第2章 综合拔高练（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

综合拔高练 高考真题练　　　　　 　　　　 　　　　 考点1　椭圆 1.(2023新课标Ⅱ,5)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=(　　) A.　　　B.　　　C.-　　　D.- 2.(2023全国甲,7)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若=0,则|PF1|·|PF2|=(　　) A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.5 3.(2019课标全国Ⅰ,10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(　　) A.+y2=1　　　　　　B.=1 C.=1　　　　　 D.=1 4.(2022全国甲,10)椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 5.(2023全国甲,12)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|=(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 考点2　双曲线 6.(2023全国甲,8)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 7.(2023天津,9)双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为,则双曲线的方程为(　　) A.=1　　　　　　B.=1 C.=1　　　　　　D.=1 8.(多选题)(2022全国乙,11)双曲线C的两个焦点为F1,F2,以C的实轴为直径的圆记为D,过F1作D的切线与C交于M,N两点,且cos∠F1NF2=,则C的离心率为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 9.(2023全国乙,11)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是(　　) A.(1,1)　　　　　　B.(-1,2) C.(1,3)　　　　　　D.(-1,-4) 10.(2022北京,12)已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m=　　　　.  考点3　抛物线 11.(2022全国乙,5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(　　) A.2　　　B.2　　　C.3　　　D.3 12.(多选题)(2023新课标Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　) A.p=2　　　　　　 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切　　　　　　 D.△OMN为等腰三角形 13.(2021北京,12)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为　　　　;△MNF的面积为　　　　.  考点4　圆锥曲线的综合应用 14.(2023新课标Ⅱ,21)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为. (1)求C的方程; (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上. 15.(2023全国甲,20)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4. (1)求p; (2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且=0,求△MFN面积的最小值. 16.(2023全国乙,20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点 A(-2,0)在C上. (1)求C的方程; (2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点. 高考模拟练　　　　　 　　　　 　　　　 应用实践 1.椭圆C:=1(a>b>0)上有两点A,B,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,△ABF1是以F2为中心的正三角形,则椭圆的离心率e=(　　) A.　　　　　　B.-1 C.　　　　　　D.-1 2.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P是抛物线的准线上一动点,作线段PF的垂直平分线l,则直线l与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为(　　) A.