2.2.2 双曲线的简单几何性质-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

047 课堂检测 固双基 1.已知点P(x,y)的坐标满足√(x-1)2+- 等于8； √(x+1)2+y2=±√2，则动点P的轨迹是 (2)以韬圆 8+5=1长轴的端点为焦点，且 经过点(3，√10)； A.椭圆 B.双曲线 (3)a=b,经过点(3，-1). C.两条射线 D.双曲线的一支 2已知双曲线1(a>0,b>0),A,F,为 其两个焦点，若过焦点F,的直线与双曲线的 同一支相交，且所得弦长IAB1=m,则△ABF 的周长为 A.4a B.4a-m C.4a+2m D.4a-2m 3.已知方程1+m+m21表示双曲线，则m 的取值范围是 A.(-1,+∞)》 B.(2,+∞) C.(-∞，-1)U(2,+∞) D.(-1,2) 4.经过点P(-3,2√7)和Q(-6√2，-7)，且焦点在 y轴上的双曲线的标准方程是 5.求适合下列条件的双曲线的标准方程 (1)两个焦点的坐标分别是(-5,0)，(5,0)， 夯基提能作亚 双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值 请同学们认真完成练案[12] 2.2双曲线的简单几何性质 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.掌握双曲线的简单几何1.学习双曲线的几何性质时，要对比椭圆的几何性质来加深印 性质. 象，同时要注意利用数形结合帮助理解双曲线的几何性质。 2.理解双曲线离心率的定义、2.注意渐近线是双曲线特有的性质，椭圆是封闭曲线，没有渐近 取值范围和渐近线方程. 线，而双曲线有两条渐近线.利用渐近线来画双曲线特别方 3.通过具体实例初步了解直线 便，且较为精确，作出双曲线的渐近线就完全掌握了双曲线的 与双曲线相交的相关问题， 变化趋势. 048 必备知识探新知 知识点 双曲线的几何性质 标准方程 x2y2 2-京=1(a>0,6>0) y2 x2 -京=1(a>0,b>0) y F2 图形 A 范围 y∈R xER 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点 顶点坐标 A1(-a,0),A2(a,0) A(0,-a),42(0,a) 实轴：线段 ,长： 轴 虚轴：线段 ,长： 实半轴长： ,虚半轴长： b 渐近线 y=土一x 离心率 aee(1,+),其中c=√+ a,b,c间 c2= (c>a>0,c>b>0) 的关系 名师点睛(1)双曲线与椭圆的六个不同点： 双曲线 椭圆 曲线 两支曲线 封闭的曲线 顶点 两个顶点 四个顶点 轴 实、虚轴 长、短轴 渐近线 有渐近线 无渐近线 离心率 e>1 0<e<1 a,b,c关系 a2+b2=c2 a2-b2=c2 (2)等轴双曲线是实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y=±x,离心率为2 (3)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双 曲线 049 关键能力 攻重难 。题型探究 规律方法： 题型一由双曲线方程研究其几何性质 由双曲线的标准 例求双曲线9-4：一36的x,y的取值范围、顶点坐标焦点坐标，实 方程求几何性质的四 个步骤 轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 对于非标准形式的双 化标准 曲线方程要先化成标 准形式 (定位置 「根据方程确定焦点 在x轴上还是在y轴上 求参数 写出a2,b的值，由a2+ b=c2得出c2的值 [规律方法] 写性质) 根据上面所求a,b,c 由焦点所在的坐标抽 得出所求的几何性质 》对点训练1 已知双南线写若-1与名-号1，下列说法正确的是 规律方法： 1.由双曲线的几 A.两个双曲线有公共顶点 何性质求双曲线的标 B.两个双曲线焦距相同 准方程，一般用待定 系数法，同样需要经 C.两个双曲线的渐近线不同 历“定位→定式→定 D.两个双曲线的离心率相等 量”三个步骤.