第2章 2.1 双曲线及其标准方程（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§2　双曲线 2.1　双曲线及其标准方程 基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　双曲线的定义及其应用 1.已知M(-3,0),N(3,0),|PM|-|PN|=6,则动点P的轨迹是　　(　　) A.一条射线　　　　　B.双曲线右支 C.双曲线　　　　　　D.双曲线左支 2.过双曲线x2-y2=8的右焦点F2有一条弦PQ,|PQ|=7,F1是双曲线的左焦点,那么△F1PQ的周长为(　　) A.28　　　　　　B.14-8 C.14+8 3.设F1,F2分别是双曲线=1的下、上焦点,P是该双曲线上的一点,且3|PF1|=5|PF2|,则△PF1F2的面积等于(　　) A.14 4.已知双曲线=1(m>0)的左、右焦点分别是F1,F2,焦距为8,点M是双曲线上一点,且|MF1|=5,则|MF2|=　　　　.  5.点P是双曲线=1左支上的一点,其右焦点为F,若M为线段FP的中点,且M到坐标原点的距离为7,则|PF|=　　　　.  题组二　双曲线的标准方程 6.若双曲线=1的焦点与椭圆=1的长轴端点重合,则m的值为(　　) A.2　　　B.4　　　C.-2　　　D.-4 7.方程=1(θ∈R)所表示的曲线是　(　　) A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的双曲线 8.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0),M是双曲线上一点且||MF1|-|MF2||=2,则双曲线C的标准方程为(　　) A.=1 C.=1 9.求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)经过点A(4,3),且a=4; (2)经过点A). 题组三　双曲线的综合运用 10.许多建筑融入了数学元素后更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1中是单叶双曲面(由双曲线绕其虚轴所在直线旋转形成的立体图形)型建筑,其上、下底面与地面平行,图2是其最细处附近的截面图形.现测得下底面直径AB=20米,上底面直径CD=20米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底面等距离的G处的直径等于CD,则最细部分处的直径为(　　) 　 A.10米　　　　　　B.20米 C.10米　　　　　D.10米 11.双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F1(2,0),点A的坐标为(0,1),点P为双曲线左支上的动点,且△APF1周长的最小值为8,则a为(　　) A.　　　C.2　　　D.1 12.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,P是双曲线C右支上一点,|OP|=|OF2|,且△POF1的面积为4,则实数b=(　　) A.　　　D.4 13.已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,且PF2的中点M在以O为圆心,OF1为半径的圆上,则|PF2|=　　　　.  14.双曲线x2-=1的左、右焦点分别是F1,F2,第一象限内的一点P在双曲线上,O是坐标原点. (1)若|,求点P的坐标; (2)设||=n,若∠F1PF2=90°,求m+n的值. 能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　 题组　双曲线的方程及其综合应用 1.已知点A(0,-),B(2,0),P为函数y=2图象上的一点,则|PA|+|PB|的最小值为(　　) A.1+2　　　B.7　　　C.3　　　D.不存在 2.已知F1,F2为椭圆)和双曲线x2-=1(b2>0)的公共焦点,P为它们的公共点,且∠F1PF2=,则△PF1F2的面积为(　　) A. 3.一动圆P过定点M(-4,0),且与圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是(　　) A.=1(x≥2)　　　　 B.=1(x≤2) C.=1 4.已知双曲线C:=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为双曲线C左支上一点,直线AF2与双曲线C的右支交于点B,且|AB|=15,∠F1AF2=,则|AF1|+|AF2|=(　　) A.　　　B.26　　　C.25　　　D.23 5.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线的右支相交于A,B两点,|BF1|=2|BF2|=4|AF2|,且△ABF1的周长为10,则双曲线C的焦距为　　　　.  