第2章 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

本章复习提升 易混易错练 易错点1　对圆锥曲线方程理解不到位致错　　　　　 　　　　 　　　　 1.在平面直角坐标系中,到点(1,1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是(　　) A.直线　　　　　B.抛物线 C.圆　　　　　　D.双曲线 2.若双曲线E:=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=16,则|PF2| 等于　(　　) A.26或6　　　　　　B.26 C.6　　　　　　D.28 易错点2　忽略圆锥曲线的焦点位置致错 3.若椭圆=1的焦距为2,则实数m的值为　　(　　) A.1　　　　　　B.4 C.1或7　　　　D.4或6 4.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则双曲线的离心率为　　　　　.  易错点3　混淆椭圆与双曲线中a,b,c之间的关系致错 5.已知双曲线=1(b>0)的焦点与椭圆=1的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　) A.4　　　　 B.5 C.3　　　　　　D. 易错点4　求轨迹方程时不能正确剔除不符合题意的点致错 6.已知A(-2,0),B(2,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是3,则点M的轨迹C的方程为　　　　　　.  7.△ABC的三边a,b,c(a>b>c)满足a+c=2b,A,C两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),求顶点B的轨迹方程. 易错点5　忽略直线与圆锥曲线的位置关系中的特殊情况致错 8.过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有(　　) A.1条　　　　　　B.2条 C.3条　　　　　　D.0条 9.过双曲线x2-=1的右焦点F作直线l,交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l有　　(　　) A.1条　　　　　　B.2条 C.3条　　　　　　D.4条 思想方法练　　　　　 　　　　 　　　　 一、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用 1.(多选题)已知θ∈R,则方程x2+3(cos θ)·y2=1所表示的曲线可能为(　　) A.双曲线　　　　　B.抛物线 C.椭圆　　　　　　D.圆 2.已知双曲线=1的左焦点为F,点P在双曲线上且在x轴上方,若线段PF的中点在以坐标原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率为　　　　.  二、数形结合思想在圆锥曲线中的应用 3.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交点为B,且,则|AB|=(　　) A.3　　　　　　B.6 C.9　　　　　　D.12 4.直线3x-2y+6=0与曲线=1的公共点的个数是(　　) A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用 5.已知椭圆C:=1(a>0,b>0),C的上顶点为A,两个焦点分别为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是(　　) A.11　　　B.12　　　C.13　　　D.14 6.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与抛物线交于M,N两点. (1)若l过点F,且|MN|=3p,求l的斜率; (2)若P,且l的斜率为-1,当P∉l时,求l在y轴上的截距的取值范围(用p表示),并证明∠MPN的平分线始终与y轴平行或垂直. 四、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用 7.设F1,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,l在y轴上的截距为1,若|AF1|=3|F1B|,且AF2⊥x轴,则此椭圆的长轴长为(　　) A.　　　B.3　　　C.　　　D.6 8.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F,点M,N在双曲线C上,若四边形OFMN为菱形,则双曲线C的离心率为(　　) A.-1　　　　　　B.-1 C.+1　　　　　　D.+1 9.已知双曲线-y2=1,A(3,0),O为坐标原点,M为双曲线上任意一点,则的最小值是(　　) A.-　　　B.-2　　　C.-　　　D. 答案与分层梯度式解析 本章复习提升 易混易错练 1.A　因为点(1,1)在直线x+2y=3上,所以所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x+2y=3垂直的直线. 易错警示　定点不在定直线上时,平面内到定点和定直线距离相等的点的轨迹是抛物线;定点在定直线上时,平面内到定点和定直线距离相等的点的轨迹是直线. 2.B　由题知a=5,b=12,c=13,由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=10,∴|16-|PF2||=10,解得|PF2|=6或|PF2|=26.