得n=(0,2,1). 设直线PA与平面DEF的夹角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|=. 故选C. 8.答案　 解析　以B为坐标原点,在平面ABC内,过B作BC的垂线为x轴,BC,BB'所在直线分别为y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图, 则B(0,0,0),B'(0,0,2),C'(0,1,2),A,所以, 设平面ABB'A'的一个法向量为n=(x,y,z), 则令x=1,得n=(1,-,0), 设直线BC'与平面ABB'A'的夹角为θ,θ∈, 则sin θ=|cos<,n>|=. 9.B　设这两个平面的夹角为θ,θ∈, 则cos θ=|cos<m,n>|=, 所以θ=,即这两个平面的夹角为60°. 10.C　如图所示,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, 则D(0,0,0),D1(0,0,2),A1(4,0,2),B(4,4,0),C1(0,4,2), 所以=(-4,4,0), 易知平面ACD的一个法向量为=(0,0,2), 设平面A1BC1的一个法向量为n=(a,b,c), 则 令b=1,得c=2,a=1,所以n=(1,1,2), 设平面A1BC1与平面ACD所成的锐二面角为θ,θ∈, 则cos θ=|cos<n,. 故选C. 11.答案　 解析　设点(3,0,0),(0,4,0),(0,0,a)(a>0)分别为A,B,C,则 =(-3,4,0). 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), 则 取z=1,则x=,∴n=. 易得xOy平面的一个法向量为m=(0,0,1), 则|cos<m,n>|=,解得a=(负值舍去). 12.答案　 解析　依据题意建立空间直角坐标系,如图所示: 则A(0,1,0),B(0,0,0),C(1,0,0),P(0,1,1), 故=(0,1,1). 设平面ACP的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), 则取x=1,则n1=(1,1,0). 设平面BCP的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 取y=1,则n2=(0,1,-1). 设二面角A-PC-B的平面角为θ, 由题图可知θ为锐角, 则cos θ=. 13.解析　(1)证明:在△ACA1中,AC=A1C=,AA1=2,则AC2+A1C2=A,∴A1C⊥AC, ∵平面ACC1A1⊥平面ABC,平面ACC1A1∩平面ABC=AC,A1C⊂平面ACC1A1, ∴A1C⊥平面ABC, 又AB⊂平面ABC,∴A1C⊥AB. (2)如图所示,以C为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系, 则A(), ∴,0), 易知平面CA1B的一个法向量为m=(1,0,0), 设平面A1BB1的一个法向量为n=(x0,y0,z0), 则 令x0=,得y0=,∴n=(), 设二面角C-A1B-B1的平面角为θ,θ∈[0,π], 则|cos θ|=|cos<m,n>|=, ∴sin θ=, 故二面角C-A1B-B1的正弦值为. 能力提升练 1.A　建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,2,0),B1(0,1,2),C(1,0,0),D1(2,0,2), 所以=(1,0,2), 设异面直线AB1与CD1的夹角为θ, 则cos θ=|cos<.故选A. 2.C　在平面ABD中,过点A作AE⊥BD,垂足为E, 在平面BCD中,过点C作CF⊥BD,垂足为F. 由题意知,平面ABD⊥平面BCD,且交线为BD, 所以AE⊥平面BCD,CF⊥平面ABD. 设AB=1,则AD=2, 则×AB×AD,可得AE=, 同理可得CF=, 以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则O(0,0,0),A, 所以, 设直线AO与CD的夹角为θ, 则cos θ=.故选C. 3.B　取AD的中点G,连接PG,由题意可建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,1), 所以=(1,0,-1), 设F(1,y,0),0<y<2,=x(1,0,1)=(x,0,x),0<x<1,故E(x-1,0,x),所以=(2-x,y,-x). 又异面直线PA与EF的夹角为30°, 所以||cos 30°, 即2=, 则2(x-1)2=-y2,0<y<2,又|, 所以PE长度的取值范围是. 4.B　如图所示,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则A(3,0,0),B(3,3,0),D1(0,0,4), 所以=(-3,-3,4). 设P(x,3,z),则=(x-3,3,z),所以=(x-3,3,z)·(-3,-3,4)=9-3x-9+4z=0,解得3x=4z, 易知平面BCC1B1的一个法向量为n=(0,1,0), 则sin θ=|cos<,n>|=,θ∈,当x=时,sin θ取得最大值,为,所以cos θ=,tan θ=,此时tan θ的值最大. 