第2章 2.2 双曲线的简单几何性质（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2.2　双曲线的简单几何性质 基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　由双曲线的方程研究其简单几何性质 1.(多选题)已知F1,F2分别是双曲线C:=1的上、下焦点,点P在C上,且C的实轴长等于虚轴长的2倍,则(　　) A.m=2 B.顶点坐标为(±2,0) C.C的离心率为 D.C的渐近线方程为y=±2x 2.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,焦距为6,点M在双曲线C上,且MF⊥AF,|MF|=2|AF|,则双曲线C的实轴长为(　　) A.2　　　B.4　　　C.6　　　D.8 3.已知双曲线C:=1的上、下焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C上,则下列结论正确的是(　　) A.的最大值为4 B.的最大值为2 C.的最小值为-4 D.的最小值为-2 4.若点A(10,2)是双曲线my2-4x2+4m=0上的点,试求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标. 题组二　双曲线的离心率 5.北京冬奥会火种台(如图1)以“承天载物”为设计理念,创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型,其基座沉稳,象征“地载万物”,顶部舒展开阔,寓意迎接纯洁的奥林匹克火种.如图2,一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在直线旋转所成的曲面,尊高50 cm,上口直径为 cm,底座直径为25 cm,最小直径为20 cm,则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为(　　) 　 A.2　　　B. 6.已知椭圆C:=1的离心率与双曲线C':=1(b>0)的离心率互为倒数,则b=(　　) A.2　　　C.4　　　D.6 7.已知A,B分别为双曲线E的左、右顶点,点M在双曲线E上,满足△ABM为等腰三角形,顶角为120°,则双曲线E的离心率为(　　) A. 8.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线上存在一点P,使,求该双曲线的离心率的取值范围. 题组三　双曲线的渐近线 9.已知双曲线C:=1的一个焦点为(0,),则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.y=±x C.y=±2x　　　　　　D.y=±4x 10.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,则其渐近线的倾斜角为(　　) A. C. 11.已知方程=1表示双曲线. (1)求实数m的取值范围; (2)当m=2时,求双曲线的焦点到渐近线的距离. 题组四　由双曲线的简单几何性质求其方程 12.中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线x-4y+2=0上的等轴双曲线的方程是(　　) A.x2-y2=8　　　　　　B.x2-y2=4 C.y2-x2=8　　　　　　D.y2-x2=4 13.已知双曲线C:mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为,虚轴长为4,则C的方程为(　　) A.3x2-4y2=1　　　　　　 B.x2-=1 C.=1 14.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=-x,且焦点到渐近线的距离为1,则双曲线C的标准方程为(　　) A.-y2=1 C.=1 15.在平面直角坐标系xOy中,过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A,若以C的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A,O两点,则双曲线的标准方程为　　　　　　　　.  16.双曲线E:=1(a>0,b>0)的渐近线为菱形OABC的边OA,OC所在的直线(O为坐标原点),点B(2,0)为双曲线的焦点,若∠AOC=120°,则双曲线的方程为　　　　　　.  能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　双曲线的简单几何性质及其应用 1.已知双曲线C:=m(m≠0),则当实数m变化时,这些双曲线有(　　) A.相同的焦点　　　　　　B.相同的实轴长 C.相同的离心率　　　　　D.相同的渐近线 2.直线l过圆M:(x-4)2+y2=1的圆心,且与圆M相交于A,B两点,P为双曲线=1右支上一个动点,则的最小值为(　　) A.-2　　　　　　B.1 C.2　　　　　　 D.0 3.(多选题)如图,F1,F2是双曲线C1:x2-=1与椭圆C2的公共焦点,A是C1,C2在第一象限内的交点,若|F1F2|=|F1A|,则(　　) A.