第2章 专题强化练6 圆锥曲线中的范围与最值问题（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

专题强化练6　圆锥曲线中的范围与最值问题　　　　　 　　　　 　　　　 1.设B是椭圆C:+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为(　　) A.　　　D.2 2.若O和F分别为双曲线-y2=1的中心和左焦点,P为该双曲线上的任意一点,则的最小值为(　　) A.2+ 3.设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=4x上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=3|MF|,则直线OM的斜率的最大值为(　　) A. 4.已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),上顶点为A(0,b),直线x=上存在一点P满足()·=0,则椭圆的离心率e的取值范围为　(　　) A.　　　 C. 5.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,若动点P在C的右支上,F1,F2分别为C的左、右焦点,的最小值是2a(其中O为坐标原点),则的最小值为(　　) A.4　　　B.8　　　C.16　　　D.24 6.已知P(2,4)是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,过抛物线C的焦点F的直线与抛物线C交于A,B两点,则|AF|+9|BF|的最小值为(　　) A.24　　　B.28　　　C.30　　　D.32 7.(多选题)已知在平面直角坐标系中,A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-2,0),E(2,0),P为该平面上一动点,记直线PD,PE的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-,设点P运动形成曲线F,M,N是曲线F上位于x轴上方的点,且MA∥NB,则下列说法正确的有(　　) A.动点P的轨迹方程为=1 B.△PAB面积的最大值为 C.|PA|+|PC|的最大值为5 D.|MA|·|NB|的最小值为 8.已知双曲线C:-y2=1的离心率为,过点P(2,0)的直线l与双曲线C交于不同的两点A,B,且∠AOB为钝角(其中O为坐标原点),则直线l的斜率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 9.已知平面直角坐标系中有三个定点A(1,0),F1(-2,0),F2(2,0),动点P满足||=6.若||≤,则点P的横坐标的取值范围是　　　　.  10.已知点A(1,1),F1是椭圆=1的左焦点,P是椭圆上任意一点,则|PF1|+|PA|的取值范围为　　　　.  11.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2. (1)若直线l过点Q(-1,0),且与双曲线C的左支、右支各有一个交点,求直线l的斜率k的取值范围; (2)若点P为双曲线C上一点,求的最小值. 12.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点. (1)求E的方程; (2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程. 答案与分层梯度式解析 专题强化练6　圆锥曲线中的范围与最值问题 1.A　由题意知点B(0,1),设点P(x0,y0), 因为点P在椭圆C上,所以=1, 所以|PB|2=, 而-1≤y0≤1,所以当y0=-时,|PB|取得最大值,最大值为.故选A. 2.B　由题意得O(0,0),F(-,0), 设P(x,y),则-y2=1, 即y2=-1,x∈(-∞,-]∪[,+∞), 又,y), 所以,所以当x=-时,取得最小值,最小值为.故选B. 3.B　由已知得F(1,0),设M(x0,y0),显然当y0<0时,kOM<0,当y0>0时,kOM>0, 因为要求直线OM的斜率的最大值,所以y0>0.如图, 设P(m,n),因为|PM|=3|MF|,所以, 即(x0-m,y0-n)=3(1-x0,-y0), 所以m=4x0-3,n=4y0. 又n2=4m,所以16=4(4x0-3),即=x0, 而y0>0,故kOM=,当且仅当y0=,即y0=时,等号成立, 故直线OM的斜率的最大值为.故选B. 4.C　取线段AP的中点Q,故2=0, ∴FQ⊥AP, 故三角形AFP为等腰三角形,即|FA|=|FP|, 且|FA|==a, 由于点P在直线x=上,∴|FP|≥-c, 即a≥-1,∴e2+e-1≥0, 解得e≥或e≤, 又0<e<1,∴≤e<1, 故选C. 5.B　设P(x0,y0),则=cx0, 当x0=a时,cx0取得最小值ac,则ac=2a,所以c=2. 