{0}　　　B.{1}　　　C.{0,1}　　　D.{1,2} 3.人利用双耳可以判断声源在什么方位,听觉的这种特性叫作双耳定位效应(简称双耳效应).根据声波传到双耳的时间差,可以确定声源P一般在以双耳为左、右焦点的一条双曲线上,若声源P所在的双曲线与它的一条渐近线趋近,则声源P对于测听者的方向偏角α就近似地由该双曲线渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定.一般地,甲测听者的左、右两耳相距约为20 cm,声源P的声波传到甲的左、右两耳的时间差为3×10-5 s,声速为334 m/s,则声源P对于甲的方向偏角α的正弦值约为(　　) A.0.004　　　　　　B.0.04 C.0.005　　　　　　D.0.05 4.已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F的直线l与双曲线E的右支交于B,C两点,且|CF|=3|FB|,点B关于原点O的对称点为点A,若=0,则双曲线E的离心率为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 5.(多选题)一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆围成,如图所示,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的右焦点F(3,0),椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线y=t(0<t<3)与半圆交于点A,与半椭圆交于点B,则下列结论正确的是(　　) A.椭圆的离心率是 B.线段AB长度的取值范围是(0,3+3) C.△ABF面积的最大值是+1) D.△OAB的周长存在最大值 6.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于M,N两点(M在第二象限),过点M作抛物线C的准线的垂线,垂足为M1,若|FM|=|FM1|,|FM|-|FN|=4,则p=　　　　.  7.已知F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以F2为圆心,4为半径的圆与C的一条渐近线切于点P,过F1的直线l与C交于A,B两个不同的点,若C的离心率e=,则下列结论中正确的有　　　　.(填序号)  ①|PF1|=2; ②|AB|的最小值为; ③若|AF2|=7,则|AF1|=13; ④若A,B同在C的左支上,则直线l的斜率k∈. 8.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且过点P(-2,1). (1)求C的方程; (2)若A,B是C上的两点,直线AB与圆x2+y2=2相切,求|AB|的取值范围. 9.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)与椭圆=1的离心率互为倒数,且C的右焦点到C的一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程; (2)直线y=2x+m与双曲线C交于A,B两点,点M在双曲线C上,且+λ(O为坐标原点),求λ的取值范围. 迁移创新 10.阅读下列有关光线的入射与反射的两个现象: 现象(1):光线经平面镜反射满足反射角与入射角相等; 现象(2):光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后经过另一个焦点. 试结合上述现象,回答下列问题: 有一类似于椭圆形台球桌,长轴长为2a,短轴长为2b.将一放置于焦点处的桌球击出,经过球桌边缘的反射(假设球的反射完全符合现象(2))后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为s,则s的值为　　　　(用a,b表示).  答案与分层梯度式解析 综合拔高练 高考真题练 1.C　由已知得F1(-,0), ∵,∴点F1到直线AB的距离为点F2到直线AB的距离的2倍,即=2·,解得m=-或m=-3,经检验,当m= -3时,直线AB与椭圆C没有交点,故m=-. 故选C. 2.B　由椭圆标准方程得a==2. 由=0得∠F1PF2=90°, 所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=16. 由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2, 所以|PF1|·|PF2|=[(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|2+|PF2|2)]=2. 