双曲线的渐近线方程为y=±8x B.椭圆的离心率为 C.椭圆的方程为=1 D.△AF1F2的面积为8 4.小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支,O为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知,该双曲线的渐近线互相垂直,且AB与OC垂直,其中C为AB的中点,AB=80 cm,OC=20 cm,若该双曲线的焦点位于直线OC上,则距点O较近的焦点距点O　　　　cm.  5.已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若双曲线上存在一点P,使=e,则的值为　　　　.  题组二　双曲线的离心率 6.双曲线的光学性质:如图①,从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射,反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”,就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分,如图②,其方程为=1(a>0,b>0),F1,F2为其左、右焦点,若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后,满足∠BAD=90°,tan∠ABC=-,则该双曲线的离心率e=(　　) 　 A. C. 7.已知双曲线C:=1(a>0,b>0),A为C的上顶点,B(0,5a).若在C的渐近线上存在一点P,使得∠APB=90°,则C的离心率e的取值范围为(　　) A. C. 8.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,则当C的离心率e=　　　　时,满足sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2.  9.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A、B,点C(0,2b),若线段AC的垂直平分线过点B,则该双曲线的离心率为　　　　.  10.已知双曲线Q:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为,过双曲线的右焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6. (1)求双曲线Q的离心率; (2)求双曲线Q的方程. 11.双曲线C:=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上.当BF⊥AF时,|AF|=|BF|. (1)求C的离心率; (2)若B在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF. 题组三　双曲线的渐近线 12.已知F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F作x轴的垂线,且与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A,B.若|AB|=|AF|,则双曲线C的渐近线方程为(　　) A.y=0 C.y=0 13.已知双曲线Γ:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线y=kx与Γ交于A,B两点(点A在第一象限),线段AF的中点为P,O为坐标原点.若|OA|=|OF|,2|OP|=|OB|,则Γ的两条渐近线的斜率之积为(　　) A.-4-2 C.3-2 答案与分层梯度式解析 2.2　双曲线的简单几何性质 基础过关练 1.CD　由题意得,a2=m,b2=5-m,且a=2b,所以m=4(5-m),解得m=4,故A错误;因为a2=m=4,焦点在y轴上,所以顶点坐标为(0,±2),故B错误;因为a2=4,b2=1,所以c2=5,故离心率e=,故C正确;因为双曲线的焦点在y轴上,所以渐近线方程为y=±x,即y=±2x,故D正确.故选CD. 2.A　把x=c代入=1,得y=±,即|MF|=,因为|AF|=a+c,|MF|=2|AF|,所以=2(a+c),结合a2+b2=c2,得c2-a2=2ac+2a2,又c=3,所以a2+2a-3=0,解得a=1(负值舍去),则2a=2.故选A. 3.D　根据题意,得F1(0,),设P(x,y),x∈R,则-y)·(-x,--y)=x2+y2-6,又y2=4=4+2x2,所以=x2+4+2x2-6=3x2-2,因为x∈R,所以当x=0时,取得最小值-2,没有最大值.故选D. 4.解析　因为点A(10,2)在双曲线my2-4x2+4m=0上, 所以m-4×102+4m=0,解得m=25, 所以双曲线的方程为25y2-4x2+100=0,即=1, 所以双曲线的焦点在x轴上,且a2=25,b2=4,c2=25+4=29, 因此实轴长为2a=10,虚轴长为2b=4,焦距为2c=2,焦点坐标为(,0),顶点坐标为(-5,0),(5,0). 5.B　如图,设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0), 由最小直径为20 cm,可知a=10, 设点A,0<t<50, 则=1, 所以t=32,b=24, 所以c==26,故e=.