6.过双曲线x2-=1的右支上一点P分别向圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为　　　　.  7.中国海军在某次演习中派出三艘舰艇,某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点),如图中A,B,C,且OA=OB=OC=3,假设可疑舰艇在某处发出信号,A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早(注:信号传播速度为v0),C处舰艇保持静止. (1)建立适当的坐标系,并求可疑舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程; (2)在A,B两处舰艇对可疑舰艇攻击后,C处舰艇派出无人机到可疑舰艇处观察攻击效果,则无人机飞行的最短距离是多少? 答案与分层梯度式解析 §2　双曲线 2.1　双曲线及其标准方程 基础过关练 1.A　因为|PM|-|PN|=6=|MN|,所以动点P的轨迹是一条射线. 规律总结　已知定点M,N及动点P,当||PM|-|PN||<|MN|时,点P的轨迹是双曲线;当||PM|-|PN||=|MN|时,点P的轨迹是两条分别以M,N为端点的射线;当||PM|-|PN||>|MN|时,点P的轨迹不存在. 2.C　方程x2-y2=8可化为,c=4.根据双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=4,∴△F1PQ的周长=|PF1|+|QF1|+|PQ|=7+8,故选C. 3.D　由题意得点P在双曲线的下支上,|F1F2|=2|PF2|=4,所以|PF2|=6,|PF1|=10,在△PF1F2中,由余弦定理得,cos∠F1PF2=,所以sin∠F1PF2=,所以|PF1||PF2|sin∠F1PF2=.故选D. 4.答案　7或3 解析　由已知得a2=m2,b2=15,2c=8,∴m2+15=42,解得m=1(m=-1舍去),即a=1.当M是双曲线左支上一点时,|MF2|-|MF1|=2a=2,则|MF2|=7≥a+c=5,当M是双曲线右支上一点时,|MF1|-|MF2|=2a=2,则|MF2|=3≥c-a=3.综上所述,|MF2|=7或|MF2|=3. 5.答案　22 解析　设双曲线的左焦点为F',连接PF',则OM(O为坐标原点)是△F'PF的中位线,∴|OM|=|PF'|,∵M到坐标原点的距离为7,∴|PF'|=14,又由双曲线的定义得|PF|-|PF'|=2a=8,∴|PF|=8+|PF'|=22. 6.A　易得椭圆=1的长轴端点为(0,2),(0,-2),所以双曲线的焦点为(0,2),(0,-2),故2+m=4,解得m=2.故选A. 7.C　∵-1≤sin θ≤1,∴2sin θ+4>0,sin θ-3<0,∴方程=1(θ∈R)所表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线.故选C. 8.D　设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),半焦距为c,则c=4,2a=2,故a=,b2=c2-a2=16-5=11.所以双曲线C的标准方程为=1.故选D. 9.解析　(1)因为a=4>3,所以双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为=1(b>0), 因为点A(4,3)在双曲线上,所以=1,解得b2=9, 所以双曲线的标准方程为=1. (2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0), 因为点A)在双曲线上, 所以 所以双曲线的标准方程为=1. 10.B　取CD的中点E,以EG所在直线为y轴,EG的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示. 易知D(10,-60),O为双曲线的中心. 设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则所以最细部分处的直径为2a=20(米).故选B. 11.D　设该双曲线的左焦点为F,如图所示, 由双曲线的定义可得|PF1|=|PF|+2a. 易得|AF|=|AF1|==3,|AP|+|PF|≥|AF|=3,当且仅当A,P,F三点共线时等号成立, 所以△APF1的周长为|AP|+|AF1|+|PF1|=|AF1|+|AP|+|PF|+2a≥|AF1|+|AF|+2a=6+2a,当且仅当A,P,F三点共线时,△APF1的周长取得最小值,即6+2a=8,解得a=1.故选D. 12.C　因为△POF1的面积为4, 所以△PF1F2的面积为8. 