当双曲 题型二由双曲线的性质求双曲线的方程 线的焦点不明确时， 例2(0)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2：3，且经 方程可能有两种形 式，此时应注意分类 过点P(√6,2)，求双曲线方程； 讨论，为了避免讨 (2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为？，且经过点M(-3, 论，也可设双曲线方 程为mx2-y2=1(mn >0),从而直接 23),求双曲线方程； 求得. (3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6，求 2.根据双曲线的 双曲线方程， 渐近线方程可设出双 曲线方程.渐近线为y =几x的双曲线方程 m 可设为：上 入（入≠0）：如果两 条渐近线的方程为Ax ±By=0,那么双曲 线的方程可设为Ax2 -B2y2=m(m≠0)： 与双曲线女 共渐近线的双曲线方 ·[规律方法] )对点训练2 入（入≠0）. 已知双曲线过点(4,5)且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方 程是 050 题型三 求双曲线的离心率（或范围） 规律方法： 例3设R月是双线C号-云-1a>06>0)的两个焦点，P是C上 1.求双曲线的离 心率，常常利用已知 点，若1PF,I+IPF2|=6a,且△PFF2的最小内角为30°，则C的离心率 条件列出关于a、b、c 为 P[规律方法] 的等式，利用a2+b =2消去b化为关于 对点训练3 a、c的齐次式，再利 已知F,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠FPF2=60°，IPF,I =31PF21,则C的离心率为 用e=C化为e的方程 a 1 B.③ 求解 C.7 D.13 2.学习双曲线中 题型四弦长及中点弦问题 应注意的几个问题： 例4.已知双曲线的方程为 (1)双曲线是两 41 支曲线，而椭圆是一 条封闭的曲线； 试问：是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线 (2）双曲线只有 方程，如果不存在，请说明理由. 两个顶点，离心率e [分析]不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲 >1; 线的左右两支上，其所在直线的倾斜角不可能是90. (3)等轴双曲线 是一种比较特殊的双 曲线，其离心率为 2,实轴长与虚轴长 相等，两条渐近线互 相垂直； (4)注意双曲线 ·[规律方法] 中a,b,c,e的等量 对点训练4 关系与椭圆中a,b, 过点P(8,1)的直线与双曲线x2-4y2=4相交于A、B两点，且P是线段ABc,e的不同. 的中点，则直线AB的方程为 ●易错警示 忽略对焦点所在轴的讨论 例5.已知双曲线的渐近线方程是y=±，焦距为2v26,则双曲线的标准方 2 规律方法： 中点弦问题： (一)可以将联立方 程为 程组消元后，用判别 [错解] 设双曲线的标准方程为。方1， 式和中点坐标公式求 解：（二)可以用点 b2 差法和中点坐标公式 .由题意得 e 3, fa2=18, 1b2=8, 求解 c2=a2+b2=26, 双曲线的标准方程为83三☐ [辨析] 忽略对焦点所在轴的讨论，误认为一定在x轴上，导致漏解， [正解] [误区警示]解本题时容易未审清题目条件，而误认为焦，点一定在x轴 上，从而导致漏解 051 课堂检测 固双基 1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是 ( A.2 B.2√2 ）5卫知双曲线C-苦=1 C.4 D.4√2 (1)求与双曲线C有相同的焦点，且过点 2已知双曲线c6 -。=1的焦距为45，则C P(4,√3)的双曲线C2的标准方程； (2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条 的渐近线方程是 ( 渐近线于A,B两点，当OA·OB=3时，求实数 A.y=±x B.y=±√5x m的值. Cy=±3 D.ys > 3点(3.0)到双曲线后-兮=1的一条蒲近线的 2 距离为 ( A号 B.8 c.s D专 夯基提能作业 4.已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近 请同学们认真完成练案[13] m 线为√3x+my=0,则C的焦距为 §3 抛物线 3.1 抛物线及其标准方程 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.