第2章 专题强化练5 轨迹问题（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

专题强化练5　轨迹问题　　　　　 　　　　 　　　　 1.在平面内,|AB|=2a(a为常数,且a>1),动点C满足=-1,则点C的轨迹为(　　) A.圆　　　　　　B.椭圆 C.抛物线　　　　D.直线 2.已知M(-2,0),P是圆N:x2-4x+y2-32=0上一动点,线段MP的垂直平分线交NP于点Q,则动点Q的轨迹方程为(　　) A.=1 C.=1 3.已知M(-2,0),圆C:x2-4x+y2=0,动圆P经过点M且与圆C相切,则动圆圆心P的轨迹方程是(　　) A.x2-=1(x≥1)　　　　 B.-y2=1(x≥) C.x2--y2=1 4.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若,且=1,则点P的轨迹方程是　　　　.  5.圆C:(x-2)2+(y-2)2=4与x轴相切于点A,点B在圆C上运动,则AB的中点M的轨迹方程为　　　 (当点B运动到与点A重合时,规定点M与点A重合);点N是直线x+y=0上一点,则|MN|+|AN|的最小值为　　　　.  6.已知动圆M与y轴相切,且与圆N:(x-3)2+y2=9外切,记动圆M的圆心轨迹为E. (1)求E的方程; (2)设过点O(0,0)且互相垂直的两条直线与E分别交于A,B两点,证明:直线AB过定点. 7.圆O:x2+y2=4与x轴的负半轴和正半轴分别交于A,B两点,MN是圆O中与x轴垂直非直径的弦,直线AM与直线BN交于点P,记动点P的轨迹为E. (1)求E的方程; (2)在平面直角坐标系中,倾斜角确定的直线称为定向直线.是否存在不过点A的定向直线l,满足直线l与轨迹E交于C,D两点时,AC⊥AD?若存在,求直线l的一个方向向量;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 专题强化练5　轨迹问题 1.A　不妨设A(-a,0),B(a,0),C(x,y), 因为=-1,所以(x+a,y)·(x-a,y)=-1, 即(x+a)(x-a)+y2=-1,所以x2+y2=a2-1>0, 所以点C的轨迹为圆,故选A. 2.A　x2-4x+y2-32=0可化为(x-2)2+y2=36, ∴圆N的圆心为N(2,0),半径r=6. ∵M(-2,0),∴|MN|=4. 如图,连接QM,∵Q在线段MP的垂直平分线上, ∴|QM|=|QP|. ∵|QN|+|QM|=|QN|+|QP|=|NP|=r=6>|MN|, ∴根据椭圆的定义,可知点Q的轨迹是以原点为中心,M,N为焦点,6为长轴长的椭圆, ∴a=3,c=2,∴b2=a2-c2=9-4=5. ∴点Q的轨迹方程为=1.故选A. 3.C　圆C:x2-4x+y2=0,即(x-2)2+y2=4,其圆心为C(2,0),半径r=2,设动圆P的半径为R. 若动圆P与圆C相内切,则圆C在圆P内, 所以|PM|=R,|PC|=R-2, 所以|PM|-|PC|=2<|MC|=4, 所以动圆圆心P的轨迹是以M(-2,0),C(2,0)为焦点的双曲线的右支,且a=1,c=2, 所以b=, 所以动圆圆心P的轨迹方程是x2-=1(x≥1); 若动圆P与圆C相外切,则|PM|=R,|PC|=R+2, 所以|PC|-|PM|=2<|MC|=4, 所以动圆圆心P的轨迹是以M(-2,0),C(2,0)为焦点的双曲线的左支,且a=1,c=2, 所以b=, 所以动圆圆心P的轨迹方程是x2-=1(x≤-1). 综上所述,动圆圆心P的轨迹方程是x2-=1. 故选C. 4.答案　x2+3y2=1(x>0,y>0) 解析　由点Q与点P(x,y)关于y轴对称,得点Q(-x,y),设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0, 则=(a-x,-y), ∵x,b=3y,∴x>0,y>0, 又∵=1, ∴·(-x)+3y·y=1, 即x2+3y2=1(x>0,y>0). 故点P的轨迹方程为x2+3y2=1(x>0,y>0). 5.答案　(x-2)2+(y-1)2=1;-1 解析　依题意得A(2,0),C(2,2),因为M为AB的中点,所以CM⊥AM, 所以点M的轨迹是以AC为直径的圆,设其圆心为D, 又AC的中点为(2,1),|AC|=2, 所以点M的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=1, 则D(2,1), 如图,设A(2,0)关于直线x+y=0的对称点为A'(m,n), 则有所以A'(0,-2), 由对称性可知|MN|+|AN|的最小值为|A'D|-1=-1. 6.解析　(1)设动圆圆心M的坐标为(x0,y0), 因为动圆M与y轴相切,所以动圆M的半径为|x0|,且|x0|≠0, 圆N:(x-3)2+y2=9的圆心为N(3,0),半径为3, 因为动圆M与圆N外切, 所以=|x0|+3, 当x0>0时,=x0+3,化简得=12x0, 当x0<0时,=-x0+3,化简得y0=0. 综上,E的方程为y2= (2)证明:由题意可得直线OA,OB的斜率存在且都不为零,不妨设点A在第一象限,如图, 设直线OA的方程为y=kx,则直线OB的方程为y=-x, 联立x≠0,解得 即点A的坐标为, 同理可得,点B的坐标为(12k2,-12k), 当k≠±1时,直线AB的斜率为, 此时直线AB的方程为y+12k=(x-12k2), 整理得y=(x-12),故直线AB过定点(12,0), 当k=1时,A(12,12),B(12,-12),此时直线AB的方程为x=12, 当k=-1时,A(12,-12),B(12,12),此时直线AB的方程为x=12. 综上所述,直线AB过定点(12,0). 7.解析　(1)由题意得A(-2,0),B(2,0), 设M(m,n),N(m,-n),m≠0,m≠±2,则m2+n2=4, 直线PA的方程为y=(x+2),① 直线PB的方程为y=-(x-2),② ①×②,得y2=(x2-4)=x2-4, 所以E的方程为x2-y2=4(x≠±2). (2)当定向直线l的倾斜角为90°时,设直线l:x=t(|t|>2), 由 不妨设C(t,), 由(1)知A(-2,0), 由AC⊥AD得=0,即(t+2,)·(t+2,-=0, 解得t=-2,矛盾. 当定向直线l的倾斜角不为90°时,假设存在定向直线l:y=kx+b, 由消去y,得(1-k2)x2-2kbx-b2-4=0, 当1-k2≠0,Δ=4(b2-4k2+4)>0时, 设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=, 由(1)知A(-2,0), 由AC⊥AD得=0,即(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=(x1+2)(x2+2)+(kx1+b)(kx2+b)=0, 即(1+k2)x1x2+(2+kb)(x1+x2)+b2+4=0, 故(1+k2)+b2+4=0, 化简得k(b-2k)=0, 所以k=0或b=2k, 当k=0时,经验证,满足条件; 当b=2k时,l:y=kx+2k=k(x+2)过点A,不符合题意. 综上所述,当k=0,即直线l的一个方向向量为(1,0)时,AC⊥AD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$