故选B. 5.D　取DE的中点H,连接OH,OD,则OH⊥OB,以O为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示. 由题意,知OH=1,DH=2,DO=, ∴OA'=), 又D(1,-2,0),∴), 设直线A'D与平面A'BC的夹角为θ,易得平面A'BC的一个法向量为n=(1,0,0), ∴sin θ=|cos<,n>|=. 6.A　如图,以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz, 则N, 易得平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1). 设直线PN与平面ABC的夹角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|=,∴当λ=时,(sin θ)max=,角θ最大.故选A. 7.C　因为EA=ED,M为AD的中点,所以EM⊥AD, 在矩形ABCD中,AB⊥AD,M,N分别为AD,BC的中点,所以MN∥AB,所以MN⊥AD, 又MN∩EM=M,MN,EM⊂平面EFNM, 所以AD⊥平面EFNM, 又AD⊂平面ABCD,所以平面EFNM⊥平面ABCD. 在平面EFNM中,过F作FH⊥MN,垂足为H, 因为平面EFNM⊥平面ABCD,平面EFNM∩平面ABCD=MN,FH⊂平面EFNM, 所以FH⊥平面ABCD, 如图所示,过点H作SQ∥BC,交AB于S,交CD于Q,以H为坐标原点,HS,HN,HF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 由题意得HN==4, 所以FH=, 则F(0,0,2),B(3,2,0),C(-3,2,0),D(-3,-6,0), 所以=(0,-8,0). 设平面EFCD的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令z=,得n=(-2,0,), 设直线BF与平面EFCD的夹角为θ,θ∈, 则sin θ=|cos<,n>|=, 所以直线BF与平面EFCD夹角的正弦值为. 故选C. 8.答案　 解析　设AC的中点为E,连接B'E,DE, 因为在菱形ABCD中,∠ABC=60°, 所以△BAC和△ACD都是等边三角形, 即△B'AC是等边三角形, 因此B'E⊥AC,DE⊥AC, 因为平面B'AC⊥平面ACD,平面B'AC∩平面ACD=AC,B'E⊂平面B'AC, 所以B'E⊥平面ACD,又DE⊂平面ACD, 所以B'E⊥DE,建立如图所示的空间直角坐标系, 设菱形的边长为2,则C(-1,0,0),D(0,), 所以), 设平面B'CD的一个法向量为m=(x,y,z), 则令z=1,则x=-,y=1,所以m=(-,1,1), 易知平面ACD的一个法向量为), 设平面B'CD与平面ACD的夹角为θ,θ∈, 则cos θ=|cos<m,, 因此sin θ=. 9.解析　(1)证明:∵四边形AEFB为矩形, ∴BF∥AE. 又BF⊄平面ADE,AE⊂平面ADE, ∴BF∥平面ADE. 同理可得,BC∥平面ADE. 又BF∩BC=B,BF,BC⊂平面BCF, ∴平面BCF∥平面ADE. 又CF⊂平面BCF,∴CF∥平面ADE. (2)如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz, 则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),F(2,0,4), ∴=(0,-2,4). 设n=(x,y,z)是平面CDF的一个法向量, 则 令y=2,则x=2,z=1,∴n=(2,2,1). 易知是平面AEFB的一个法向量, ∴|cos<n,. ∴平面CDF与平面AEFB的夹角的余弦值为. 10.解析　以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示. 设AB=1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),C1(0,1,1), ∴=(0,1,0). (1)∵BP=PC1,∴P, ∴. 设PC与AA1的夹角为θ,则cos θ=. (2)设P(a,b,c),由BP=PC1,即得(a-1,b,c)=(-a,1-b,1-c), 可得P(), ∴). 易知平面ABB1A1的一个法向量为n=(0,1,0), 设PC与平面ABB1A1的夹角为α, 则sin α=, ∴PC与平面ABB1A1的夹角为30°. (3)设=(-λ,λ,λ),0≤λ≤1, 则=(1,-1,0)+(-λ,λ,λ)=(1-λ,λ-1,λ). 设平面ACP的一个法向量为m=(x,y,z), 则 取z=λ-1,得m=(λ,0,λ-1), 易知平面A1ACC1的一个法向量为p=(1,0,0), ∵平面A1ACC1与平面ACP的夹角为45°, ∴cos 45°=, 解得λ=,则, ∴P为BC1的中点,∴=1, ∴当平面A1ACC1与平面ACP的夹角为45°时,=1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$