知道抛物线的定义，能推出抛物线1.由抛物线的标准方程可知，p是焦点到准线的距离，从 的标准方程， 而抛物线的标准方程取决于p的大小和焦点的位置. 2.能根据条件，求出抛物线的标准方程. 2.重视抛物线定义在解题中的应用，能够灵活进行抛物 3.能利用抛物线方程解决一些相关实 线上的点到焦点的距离与到准线的距离的相互转化. 际问题 3.待定系数法是求抛物线标准方程的一种重要方法. 必备知识 探新知 知识点1抛物线的定义 1.平面内与一个定点F和一条定直线(1不经过点F)的距离 的点的集合（或轨迹）叫 作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线1叫作抛物线的 2.集合语言表达式：抛物线是点的集合P= 名师点睛1.抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”.“一动”即一个动点，设为M, “二定”包括一个定点F,即抛物线的焦点，和一条定直线1，即抛物线的准线，“一相等”即|MF1=d (d为M到准线l的距离) 2.定义中，要注意强调定点F不在定直线1上.当直线1经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂 直于定直线1的一条直线.IPQI+IPFI的最小值为5+23 所以双准线的标准方型为后-号=士 对点训练3：C如图所示，点P必落在第四象限，∠F,PF, =90°，设IPF2「=m, (2)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c=2瓦 ∠PF2F=0,∠PFF2=02,由kp2=tan01=2,求得sin01 设双曲线的标准方程为。_二 =1(a>0,b>0), 5 则有a2+62=c2=8 90-1, 因为∠F,PF2=90°，所以km· 解得a2=3,b2=5. 1 kp,=-1,求得pA=-2,即m& 放所求双葡线的标准方程为号号-1 (3)当焦点在x轴上时，可设双曲线方程为x-y2=a,将点 (3,-1)代人，得32-（-1)2=a2,所以a2=62=8.因此，所求 sin02=三，由正弦定理可得： 的双面线的标准方程为号苦=1， IPF I I PF2 I I F F2 I sin 0 sin 0 sin 90 当焦点在y轴上时，可设双曲线方程为y2-x2=a2,将点(3， 2:1:5 -1)代入，得(-1)2-32=a2,a2=-8,不可能，所以焦点不 则由1PF2I=m得1PFI=2m,1F,F2I=2c=-5m, 可能在y轴上 m IPFI=m2m=8 综上，所求双截线的标准方程为号专-1 得m=2√2， 2.2双曲线的简单几何性质 则IPF2I=22,IPF,=42,IF,F2l=2c=210,c=√10， 必备知识探新知 由双曲线第一定义可得：lPFI-1PF2I=2a=22,a=2, 知识点x≤-a或x≥ay≤-a或y≥aA1A22a b=c2-a=8, B B2 2b a b a+b2 所以双前线的方程为号- =1.故选C. 关键能力攻重难 例4：双曲线8k2-62=8化为。-是 例1：将9y-4=-36化为标准方程形式：。-号 81=1, 94=1, -k 所以a=3,b=2,c=√13. k 因此顶点坐标为(-3,0)，(3,0)， 则-是-名=3k=-1 焦点坐标为(-√3,0)，（√3,0）， 课堂检测固双基 1.B设A(1,0),B(-1,0),则题中等式等价于IIPA1-IPB11 实轴长2a=6,虚轴长20=4，高心*6=台=写，新近线 二万，即动点P到两个定点A,B的距离之老的绝对值等于常方程为y=士合=±子 数2，又1AB1=2,且万<2，所以根据双曲线的定义知，动点P 的轨迹是双曲线. 对点训练1：B双曲线号-石=1的顶点在x轴上，而双 2 y2 2.C不妨设1AF21>IAF1,由双曲线的定义， AF,I -IAF I =2a,IBF,I-IBF I=2a, 黄线名号=1的顶点在)第上，因化A错误： 两双曲线中都有c=5,故焦距相同，B正确； 所以1AF2I+IBF2I=(IAFI+IBFI)+4a=m+4a,于是 △ABF2的周长I=IAF2I+IBF2I+IABI=4a+2m.故选C. 