又|OP|=|OF2|, 所以|OP|=|OF2|=|OF1|=|F1F2|, 所以△PF1F2为直角三角形,且PF1⊥PF2. 设|PF1|=m,|PF2|=n,则|m-n|=2a,m2+n2=4c2, 所以mn==2b2, 所以mn=b2=8, 又b>0,所以b=2.故选C. 13.答案　4 解析　如图,由双曲线方程=1,得a2=16,b2=20,则c==6,则|OM|=|OF1|=6, 易知OM为△F1PF2的中位线,∴|PF1|=2|OM|=12, ∴|PF2|=|PF1|-8=4. 14.解析　(1)设P(x,y),x>0,y>0, 则 ∴P(,2). (2)易知双曲线中a=1,b=2,∴c=, ∴∴2mn=16, ∴(m+n)2=20+16=36,∴m+n=6. 能力提升练 1.B　由y=2-x2=1(y>0).设点A'(0,),易知点A'(0,)分别为双曲线-x2=1的上、下焦点.由双曲线的定义得|PA|-|PA'|=4,则|PA|+|PB|=4+|PA'|+|PB|≥4+|BA'|=7.故选B. 2.C　根据题意作出图形如下, 由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2,由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2, 所以|PF1|=-1, 则.故选C. 3.C　由已知得N(4,0),当两圆内切时,定圆N在动圆P的内部,有|PN|=|PM|-4;当两圆外切时,有|PN|=|PM|+4,故||PN|-|PM||=4<|MN|=8,由双曲线的定义知,点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线,且2a=4,c=4,所以a2=4,b2=12,故动圆圆心P的轨迹方程为=1.故选C. 4.B　由双曲线的定义得,|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|=2a=10,令|BF2|=x,则|AF1|=x+15-10=x+5,|BF1|=x+10,在△ABF1中,|AB|=15,∠F1AB=, 则cos∠F1AB=, 即,解得x=3,故|AF1|=8,|AF2|=18,所以|AF1|+|AF2|=26.故选B. 5.答案　 解析　不妨设B在第一象限内,根据题意作出图形,如图所示, 设|AF2|=m,则|BF2|=2m,|BF1|=4m, 由双曲线的定义得,|BF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|, 即4m-2m=|AF1|-m,得|AF1|=3m. 又△ABF1的周长为10, ∴m+2m+4m+3m=10,解得m=1. 在△AF1F2和△BF1F2中,cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0, 即=0,解得c=(负值舍去), 所以双曲线C的焦距为. 6.答案　13 解析　由已知得c2=1+15=16,所以双曲线的焦点坐标为(±4,0),圆C1的圆心为C1(-4,0),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(4,0),半径r2=1,∵PM,PN分别为两圆的切线,∴|PM|2=|PC1|2-=|PC2|2-1,∴|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|+|PC2|)(|PC1|-|PC2|)-3,∵P为双曲线右支上的点,且双曲线的焦点为C1,C2,∴|PC1|-|PC2|=2,又|PC1|+|PC2|≥|C1C2|=8(当P为双曲线的右顶点时取等号),∴|PM|2-|PN|2=(|PC1|+|PC2|)(|PC1|-|PC2|)-3≥8×2-3=13,即|PM|2-|PN|2的最小值为13. 7.信息提取　①OA=OB=OC=3;②设可疑舰艇的位置为P,则满足|PB|-|PA|=4;③无人机到可疑舰艇位置的最短距离即两点间的最短距离. 数学建模　以实际问题中的动点与两定点间的距离之差是定值为背景,建立双曲线模型. 解析　(1)以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设可疑舰艇的位置为P(x,y), 由题意可知|PB|-|PA|=v0×=4,|AB|=6,又4<6,因此P点的轨迹是以A,B为焦点,4为实轴长的双曲线的左支,故2a=4,c=3,∴a=2,b=, ∴所求的轨迹方程为=1(x≤-2). (2)取曲线=1(x≤-2)上任意一点M(x0,y0)(x0≤-2),于是=1,即+4, 由题意知,求出M、C间的最短距离即可, |MC|= = =, 当y0=时,|MC|min=. ∴无人机飞行的最短距离是2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$