又∵|PF2|≥c-a=8,∴|PF2|=26,故选B. 总结反思　(1)对于形如=1的方程,当m,n异号时,其为双曲线方程;当m,n均为正且不相等时,其为椭圆方程. (2)不少同学常把y=ax2(a≠0)这种形式的方程看成是抛物线的标准方程,导致解题错误,其标准方程应为x2=y. (3)在双曲线=1(a>0,b>0)中,若F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,则|PF2|≥c-a,|PF1|≥c+a. 3.D　由题意可得c=1.当椭圆的焦点在x轴上时,9-(m+4)=1,解得m=4,符合题意;当椭圆的焦点在y轴上时,(m+4)-9=1,解得m=6,符合题意.故选D. 4.答案　2或 解析　若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),则渐近线的方程为y=±x,由题意可得,则b=a,可得c=2a,则e==2; 若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),则渐近线的方程为y=±x,由题意可得,则a=b,可得c=a,则e=. 综上可得,e=2或e=. 易错警示　研究含参数的圆锥曲线方程时,要注意判断焦点的位置,如果不能确定焦点的位置,要分情况讨论. 5.D　由题意得4+b2=25-16,∴b2=5,∴b=,因此该双曲线的一条渐近线方程为y=x,即x-2y=0.又双曲线的焦点为(3,0)和(-3,0),所以双曲线的焦点到其渐近线的距离d=.故选D. 总结反思　在椭圆中,a,b,c之间的关系式为a2=b2+c2,而在双曲线中,a,b,c之间的关系式为c2=a2+b2,关系式不能混淆. 6.答案　=1(x≠±2) 解析　设M(x,y),x≠±2,则kAM=, ∵kAM·kBM=3, ∴=3,整理得3x2-y2=12(x≠±2), 即点M的轨迹C的方程为=1(x≠±2). 易错警示　涉及斜率时,往往会忽略斜率为0或斜率不存在的特殊情况,导致所求轨迹含有不符合条件的点. 7.解析　设点B的坐标为(x,y). ∵A(-1,0),C(1,0),a+c=2b, 即|BC|+|BA|=2|AC|, ∴|BC|+|BA|=4>|AC|. 根据椭圆的定义知,顶点B的轨迹方程为=1. ∵a>c,即, ∴x<0. ∵点B不在x轴上, ∴x≠-2. 故顶点B的轨迹方程为=1(-2<x<0). 易错警示　求轨迹问题时,注意是否存在隐含条件,不能扩大或缩小变量的取值范围.本题易忽略题中的条件a>b>c及隐含条件点B在x轴上时,A,B,C三点不能构成三角形. 8.C　易知过点(0,1)且斜率不存在的直线方程为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,与y2=4x联立,得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程有一个解,此时直线与抛物线只有一个公共点;当k≠0时,令Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,此时直线与抛物线只有一个公共点.所以满足题意的直线有3条.故选C. 9.C　若l⊥x轴,则AB为通径,而通径长度正好是4,故存在直线l交双曲线于同支上的A,B两点且|AB|=4,这样的直线只有一条.若l经过双曲线的顶点,则|AB|=2,故存在直线l交双曲线于异支上的A,B两点且|AB|=4,这样的直线有且只有两条.故满足|AB|=4的直线l有3条.故选C. 总结反思　(1)直线与抛物线只有一个交点时,可能是相切的位置关系,也可能是直线与抛物线的对称轴平行或重合. (2)不要认为双曲线同一支上两点连接而成的线段才是弦,左支和右支上的点连接而成的线段也是弦. (3)在过双曲线焦点的弦中,如果弦的端点在同一支上,则通径最短,如果在不同支上,则连接两顶点所得的弦最短. 思想方法练 1.ACD　-1≤cos θ≤1, 由于θ∈R,所以对cos θ的符号和取值进行讨论,从而确定曲线表示的图形.  当cos θ=0时,方程化为x=±1,表示两条直线;当0<cos θ<时,方程化为x2+=1,表示焦点在y轴上的椭圆;当cos θ=时,方程化为x2+y2=1,表示圆;当<cos θ≤1时,方程化为x2+=1,表示焦点在x轴上的椭圆;当-1≤cos θ<0时,方程化为x2-=1,表示焦点在x轴上的双曲线.故选ACD. 2.答案　 解析　由双曲线=1可知a=2,b=,所以c==3,所以F(-3,0). 设线段PF的中点为M,双曲线的右焦点为A, 则|OM|=3,|AF|=6, 点P在双曲线上且在x轴上方,所以分点P在第一象限内和在第二象限内两种情况讨论. 如图,若点P在第一象限内,则|PA|=2|OM|=6,|PF|=|PA|+4=10, 在△PFA中,由余弦定理得cos∠PFA=, 所以sin∠PFA=, 所以tan∠PFA=, 所以直线PF的斜率为; 若点P在第二象限,设P(s,t)(s<0,t>0),则M, 故故直线PF的斜率为. 综上所述,直线PF的斜率为. 思想方法　在解答圆锥曲线相关问题时,应用圆锥曲线的方程、几何性质以及与直线的位置关系解题常遇到多种可能情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合归纳得出问题的正确答案.