依题意知 设|PF2|=t(t≥1),则|PF1|=t+2, 所以+4≥2,故选B. 6.D　因为P(2,4)是抛物线C上一点, 所以42=2p·2,所以p=4, 则抛物线C的方程为y2=8x,所以F(2,0). 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为my=x-2, 联立消去x并整理,得y2-8my-16=0, 所以y1+y2=8m,y1y2=-16, 则x1x2=(my1+2)·(my2+2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=4, 所以|AF|+9|BF|=x1+2+9(x2+2)=x1+9x2+20≥2+20=32, 当且仅当x1=9x2且x1x2=4时,等号成立, 故|AF|+9|BF|的最小值为32.故选D. 7.BCD　设点P(x0,y0)(x0≠±2),则k1=, 由k1k2=-,得,整理得=1(x0≠±2), 即动点P的轨迹方程为=1(x≠±2),故A错误; 动点P的轨迹为椭圆F(去掉左、右顶点), 当点P运动到椭圆F的上(或下)顶点时,△PAB的面积最大, 此时S△PAB=,故B正确; 由椭圆的定义得|PA|=2a-|PB|=4-|PB|, 而|PC|-|PB|≤|BC|=1, 当且仅当P,B,C三点共线且点P位于第四象限时等号成立, 所以(|PA|+|PC|)max=4+(|PC|-|PB|)max=5,故C正确; 由椭圆的焦半径公式,得|MA|=(其中α=∠MAE=∠NBE), 则|MA|·|NB|=, 当cos α=0,即α=90°时,|MA|·|NB|取得最小值, 最小值为,故D正确. 故选BCD. 8.A　因为双曲线C:-y2=1的离心率为, 所以,解得m=2, 所以双曲线C的方程为-y2=1. 设直线l:x=ty+2,与双曲线C的方程联立,可得(t2-2)y2+4ty+2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=-, x1x2=t2y1y2+2t(y1+y2)+4=, 因为∠AOB为钝角,所以<0,所以x1x2+y1y2<0,即<0,所以t2-2>0,即t2>2, 所以直线l的斜率k满足k2=, 又A,O,B三点不可能共线,所以k≠0, 故直线l的斜率的取值范围是. 故选A. 9.答案　[0,3] 解析　根据题意得,动点P的轨迹是以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆, 设椭圆方程为=1(a>b>0),则2a=6,所以a=3, 又c=2,所以b2=a2-c2=9-4=5, 所以椭圆方程为=1. 设点P(x,y),则|PA|=, 因为||≤, 所以,解得0≤x≤, 又点P在椭圆上,所以0≤x≤3. 10.答案　[3] 解析　设椭圆=1的右焦点为F2,则F2(2,0),由题知a=2,因为A(1,1),所以|F2A|=, 由椭圆的定义知,|PF1|+|PA|=2a-|PF2|+|PA|=4+(|PA|-|PF2|), 而||PA|-|PF2||≤|AF2|=,当且仅当P,A,F2共线时等号成立, 于是-≤|PA|-|PF2|≤, 因此当F2在P,A之间时,|PF1|+|PA|取得最大值,为5. 当A在P,F2之间时,|PF1|+|PA|取得最小值,为3. 所以|PF1|+|PA|的取值范围为[3]. 11.解析　(1)由题意可知直线l:y=k(x+1),代入双曲线方程,得x2-2k2x-k2-1=0. 要使l与双曲线C的左支、右支各有一个交点, 只需 解得-, 所以斜率k的取值范围为. (2)由题可知F1(-,0). 设P(x,y),则|x|≥2,-x,0-y)·(-6. 因为|x|≥2,所以x2≥4, 所以-6≥-1, 故的最小值为-1. 12.解析　(1)设F(c,0),由条件知,得c=. 又,所以a=2,b2=a2-c2=1. 故E的方程为+y2 =1. (2)当l⊥x轴时,不符合题意, 故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),x1>x2, 将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0, 则Δ=16(4k2-3)>0,即k2>, 可得x1=, 从而|PQ|=. 又点O到直线l的距离d=, 所以S△OPQ=. 设=t,则t>0,S△OPQ=. 因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0,所以当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$