双尚线号后-1的蒲近线方程为=±合=±亭，双 3D方程，千n+二21， 曲线之一。三1的渐近线方程为y=±6x=±3x,故渐近线 ..(m-2)(m+1)<0, 方程相同，C错误； 解得-1<m<2,.m的取值范围是(-1,2) 9+16-5 42x2 2575=1设双曲线的方程为m2+y2=1(mn<0), 双前线号-名=1的离心率6，=√月)6 916 ,而双曲线 =-75 花号-1的离心率。=√君-子，各+：因成D错误 则9nm+28n=1,解得 72m+49n=1, 1 例2：()设双曲线方程为。-若=1(a>0,6>0),由题意 n=25, 46 故双储线的标准方程为号一芳-1 知 6=3 又：双曲线过点P(6,2)心-1， a 2 5.(1)由双曲线的定义知，2a=8,所以a=4, b =3’ 依题意可得 a2=3 4 又知焦点在x轴上，且c=5, 解得 所以62=c2-a2=25-16=9, 6=1,62=3. 6 -308 放所求双曲线方程为子}2-}=1 故不存在被点B(1,1)所平分的弦. 解法二：设存在被点B平分的弦MW,设M(x1,y),N(x2, 2)设所求双箱线方程为号茶=1(0>0,6>0 y2) 3…e2=g=a2+b2 e 1+=25 ① 9 则x1+x2=2,y+32=2,且{ 64 ② a=3 1 b 4 a =3 Ta=9 ①-②得(，+)（年-为）-41+2)(-为)=0 由题意得 解得 -4 9 12 =1,lb2=4. hw=二2=4，故直线MN:y-1=4(x-1). X1一x2 心所求的双前线方程为。上 y-1=4(x-1), 94=1. 由 消去y得，122-24x+13=0, (3)设双曲线方程为4-9y2=(1≠0)，即三 2 4=-48<0. =1(入 这说明直线MN与双曲线不相交，故被点B平分的弦不 4 9 存在. ≠0)，由题意得a=3. 对点训练4：2x-y-15=0设A、B坐标分别为(x1,y1)、 当入>0时，冬=9,1=36，双曲线方程为号 4=1; (x2少2)，则 7-47=4, ① 当<0时，-9A=-8,双线方程号背-1 号-47=4， ② 故所求双唐线方程为号- =1或4 ①-②得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-2)=0, 9-81 =1 :P是线段AB的中点， 对点训练2：子-=1设双曲线方程为了-子=A, .x1+x2=16,y1+y3=2, 代人点4，月，可得3-4×16=， 2 ∴.直线AB的斜率为2 A=-1,双曲线的标准方程是子-=1 .直线AB的方程为2x-y-15=0. 例3：5F、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一 例5-专-1或号--1当双有线的点在长轴上 点，且满足IPF,I+IPF2I=6a, 2 设P是双曲线右支上的一点，F为左焦点，由双曲线的定 时，由题意知口=子， 解得-18， 所以所求双曲线 1b2=8. 义可知IPFI-IPF2I=2a, 2=a2+62=26 .IF F,I =2c,IPF I =4a,IPF,I =2a 的标准方程为后-营专-1 △PF1F2的最小内角∠PF,F2=30°， 由余弦定理1PF,2=1EF212+1PF2-21FF2IIPF,I· cos∠PF1F2, 当双自线的据点在了轴上时，由合=子， 解得 c2=a2+62=26, 即4a2=4c2+16a2-2c×4a×3, ! 「b2=18, c2-25ac+3a2=0,c=3a,e=c=5. la2=8, 所以所求双曲线的标准方程为。-。=1，放所求双 对点训练3：A设1PF2I=m,则IPFI=3m 黄线的标准方程为后一专1或号高 818=1. 1FF,|=m2+9m2-2×3m×m×cos60°=√7m, 课堂检测固双基 双曲线C的离心率e=。=e IFFI a=2a=IPF 1-IPF2T=2m 21.C双线方程2证-y-8可化为号-。-1 .a=4,.a=2,.实轴长为2a=4. 2 rb2=6, ra=6. 例4：解法一：设被B(1,1)所平分的弦所在的直线方程为2.A由题意得：{2c=43,解得：b=6, y=(x-1)+1,代人双曲线方程2-手=1，得(g-4)2-2 lc2=a2+b2, lc=25, (k-1)x+k2-2k+5=0. 即双曲线C的方程为后 6 ·=1,所以C的渐近线方程是y= ∴.4=[-2k(k-1)]2-4(k2-4)(k2-2k+5)>0. ±x. 