第2章 专题强化练4 直线与圆锥曲线的位置关系（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

专题强化练4　直线与圆锥曲线的位置关系　　　　　 　　　　 　　　　 1.已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)满足0<<1,则直线+y0y=1与椭圆C的位置关系为(　　) A.相交　　　B.相切　　　C.相离　　　D.不确定 2.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(-2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若=0,则k=(　　) A.　　　D.2 3.已知双曲线C:=1的右支上有一点P,经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A,B两点.若点A,B分别位于第一、四象限,O为坐标原点,当P为AB的中点时,||·||=(　　) A. 4.已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,直线l:y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,AB的中点为P,若O为坐标原点,直线OP,AF,BF的斜率分别为kOP,kAF,kBF,且kAF=kBF·kOP,则k=　　　　.  5.已知抛物线C:x2=4y,AB为过C的焦点F的弦,过A,B分别作抛物线的切线,两切线交于点P,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则下列结论正确的有　　　　(填序号).  ①若直线AB的斜率为-1,则|AB|=8; ②若直线AB的斜率为-1,则x0=2; ③点P恒在平行于x轴的直线y=-1上; ④若M(xM,yM)是弦AB的中点,则xM=x0. 6.已知F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P,若|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率e=　　　　.  7.椭圆C1:=1(a>b>0)经过点E(1,1),其右焦点为抛物线C2:y2=2x的焦点F,直线l与椭圆C1交于A,B两点,且以AB为直径的圆过原点. (1)求椭圆C1的方程; (2)若过原点的直线m与椭圆C1交于C,D两点,且),求四边形ACBD面积的取值范围. 答案与分层梯度式解析 专题强化练4　直线与圆锥曲线的位置关系 1.C　因为0<<1,所以0<<2, 由得(=0, 所以Δ=16-2)<0, 所以直线+y0y=1与椭圆C无公共点.故选C. 2.D　由y2=8x知F(2,0).由题意得k≠0. 设直线AB的方程为x=my+2. 由得y2-8my-16=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-16,y1+y2=8m, ∴x1+x2=my1+2+my2+2=8m2+4, x1x2==4. 易知=(x2+2,y2-2), ∴=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=4+16m2+8+4-16-16m+4=0, 化简得4m2-4m+1=0,解得m=,故k==2. 故选D. 3.B　由题意得,双曲线C的渐近线方程为y=±x. 设A,x1>0,x2>0,P(x0,y0),如图, 由P为AB的中点,得x0=, 将点P的坐标代入双曲线方程,得=1,化简得x1x2=4, 所以||·|x1x2=9,故选B. 4.答案　 解析　由已知得F(1,0). 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 则kAF=. 由),即,所以k=-,所以k·kOP=-. 由得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0, 则x1+x2=, 所以kAF+kBF==0, 所以kOP==-1,所以k=. 5.答案　①③④ 解析　易知直线PA的斜率存在,设其方程为y-=k(x-x1),与抛物线方程x2=4y联立,可得x2-4kx+4kx1-=0, 由Δ=16k2-16kx1+4=0得k=, 所以直线PA的方程为y-(x-x1),同理得直线PB的方程为y-(x-x2), 联立 所以交点P,即x0==xM,所以④正确; 根据题意知直线AB的斜率必存在,设直线AB的方程为y=tx+1, 联立消去y并整理,得x2-4tx-4=0, 由根与系数的关系得 所以y0==-1,所以③正确; 当t=-1时,x0==-2,所以②错误; 当t=-1时,根据抛物线的定义可得|AB|=y1-=y1+y2+p=-x1+1-x2+1+2=-(x1+x2)+4=4+4=8,所以①正确. 6.答案　 解析　不妨设过F2与双曲线的一条渐近线y=x平行的直线交双曲线于点P,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a, 结合|PF1|=3|PF2|,可得|PF1|=3a,|PF2|=a, 易知tan∠F1F2P=,所以cos∠F1F2P=,在△PF1F2中,由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2||F1F2|cos∠F1F2P, 即9a2=a2+4c2-2a×2c×,化简得c2=3a2, 所以双曲线的离心率e=. 7.解析　(1)因为抛物线C2:y2=2x的焦点为F,所以椭圆C1的半焦距c=,因为点E(1,1)在椭圆C1:=1上,所以=1,又a2=b2+c2,所以a2=3,b2=,所以椭圆C1的方程为=1. (2)当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+n,A(x1,y1),B(x2,y2),联立可得(2k2+1)x2+4knx+2n2-3=0,则Δ=4(6k2-2n2+3)>0①,x1+x2=-③. 因为以AB为直径的圆过原点,所以=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+n)(kx2+n)=0,化简可得(k2+1)·x1x2+kn(x1+x2)+n2=0,将②③代入,整理得(k2+1)(2n2-3)+ kn·(-4kn)+n2(2k2+1)=0,即n2=k2+1④,将④代入①,得Δ=4(4k2+1)>0恒成立,则k∈R. 设线段AB的中点为M,由,得 S四边形ACBD=2S四边形OACB=4tS△OAB,S△OAB=|n||x1-x2|=|n|·,由),得点C的坐标为(t(x1+x2),t(y1+y2)),则=3,即t=,则S四边形ACBD=4tS△OAB=4·|n|·∈[). 当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=±1,直线CD过AB的中点,即CD为x轴,易得|AB|=2,|CD|=2,则 S四边形ACBD=. 综上,四边形ACBD面积的取值范围为[]. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$