分类讨论是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题方法,分类时要做到不重复、不遗漏. 3.C　抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)和准线l:x=-1,作图如下: 由,可得|FA|∶|AB|=2∶3,过B作BC⊥l于C,设l与x轴交于D,则|FD|∶|BC|=2∶3, 结合图形可发现三角形ADF与三角形ACB相似,则有对应线段成比例. 因为|FD|=2,所以|BC|=3,所以|FB|=3,所以|AB|=3|FB|=9,故选C. 4.B　考虑x≥0和x<0两种情况,画出曲线和直线,根据图形得到答案. 当x≥0时,曲线=1,即=1,是焦点在y轴上的双曲线的右半部分, 其一条渐近线方程为y=x,直线3x-2y+6=0与该渐近线平行; 当x<0时,曲线=1,即=1,是焦点在y轴上的椭圆的左半部分. 如图所示, 由图可知,直线3x-2y+6=0与曲线=1有2个公共点. 故选B. 思想方法　在解决直线与圆锥曲线问题时要注意数形结合,把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机结合,避免烦琐的计算和推理,实现快速、准确解题. 5.C　因为椭圆的离心率e=,所以a=2c,所以b=c,所以椭圆的焦点在x轴上,如图所示,连接DF2,EF2, 则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c, 所以△AF1F2为正三角形, 又直线DE过F1且垂直于AF2, 所以∠DF1F2=30°, 所以直线DE的方程为y=(x+c), 设D(x1,y1),E(x2,y2), 联立消去y并整理,得13x2+8cx-32c2=0,显然Δ>0,则x1+x2=-, 所以|DE|==6,解得c=,所以a=, 直线DE垂直平分AF2,所以求△ADE的周长等价转化为求△F2DE的周长,而△F2DE的周长可结合椭圆定义快速得出. 易知直线DE垂直平分AF2,所以△ADE的周长等于△F2DE的周长,所以△ADE的周长为4a=13. 故选C. 6.解析　(1)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=,与抛物线方程联立,消去x可得y2=p2,即y=±p,所以|MN|=2p,但|MN|=3p,故直线l的斜率存在,设其为k,易知k≠0,则直线l的方程为y=k(k≠0). 由消去y,得k2x2-(k2p+2p)x+=0, 设M(xM,yM),N(xN,yN),则xM+xN=, 所以|MN|=|MF|+|NF|=xM++p=3p, 利用抛物线的定义进行距离的转化,从而得到与k有关的式子并求解. 解得k=±,所以直线l的斜率为±. (2)设直线l的方程为y=-x+m,M(x1,y1),N(x2,y2). 由消去y,得x2-(2m+2p)x+m2=0, 则x1+x2=2m+2p,x1x2=m2. 由Δ=(2m+2p)2-4m2>0,得m>-.又P∉l,故-+m≠p,所以m≠,从而l在y轴上的截距m的取值范围为. 通过∠MPN与直线PM,PN的倾斜角的关系,将问题转化为两直线斜率之间的关系问题. kPM+kPN= = = = ==0, 所以直线PM,PN的斜率互为相反数,倾斜角互补,从而∠MPN的平分线始终与y轴平行或垂直. 思想方法　转化与化归思想在解析几何中的运用常常体现在以下方面:利用圆锥曲线的定义及几何性质对相关的量进行转化与化归,将一般点或一般图形转化为特殊点或特殊图形,将图形问题转化为代数形式或者代数运算,将代数形式或者代数运算翻译为几何图形语言等. 7.D　由AF2⊥x轴,l在y轴上的截距为1,易知A(c,2),又|AF1|=3|F1B|, ∴由三角形相似可得B,将A,B两点的坐标代入椭圆方程, 构建关于a,b,c的方程组求值. 得可得b2=6, 又|AF2|==2,∴2a=6. 故选D. 8.C　由题意可知|OF|=c,由四边形OFMN为菱形,可得|MN|=|OF|=c,不妨设点M在x轴的上方,易知知M,N关于y轴对称,连接OM(图略),则|OM|=|ON|=|FM|=|OF|,所以△OFM为等边三角形,又点M的横坐标为-,所以M,将其代入双曲线方程可得=1,结合a2+b2=c2,化简可得c4+4a4-8a2c2=0, 建立关于a,c的方程. 两边同除以a4,可得e4+4-8e2=0, 进一步转化为关于e的方程. 解得e2=4±2,因为e>1,所以e=+1,故选C. 9.B　设点M(x0,y0),则x0≤-2或x0≥2,将M的坐标代入-y2=1,得-1, 因为A(3,0),所以=(x0,y0), 所以-3x0-1, 建立f(x)关于x的函数,从而由x的取值范围得出f(x)的范围,即可求得的最小值. 令f(x)=-3x-1,其中x≤-2或x≥2, 二次函数f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=. 当x≤-2时, f(x)单调递减,此时f(x)≥f(-2)=10; 当x≥2时, f(x)单调递增,此时f(x)≥f(2)=-2. 综上所述, f(x)在(-∞,-2]∪[2,+∞)上的值域为[-2,+∞). 因此,的最小值是-2. 故选B. 总结反思　在解决直线和圆锥曲线的有关问题中,常把直线方程和曲线方程联立、化简,得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系,设而不求,整体代换求解.求最值问题时,常常需建立目标函数,然后借助函数的单调性或基本不等式求最值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$