故选B. 6.B　由椭圆C:=1的离心率与双曲线C':=1(b>0)的离心率互为倒数,且椭圆C:=1的离心率为,得双曲线C':=1(b>0)的离心率为=2,所以b=2.故选B. 7.D　不妨设点M在第一象限内,如图所示, 设双曲线E的方程为=1(a>0,b>0), ∵△ABM是顶角为120°的等腰三角形, ∴|BM|=|AB|=2a,∠MBx=60°, ∴点M的坐标为(2a,a), 又∵点M在双曲线E上, ∴4-=1,整理,得a2=b2,而c2=a2+b2=2a2, ∴e2==2,因此e=.故选D. 8.解析　在△PF1F2中,由正弦定理得,因为,所以. 因为a<c,所以点P在双曲线的右支上, 所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=, 又|PF2|>c-a,所以>c-a,整理得e2-2e-1<0, 所以1<e<1+. 9.C　由题意得,该双曲线的焦点在y轴上,则双曲线C:=1,所以a2=4,b2=-m,c2=()2=5,由c2=a2+b2可得4-m=5,解得m=-1,所以b2=1,即双曲线C的方程为-x2=1,所以该双曲线的渐近线方程为y=±2x.故选C. 10.D　∵双曲线C的离心率e==2,解得(负值舍去), 又双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,即y=±x, 所以其渐近线的斜率为或-,所以其渐近线的倾斜角为.故选D. 11.解析　(1)因为方程=1表示双曲线,所以(4-m)(2+m)>0,解得-2<m<4, 故实数m的取值范围为(-2,4). (2)当m=2时,双曲线的方程为=1. 所以a=, 所以双曲线的焦点为(,0), 易得渐近线方程为y=±x, 故焦点到渐近线的距离d==2. 12.B　因为双曲线的实轴在x轴上且焦点在直线x-4y+2=0上,所以双曲线的焦点在x轴上,令y=0,得x=-2,则c=2.因为双曲线为等轴双曲线,所以a=b,又a2+b2=c2,所以a2=b2=4,所以双曲线的方程为=1,即x2-y2=4.故选B. 13.D　将双曲线方程化为标准形式为=1, 由题意可得 所以C的方程为=1.故选D. 14.A　易知双曲线的右焦点为(c,0), 由题意可得 又c2=a2+b2,∴a2=3,b2=1,∴双曲线C的标准方程为-y2=1.故选A. 15.答案　=1 解析　设右焦点为F(c,0),由题意得双曲线的渐近线方程为y=±x,不妨设A(a,b),由题意得|OF|=|AF|=4,所以c=4,所以(4-a)2+b2=16,又c2=a2+b2,所以a=2,b=2,所以双曲线的标准方程为=1. 16.答案　x2-=1 解析　不妨设A在第一象限内.由题意知OA所在直线的倾斜角为∠AOC的一半,即∠AOB=60°,故=tan 60°=,又点B(2,0)为双曲线的焦点,所以a2+b2=4,所以4a2=4,解得a=1(负值舍去),故b=.所以双曲线的方程为x2-=1. 能力提升练 1.D　当m>0时,方程=m可化为=1,则a=2,双曲线C的焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为,渐近线方程为y=±x;当m<0时,方程=m可化为=1,则a=,双曲线C的焦点在y轴上,实轴长为2,离心率为,渐近线方程为y=±x.所以这些双曲线有相同的渐近线.故选D. 2.D　由题意,得圆M的圆心M的坐标为(4,0),半径为1.设P(x0,y0),x0≥3,则)·()·(-8x0+8,令f(x)=x2-8x+8,其图象开口向上,对称轴为直线x=,因为x0≥3,所以当x0=3时,取得最小值,且最小值为×9-8×3+8=0.故选D. 3.BD　设双曲线的方程为=1(a1>0,b1>0),椭圆的方程为=1(a2>b2>0),则=8,所以a1=1,b1=2,c=3,所以 F1(-3,0),F2(3,0),|F1F2|=6,所以|F1A|=6.由双曲线的定义可得,|F1A|-|F2A|=2a1=2,所以|F2A|=4.由椭圆的定义可得,|F1A|+|F2A|=10=2a2,所以a2=5,所以-c2=16,所以椭圆的方程为=1,所以椭圆的离心率e=,故B正确,C错误;对于A,根据双曲线的方程易知,双曲线的渐近线方程为y=±x,故A错误;对于D,在△AF1F2中,由余弦定理得cos∠F1AF2=,所以 sin∠F1AF2=,所以|AF1||AF2| sin∠F1AF2=,故D正确.故选BD. 4.答案　30-30 信息提取　①灯光的边界类似双曲线的一支;②渐近线互相垂直;③AB=80 cm,OC=20 cm. 数学建模　利用双曲线模型解决问题.先建立平面直角坐标系,设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),根据题意求方程,再根据双曲线的性质求解即可. 解析　以OC所在直线为x轴,垂直于OC的直线为y轴且使O为双曲线的右顶点,建立平面直角坐标系(图略).设该双曲线的方程为=1(a>0,b>0). 因为该双曲线的渐近线互相垂直,所以a=b. 由题意知,=1, 所以a=b=30,又c2=a2+b2,所以c=30, 故距点O较近的焦点距点O(30-30)cm. 5.