3.B　设|F2B|=x(x>0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x, 由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x, 所以|AF1|=2x. 在△BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2|·|F1F2|·cos∠BF2F1, 即9x2=x2+22-4xcos∠BF2F1①, 在△AF1F2中,由余弦定理得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|·cos∠AF2F1, 即4x2=4x2+22+8xcos∠BF2F1②, 由①②得x=, 所以2a=4x=2,所以b2=a2-c2=2. 故椭圆C的方程为=1.故选B. 4.A　设P(x0,y0),x0≠±a,则Q(-x0,y0),易知A(-a,0),所以kAP·kAQ=,得, 因为P(x0,y0)在C上,所以=1,得),所以,故C的离心率e=. 故选A. 5.B　由椭圆方程知a=3,b=,则c=. 设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a,即m+n=6, 所以2mn=36-(m2+n2)①. 在△F1PF2中,=cos∠F1PF2,即②.将①代入②得m2+n2=21. OP为边F1F2上的中线,故|OP|2=)2= =,所以|OP|=. 6.D　∵e==4. 由图形知与圆相交的渐近线方程为y=x,即y=2x,即2x-y=0. 由已知得圆心坐标为(2,3),半径r=1,∴圆心到直线2x-y=0的距离d=, ∴|AB|=2,故选D. 7.D　如图,易知|PF2|=b=2,|OP|=a,|OF2|=c. 设P(xP,yP), 过点P的渐近线方程为y=x,直线PF2的方程为y=-(x-c), 联立可得xP=, 故P,又F1(-c,0), 所以, 即4a=(a2+2),即a2-2a+2=0, 所以a=,又b=2,所以双曲线的方程为=1.故选D. 8.AC　依题意可设双曲线的焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2. (1)当两个交点M,N分别在双曲线两支上时,设切点为P,连接OP,则OP⊥MN, 易知|OP|=a,|OF1|=c,|PF1|=b, 过点F2作F2Q⊥MN,垂足为Q, 则F2Q∥OP,由相似易知|F2Q|=2a,|QF1|=2b, ∵cos∠F1NF2=,∴sin∠F1NF2=, ∴|NF2|=, ∴|NF1|-|NF2|=|QF1|+|NQ|-|NF2|=2b+=2a,即3a=2b, ∴e=. (2)当两个交点M,N均在左支上时,同(1)易得|NF2|=,|F1Q|=2b, ∴|NF1|=+2b=2a,即a=2b, ∴e=. 故选AC. 9.D　设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,y1≠y2,则AB的中点坐标为,设原点与线段AB的中点的连线的斜率为k,则kAB=, ∵A,B在双曲线上, ∴两式作差整理得kABk=9. 对于A,可得k=1,则kAB=9,∴lAB:y=9x-8,与x2-=1联立消去y,得72x2-2×72x+73=0,Δ=-288<0,错误; 对于B,可得k=-2,则kAB=-,与x2-=1联立消去y,得45x2+2×45x+61=0,Δ=-2 880<0,错误; 对于C,可得k=3,则kAB=3,∴lAB:y=3x,与双曲线的渐近线重合,故lAB与双曲线无交点,错误,故排除A、B、C,故选D. 10.答案　-3 解析　∵双曲线的方程为y2+=1, ∴双曲线的渐近线方程为y=±x, 又∵渐近线方程为y=±x, ∴, ∴m=-3. 11.B　设A(xA,yA),依题意可得F(1,0),由B(3,0),得|BF|=2=|AF|=xA+1, 所以xA=1,代入y2=4x,得yA=2或yA=-2,所以|AB|=,故选B. 12.AC　∵直线y=-(x-1)过焦点=1, ∴p=2,故A正确. 抛物线方程为y2=4x. 由得3(x2-2x+1)=4x,即3x2-10x+3=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1, ∴|MN|=,故B错误. 由对称性,不妨设M在x轴上方,如图,取MN的中点D,过M,N,D分别作l的垂线,垂足分别为M',N',D',则|DD'|=|MN|, ∴以MN为直径的圆和l相切,故C正确. 由B、C选项分析可知M, ∴|OM|=,显然|OM|≠|ON|≠|MN|, ∴△OMN不是等腰三角形,故D错误.故选AC. 13.答案　5;4 解析　设点M的坐标为(x0,y0),则有|MF|=x0+1=6,解得x0=5,所以M的横坐标是5.将x0=5代入y2=4x,得|y0|=2,由题意得S△MNF=. 14.