第3章 3.2 空间向量运算的坐标表示及应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　空间向量运算的坐标表示 1.若向量a,b满足a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则a·b等于(　　) A.-1　　　　　　B.-5 C.5　　　　　　 D.7 2.已知a=(1,2,2),b=(-2,1,1),则向量b在a方向上的投影向量为(　　) A. B. C. D. 3.已知{a,b,c}是空间向量的一组基,{a,b+c,b-c}是空间向量的另一组基,若向量ρ在基{a,b,c}下的坐标为(2,3,-1),则向量ρ在基{a,b+c,b-c}下的坐标是(　　) A.(2,-1,-2)　　　　　　B.(2,-1,2) C.(2,1,-2)　　　　　　 D.(2,1,2) 4.以下四组向量在同一平面内的是(　　) A.(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1) B.(3,0,0),(1,1,2),(2,2,4) C.(1,2,3),(1,3,2),(2,3,1) D.(1,0,0),(0,0,2),(0,3,0) 5.若a=(2,3,-1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则a·(b+c)的值为　　　　.  6.已知直线l经过A(-2,1,1),B(1,0,-3)两点,直线l上有一点P,使得,则点P的坐标为　　　　.  题组二　空间向量的平行与垂直 7.已知a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2),若a∥b,则λ和μ的值分别为(　　) A.　　　　　　B.5,2 C.-　　　　　 D.-5,-2 8.已知a=(1,5,-2),b=(m,2,m+1),若a⊥b,则m的值为(　　) A.-6　　　　　　B.-8 C.6　　　　　　 D.8 9.已知向量a=(-1,1,0),b=(1,0,2),且ka+b与a-2b互相平行,则k=(　　) A.-　　　　　　B. C.　　　　　　 D.- 10.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,若棱AD上存在点M,使得B1M⊥MC,则AB长度的取值范围是(　　) A.　　　　　　B. C.　　　　　　D. 11.点A(1,2,1),B(3,3,2),C(1,4,3),若点D在线段AB上,且满足CD⊥AB,则点D的坐标为　　　　.  12.已知 =(-1,4,-1),设a=. (1)证明:△ABC是直角三角形; (2)若(-2a+kb)∥c,求k的值. 题组三　空间向量的长度和夹角 13.若a=(3x,-5,4)与b=(x,2x,-2)(x≠0)的夹角为钝角,则x的取值不可能为(　　) A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 14.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=BC=1,动点P,Q分别在线段C1D,AC上,则线段PQ长度的最小值是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 15.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是线段AD,BC上的动点,且AE=BF,AC与EF交于点G,EF在AB与CD之间滑动,但与AB和CD均不重合.现将四边形EFCD沿直线EF折起,使平面EFCD⊥平面ABFE,在EF从AB滑动到CD的过程中, ∠AGC的大小(　　) A.先变小后变大　　　　　B.先变大后变小 C.不发生变化　　　　　　D.由小变大 16.已知点A(0,1,2),B(1,-1,3),C(1,5,-1). (1)若D为线段BC的中点,求线段AD的长; (2)若=(2,a,1),且=1,求a的值,并求此时向量夹角的余弦值. 17.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AB1⊥BC1,O,O1分别是AC,A1C1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求正三棱柱的侧棱长; (2)求异面直线AB1与BC夹角的余弦值. 