答案　2 解析　由双曲线方程x2-=1得a=1,c=2,由双曲线的定义得||||=2,因为=e=2,所以由正弦定理得=2,可求得||=2,又||=4,根据余弦定理可得cos∠PF2F1=,所以|·||·cos∠PF2F1=2×4×=2. 6.B　如图所示,连接AF1,BF1,易知F1,A,D共线,F1,B,C共线,AB⊥DF1. 设|AF1|=m,|AF2|=n, 由题意得tan∠ABF1=tan(180°-∠ABC)=-tan∠ABC=,所以|AB|=, 在Rt△ABF1中,|BF1|=, 由双曲线的定义可得 即 在Rt△AF1F2中,,即(3a)2+a2=(2c)2,即4c2=10a2,∴e=. 故选B. 方法点睛　双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质之一,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)有两种常见方法: ①求出a,c的值,代入公式e=求解; ②根据条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2将其转化为关于a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a的最高次幂,转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e的值(取值范围). 7.D　设AB的中点为D,A(0,a),B(0,5a),则D(0,3a), 依题意,以D(0,3a)为圆心,2a为半径的圆与渐近线ax-by=0有公共点,如图, 所以D(0,3a)到渐近线ax-by=0的距离d=≤2a,即3b≤2c,即9b2≤4c2, 即9c2-9a2≤4c2,即5c2≤9a2,即, 所以1<,故e∈. 故选D. 8.答案　 解析　如图,在△PF1F2中,由sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2得|PF1|=3|PF2|, 由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a, 所以|PF2|=a,|PF1|=3a, 在△PF1F2中,∠F1PF2=60°, 由余弦定理,得4c2=9a2+a2-2×3a×a×cos 60°, 整理,得4c2=7a2,所以e2=,即e=. 故当e=时,满足sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2. 9.答案　 解析　因为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B, 所以A(-a,0),B(a,0),|AB|=2a, 又C(0,2b),线段AC的垂直平分线过点B, 所以|BC|=|BA|,即=2a,得b2=a2, 所以c2=a2+b2=a2+a2, 因此e=. 10.解析　(1)∵双曲线Q:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为, ∴,即b=a, ∴c==2a, ∴双曲线Q的离心率e==2. (2)由题意可画出图形,如图所示: CD是该双曲线的一条渐近线y=x,即bx-ay=0. 作AC⊥CD,BD⊥CD,FE⊥CD,垂足分别为C,D,E,则四边形ACDB是梯形. ∵F是AB的中点,∴|EF|==3, 又F(c,0),∴由点到直线的距离公式可得|EF|==b, ∴b=3,又b=, 故双曲线Q的方程为=1. 11.解析　(1)当BF⊥AF时,|BF|=|AF|=a+c, ∵|BF|=, ∴a2+ac=c2-a2, ∴2a2+ac-c2=0,∴e2-e-2=0,即(e-2)(e+1)=0, 又e>1,∴e=2. (2)证明:设B(x,y),x>0,y>0,当x≠c时,tan∠BAF=kAB=,由(1)可知b=a,c=2a, ∴tan 2∠BAF= = ==-kBF=tan∠BFA. ∵∠BAF,∠BFA∈, ∴∠BFA=2∠BAF. 当x=c时,|BF|=|AF|,∠BFA=90°=2∠BAF. 综上,∠BFA=2∠BAF. 12.B　由题意得F(c,0),双曲线C的渐近线方程为y=±x.设点A,B的纵坐标分别为y1,y2,y1>0,y2>0, 所以A(c,y1),将其代入双曲线C的方程中,得=1,所以y1=, 所以|AF|=,易得y2=,所以|BF|=. 因为|AB|=|AF|,所以|BF|=2|AF|,即, 即c=2b,所以a=b,故, 所以双曲线C的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,故选B. 13.B　如图,设双曲线Γ的左焦点为F1,连接AF1, 根据双曲线Γ与直线y=kx的对称性,知|OA|=|OB|. 因为|OA|=|OF|,2|OP|=|OB|,线段AF的中点为P, 所以|AF1|=2|OP|=c,OP⊥AF,又|OF|=c,|OP|=c,所以|PF|=c,|AF|=2|PF|=c. 根据双曲线的定义,知|AF1|-|AF|=2a, 所以c-c=2a, 所以, 所以,所以, 所以双曲线Γ的两条渐近线的斜率之积为-,故选B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$