解析　(1)设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),半焦距为c, 由题意知c=2,则a=2, 所以b2=c2-a2=(2)2-22=16, 所以双曲线C的方程为=1. (2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),x1<-2,x2<-2,y1>0>y2,P(x,y), 由题意设过点(-4,0)的直线的方程为x=ty-4,由消去x整理得(4t2-1)y2-32ty+48=0,易知4t2-1≠0,Δ=64×(4t2+3)>0, 则y1+y2=,故y1+y2=y1y2. 易知A1(-2,0),A2(2,0), 则直线MA1:,直线NA2:, 联立消去y得y2,即x=-2=-1,即点P在定直线x= -1上. 15.解析　(1)联立消去x得y2-4py+2p=0. 由题知Δ=16p2-8p>0,且p>0,∴p>, 设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA+yB=4p,yAyB=2p, ∴|AB|=, ∴p=2或p=-(舍). (2)由(1)知C:y2=4x,F(1,0),易知直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2), 联立消去x得y2-4my-4n=0. Δ=16m2+16n>0,∴m2+n>0①, y1+y2=4m,y1y2=-4n, ∴x1+x2=4m2+2n,x1x2=n2, ∵=(x2-1,y2), ∴=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0, 即4m2=n2-6n+1②, ①②联立可得+n>0,解得n≠1, 又n2-6n+1=4m2≥0,∴n≤3-2或n≥3+2. S△MFN=(x1+1)(x2+1) =(x1x2+x1+x2+1) =(2n2-4n+2)=(n-1)2. 又∵n≤3-2或n≥3+2, ∴当n=3-2时,(S△MFN)min=(2-2. 16.解析　(1)设椭圆C的半焦距为c(c>0),由题意知,b=2,又a2=b2+c2,所以a=3,c=. 故C的方程为=1. (2)证明:易知直线PQ的斜率存在且小于0,又直线PQ过点(-2,3),所以设直线PQ的方程为y=kx+2k+3,k<0. 联立消去y,整理得(4k2+9)x2+8k·(2k+3)x+16k(k+3)=0,k<0, 则Δ=[8k(2k+3)]2-4×(4k2+9)×16k(k+3)=-27×64k>0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则x1+x2=-. 因为P(x1,y1),A(-2,0), 所以直线AP的方程为, 令x=0,得M,同理,N, 所以线段MN的中点坐标为, =2k+ =2k+ =2k+ =2k+ =2k+=3, 所以线段MN的中点坐标为(0,3),所以线段MN的中点为定点. 高考模拟练 1.C　设AB边与x轴交于点D,如图, 因为△ABF1是以F2为中心的正三角形, 所以AB⊥F1D,且F2为△ABF1的重心, 由重心性质可得,|AF2|=|F1F2|=2c,则|F1D|=3c, 在Rt△AF1D中,cos∠AF1D=, 所以|AF1|=2c, 由椭圆的定义可得,|AF1|+|AF2|=2a,即2c+2c=2a,即(+1)c=a,则e=.故选C. 2.B　由题意得,焦点为F,准线方程为x=-, 设点P,则PF的中点为. 当m≠0时,直线l的斜率k=, 所以直线l的方程为y-x, 由得y2-2my+m2=0, 因为Δ=4m2-4m2=0, 所以直线l与抛物线只有一个公共点; 当m=0时,线段PF的垂直平分线l为y轴,此时直线l与抛物线只有一个交点. 综上,直线l与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为{1}.故选B. 3.D　设声源所在双曲线的实轴长为2a,焦距为2c,虚轴长为2b, 则2a=3×10-5×334=0.010 02(m),2c=0.2 m, tan,所以, 所以sin α==0.050 1≈0.05.故选D. 4.D　设双曲线的左焦点为F1,连接AF1,BF1,CF1,如图所示, 因为=0,所以AF⊥BF, 又O为FF1和AB的中点, 所以四边形AF1BF为矩形. 设|BF|=t,则|CF|=3t, 由双曲线的定义可得|BF1|=2a+t,|CF1|=2a+3t, 又△CBF1为直角三角形, 所以|BC|2+|BF1|2=|CF1|2,即(4t)2+(2a+t)2=(2a+3t)2,解得t=a或t=0(舍去), 所以|BF1|=3a,|BF|=a, 因为△BFF1为直角三角形,|FF1|=2c, 所以|BF|2+|BF1|2=|FF1|2,即a2+9a2=4c2, 所以,即e=.故选D. 5.ABC　由题意得半圆的方程为x2+y2=9(x≤0), 设半椭圆的方程为=1(a>b>0,x≥0),则b=3,c=3,∴a2=b2+c2=18, ∴半椭圆的方程为=1(x≥0). 椭圆的离心率e=,故A正确. 当t趋近于0时,|AB|趋近于3+3;当t趋近于3时,|AB|趋近于0, ∴线段AB长度的取值范围是(0,3+3),故B正确. 