解得k<子且+624 2k(k-1) 故选A :B(1,1)是弦的中点.-=，k=4> 围A由题意可知，双曲线的渐近线方程为：名-。=0，即3由 k2-4 21 4y=0, -309 结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x+4y=0的距离：d= 9+09 对点训练1：(1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴，且？ 9+16 5 2 4 ，则p=子 =5 故选A. 44由渐近线方程5x+my=0化简得y=-5,即b= 放所求抛物线的标准方程为。一号 m a m (2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2=2y(m≠ 31 同时平方得g=高，又双曲线中am,F=1,故m守 -m ,解0)，由焦点到准线的距离为5，知lml=5,m=±5，所以满足条件 得m=3,m=0(舍去)，c2=a2+62=3+1=4→c=2,故焦距 的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2=10y和x 2c=4. =-10y 5.(1)双曲线C的焦点坐标为(5,0)，(-5,0)， 例2：抛物线方程y=a2(a≠0)化为标准形式：2=子。 设双黄线G的标准方程为号-云-1a>0,6>0)。 当a>0时则2印=，解得n=名号= 1 ra2+b2=5, 但-1低 焦点坐标足(0，山)准线方程是了=六 双用线G的标准方程为号-y-1 当a<0时则2=号 1 (2)双曲线C的渐近线方程为y=2x,y=-2x, :焦点坐标是(0品)，准线方程是=， 由2，可得x=m,y=2mAm,2m. ly=x+m, 综上，焦点坐标是(0，a）准线方程是y=石 由2可得x=-了m,y=号m, 1 2 对点训练2：B 由抛物线/=2r(p>0)得准线x=-乃， ly=x+m, 因为准线经过点(-1,1)，所以p=2,所以抛物线焦点坐标为 12 B-3m,3m (1,0),故选B. 0,0成-子2+ 例3：(1)B将P(2,2)代人抛物线C的方程得2=2p×2, 3m2=m2. 0A.0B=3,.m2=3,即m=±5. 即p=1,则由抛物线的定义得1PF1=2+号=2+分=多，放 选B. §3抛物线 (2)C由抛物线C的方程知p=2,则由抛物线的定义得 3.1 抛物线及其标准方程 D 15 AF=+乞=+车=4o,解得=1.故选C 必备知识探新知 对点训练3：C如图所示，过点 知识点11.相等准线2.{MIIMF1=d,其中d表示点P作抛物线C的准线的垂线，垂足为 M到定直线I的距离，F D,过点F作PD的垂线，垂足为E 知识点2y2=-2x(p>0) (0,)y= 则IDE1=P,由抛物线定义知1PD1= 关键能力攻重难 IPF1=头，则1PE1=PD1-IDE1= 例1：(1)因为点(-3，-1)在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为产=-2nxm>0)或号-p=宁在R△PEF中，血∠PFE i 3p =-2p2y(p2>0) 若抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0), 3p 3,所以cos∠PFx=os(90°-∠PFE)=in∠PFE=}, 21 则由(-1)2=-2p1×(-3),解得P1=6 2 若抛物线的标准方程为x=-2p2y(p2>0), 故选C. 例4：D如图， 则由(-3)°=-2×(-1)，解得=号 1 故所求抛物线的标准方程为了=一3x或=一9y。 D可D' (2)对于直线方程3x-4y-12=0.令x=0,得y=-3. 12* 令y=0,得x=4,即直线与坐标轴的交点为(0，-3)，(4， 0), 所以抛物线的焦点为(0，-3)或(4,0). 设动圆圆心P(x,y),过点P作PDLI于点D,作直线'：x= 当焦点为(0，-3)时，抛物线的标准方程为x2=-12y； 2,过点P作PD'⊥'于点D',连接PA. 当焦点为(4,0)时，抛物线的标准方程为y2=16x. 因为动圆P与定圆A:(x+2)2+y2=1外切，且与直线：x 故所求抛物线的标准方程为x=-12y或y=16x. 310一