答案与分层梯度式解析 3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 基础过关练 1.B　由已知得,a=[(a+b)+(a-b)]=[(-2,-1,2)+(4,-3,-2)]=(1,-2,0), b=[(a+b)-(a-b)]=[(-2,-1,2)-(4,-3,-2)]=(-3,1,2), ∴a·b=1×(-3)-2×1+0=-5. 故选B. 2.B　∵a=(1,2,2),b=(-2,1,1),∴a·b=1×(-2)+2×1+2×1=2, 向量a方向上的单位向量e=, ∴向量b在a方向上的投影向量为e=.故选B. 3.D　因为向量ρ在基{a,b,c}下的坐标为(2,3,-1),所以ρ=2a+3b-c. 设向量ρ在基{a,b+c,b-c}下的坐标是(x,y,z),则ρ=xa+y(b+c)+z(b-c)=xa+(y+z)b+(y-z)c, 所以在基{a,b+c,b-c}下的坐标是(2,1,2).故选D. 4.B　对于A,设(1,1,0)=m(0,1,1)+n(1,0,1),则无解,故A中三个向量不共面; 对于B,因为(2,2,4)=0(3,0,0)+2(1,1,2),故B中三个向量共面; 对于C,设(1,2,3)=p(1,3,2)+q(2,3,1),则无解,故C中三个向量不共面; 对于D,设(1,0,0)=a(0,0,2)+b(0,3,0),则无解,故D中三个向量不共面. 故选B. 5.答案　5 解析　因为b=(2,0,3),c=(0,2,2), 所以b+c=(2,2,5), 又因为a=(2,3,-1), 所以a·(b+c)=2×2+3×2+(-1)×5=5. 6.答案　(-5,2,5) 解析　设P(x,y,z),则=(x+2,y-1,z-1), 又, ∴(x+2,y-1,z-1)=-(3,-1,-4)=(-3,1,4), ∴ ∴点P的坐标为(-5,2,5). 7.A　因为a∥b,所以b=ma(m∈R), 即故选A. 8.D　因为a⊥b,所以a·b=0, 即m+10-2(m+1)=0,解得m=8, 故选D. 9.D　ka+b=(-k+1,k,2),a-2b=(-3,1,-4), 因为ka+b与a-2b互相平行,所以,解得k=-,故选D. 10.C　如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 设AM=x(0≤x≤1),AB=a(a>0), 则M(0,x,0),B1(a,0,1),C(a,1,0), 所以=(a,1-x,0), 因为B1M⊥MC,所以, 所以=-a2+x(1-x)=0, 即a=, 当0≤x≤1,a>0时,a∈, 所以AB长度的取值范围是, 故选C. 11.答案　 解析　设点D的坐标为(x,y,z),则=(x-1,y-2,z-1), 因为点D在线段AB上,且满足CD⊥AB, 所以 解得所以点D的坐标为. 12.解析　(1)证明:∵=(-2,2,1), ∴=(-1,-2,2)·(-2,2,1)=(-1)×(-2)+(-2)×2+2×1=0, ∴,即BA⊥BC, ∴△ABC是直角三角形. (2)∵-2a+kb=(2-2k,4+2k,k-4),(-2a+kb)∥c, ∴,解得k=2. 13.D　由题意得a·b=3x2-10x-8<0,解得-<x<4, 若a与b共线,则,无解,所以a与b不共线,所以-<x<4,结合选项可知D正确. 14.C　建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,2), 设,λ,μ∈[0,1], 则=(1,0,0)+μ(-1,1,0)=(1-μ,μ,0), ∴=(1-μ,μ-λ,-2λ), ∴| = =, ∴当λ=时,线段PQ的长度取得最小值,最小值为. 15.C　设正方形ABCD的边长为1,AE=a(0<a<1),如图所示,以E为坐标原点,EA,EF,ED所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, 则A(a,0,0),C(0,1,1-a),G(0,a,0), 所以=(0,1-a,1-a), 则cos∠AGC=, 所以∠AGC=120°,即∠AGC不会发生变化,故选C. 16.解析　(1)由题意得,D(1,2,1),∴,即线段AD的长为. (2)易知=2-2a+1=1,解得a=1,∴=(2,1,1). ∴cos<, 即向量. 17.解析　(1)设正三棱柱的侧棱长为h. 由题意得A(0,-1,0),B(,0,h),C1(0,1,h),则,1,h).因为AB1⊥BC1,所以=-3+1+h2=0,所以h=(负值舍去).故正三棱柱的侧棱长为. (2)由(1)可知,1,0), 所以|=2, 所以cos<. 所以异面直线AB1与BC夹角的余弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$