由题意得△ABF的面积S=|AB|×t, 设A(x1,t),x1<0,则, 设B(x2,t),x2>0,则, ∴S=+1),当且仅当9-t2=t2,即t=时等号成立,故C正确. △OAB的周长为|AO|+|OB|+|AB|=3+, ∴当t=0时,△OAB的周长最大,又t的值不能为0, ∴△OAB的周长没有最大值,故D错误. 故选ABC. 6.答案　3 解析　如图所示,过点N作抛物线C的准线的垂线,垂足为N1, 抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|,|FN|=|NN1|, 又|FM|=|FM1|,所以△FMM1是等边三角形, 所以∠FMM1=, 所以直线MN的方程为y=-, 设M(x1,y1),N(x2,y2)(x1<0,x2>0), 联立消去y,得x2+px-p2=0, 所以x1+x2=-p,x1x2=-p2. 由|FM|-|FN|=4,得p=4,解得p=3. 7.答案　①③④ 解析　对于①,已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,即bx-ay=0, 则F2(c,0)到直线bx-ay=0的距离为=b, 连接PF1,因为以F2为圆心的圆与该渐近线相切于点P, 所以|PF2|=b=4, 因为e=,即,所以c=a, 又a2+b2=c2,即a2+16=a2,所以a=3, 所以c=a=5. 在Rt△PF2O中,cos∠PF2F1=, 在△PF2F1中,|F1F2|=2c=10,|PF2|=4, 则-2|F1F2||PF2|·cos∠PF2F1=100+16-2×10×4×=52, 所以|PF1|=2,故①正确; 对于②,当直线l的斜率为0时,A,B两点分别为双曲线的顶点,则|AB|=2a=6, 又因为6<,所以|AB|的最小值不是,故②错误; 对于③,因为|AF2|=7,a+c=8,所以|AF2|<a+c, 所以A在C的右支上,所以|AF1|-|AF2|=2a=6, 所以|AF1|=|AF2|+6=7+6=13,故③正确; 对于④,设直线l的方程为y=k(x+5), 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去y并整理,得(16-9k2)x2-90k2x-225k2-144=0, 因为直线l与双曲线C的左支交于两点, 所以 解得k<-或k>,故④正确. 8.解析　(1)由题意得 所以a=, 所以C的方程为=1. (2)圆x2+y2=2的圆心为(0,0),半径r=. ①当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=或x=-,易得|AB|=2. ②当直线AB的斜率为0时,直线AB的方程为y=或y=-,易得|AB|=2. ③当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线AB的方程为y=kx+t,即kx-y+t=0. 因为直线AB与圆x2+y2=2相切,所以,可得t2=2(k2+1). 由消去y并整理,得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-6=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=-, 所以|AB|= = =2 =2, 而4k2++4≥2+4=8,当且仅当4k2=,即k2=时,等号成立. 所以|AB|=2≤3, 所以2<|AB|≤3. 综上所述,|AB|的取值范围是[2,3]. 9.解析　(1)因为椭圆=1的离心率为, 所以=2①. 因为C的右焦点到C的一条渐近线的距离为,且C的一条渐近线方程为bx-ay=0,右焦点为(c,0), 所以右焦点到渐近线的距离为②, 由①②得a=1,所以双曲线C的方程为x2-=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 由消去y并整理,得x2+4mx+m2+3=0, 则Δ=16m2-4(m2+3)>0,所以m2>1, x1+x2=-4m,x1x2=m2+3. 因为,所以 因为点M在双曲线C上, 所以(2x1+λx2)2-=1, 即4λy1y2=1, 所以4λx1x2-λ(2x1+m)·(2x2+m)+λ2+3=0, 即λ2-4λ+3+8m2λ=0. 当λ=0时,左边=3,右边=0,左边≠右边,不满足题意; 当λ>0时,λ2-4λ+3=-8λm2<-8λ⇒-3<λ<-1,不满足题意; 当λ<0时,λ2-4λ+3=-8λm2>-8λ⇒λ<-3或λ>-1, 所以λ<-3或-1<λ<0. 综上所述,λ的取值范围为(-∞,-3)∪(-1,0). 10.答案　2(a-)或2(a+)或4a 解析　由已知得c=,因为桌球第一次与球桌边缘的接触点可能是长轴的两个端点及除这两个端点外的任一点,有三种情况, 所以s=2(a-c)或s=2(a+c)或s=4a, 即s=2(a-)或s=2(a+)或s=4a. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$