第2章 1.2 椭圆的简单几何性质（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1.2　椭圆的简单几何性质 基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　由椭圆方程研究其简单几何性质 1.(多选题)已知椭圆C:+y2=1,则下列关于椭圆C的说法正确的是(　　) A.离心率为 B.焦点坐标为(±2,0) C.椭圆C上的点到焦点的最短距离为1 D.椭圆C上的点的横坐标的取值范围是[-3,3] 2.椭圆=1与=1(0<k<9)的关系是(　　) A.有相等的长轴长　　　　　B.有相等的焦距 C.有相同的焦点　　　　　　D.有相同的顶点 3.在椭圆=1中,A1,A2分别为椭圆的左、右顶点,F1为椭圆的左焦点,M是椭圆上的点,则△MF1A2的面积的最大值为(　　) A.16　　　B.32　　　C.16 4.若P是椭圆+y2=1上一动点,A(0,3),则|PA|的最大值为　　　　.  5.已知F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为　　　　.  题组二　椭圆的离心率 6.某地的旅游地图如图所示,它的外轮廓线是椭圆,根据图中的数据可得该椭圆的离心率为(　　) A. C. 7.比较下列四个椭圆的形状,其中更接近于圆的是(　　) A.9x2+y2=36　　　　　　B.3x2+4y2=48 C.x2+9y2=36　　　　　　D.5x2+3y2=30 8.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足MF1⊥MF2的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是(　　) A. C. 9.设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M,N在椭圆C上(点M位于第一象限),且点M,N关于原点O对称,若|MN|=|F1F2|,|MF2|=|NF2|,则椭圆C的离心率为(　　) A. 10.已知椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P在C上,且|PF1|+|PF2|=3|F1F2|,则椭圆C的离心率为　　　　.  11.椭圆=1(a>b>0)的中心在原点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A,B分别是椭圆的上顶点和右顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,求椭圆的离心率. 题组三　由椭圆的简单几何性质求椭圆的方程 12.F,A分别为椭圆的一个焦点和顶点,若椭圆的长轴长是10,O为坐标原点,且cos∠OFA=,则椭圆的标准方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1或=1 D.=1或=1 13.已知椭圆E:=1(b>0)的两条弦AB,CD相交于点P(点P在第一象限内),且AB⊥x轴,CD⊥y轴.若|PA|∶|PB|∶|PC|∶|PD|=1∶3∶2∶4,则b=(　　) A.2　　　B. 14.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积的结论.已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的面积为8π,且椭圆的离心率为,则椭圆C的标准方程是(　　) A.=1 C.=1 15.已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),A,B为椭圆C的左、右顶点,且|AF|=3|FB|,则椭圆C的方程为　　　　　　.  16.如图,椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是椭圆上任意一点,若的最大值是12,求椭圆的方程. 能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　椭圆的简单几何性质及其应用 1.过点(2,1),焦点在x轴上且与椭圆=1有相同的离心率的椭圆方程为(　　) A.=1 C.=1 2.椭圆有一个光学性质:从椭圆一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减,椭圆的方程为=1,则光线从椭圆的一个焦点发出,到首次回到该焦点所经过的路程不可能为(　　) A.2　　　B.4　　　C.6　　　D.8 3.已知水平地面上有一篮球,球的中心为O',在斜平行光线的照射下,篮球的阴影为一椭圆(如图),在平面直角坐标系中,椭圆中心O为原点,椭圆的方程为=1,篮球与地面的接触点为H,则|OH|等于(　　) A. C. 4.已知点P在离心率为的椭圆E:=1(a>b>0)上,F是椭圆的一个焦点,M是以PF为直径的圆C1上的动点,N是半径为2的圆C2上的动点,圆C1与圆C2外离且圆心距|C1C2|=,若|MN|的最小值为1,则椭圆E的焦距的取值范围是　(　　) A.[1,3]　　　　　　B.[2,4] C.[2,6]　　　　　　D.[3,6] 5.(多选题)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,并且F,A,B三点在同一直线上,地球的半径约为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则(　　) A.a-c=m+R　　　　　　B.a+c=n+R C.2a=m+n　　　　　　 D.b= 6.已知点F为椭圆C:=1的右焦点,点P是椭圆C上的动点,点Q是圆M:(x+3)2+y2=1上的动点,则的最小值是(　　) A. 7.已知P为椭圆=1(a>b>0)上的任意一点,P到焦点的距离的最大值为2+,最小值为2-,则的取值范围是　　　　.  8.已知F是椭圆=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆上,且P到原点O的距离等于半焦距,△POF的面积为6,则b=　　　　.  9.已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为. (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知点A(0,1),若点B在椭圆C上,求线段AB长度的最大值. 题组二　求椭圆的离心率的值或取值范围 10.(多选题)已知点F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上的一点(异于左、右顶点),若存在以c为半径的圆内切于△PF1F2,则该椭圆的离心率可能为(　　) A. 11.已知A,P,Q为椭圆C:=1(a>b>0)上不重合的三点,且P,Q关于原点对称,若kAP·kAQ=-,则椭圆C的离心率为(　　) A. 12.已知椭圆C:=1(a>b>0),P是椭圆C上的点,F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C的左、右焦点,若≤2ac恒成立,则椭圆C的离心率e的取值范围是(　　) A.-1] C.-1,1) 13.设F1,F2分别为椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,且AF1⊥AF2,,则椭圆C的离心率为　　　　.  14.已知椭圆=1(a>b>0)上有一点A,它关于原点的对称点为B,F为椭圆的右焦点,且满足AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈,求该椭圆的离心率e的取值范围. 答案与分层梯度式解析 1.2　椭圆的简单几何性质 基础过关练 1.BD　由椭圆方程+y2=1,可知a=3,b=1,所以c=2,所以离心率e=,故A错误;易知焦点坐标为(±2,0),故B正确;由椭圆的几何性质,得椭圆上的点到焦点的最短距离为a-c=3-2,故C错误;因为椭圆C的焦点在x轴上,所以椭圆上的点的横坐标的取值范围是[-a,a],即[-3,3],故D正确.故选BD. 2.B　对于椭圆=1,a=5,b=3,c=4,设椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,则F1(-4,0),F2(4,0),长轴长2a=10,焦距2c=8.对于椭圆=4,设椭圆=1(0<k<9)的上、下焦点分别为F'1,F'2,则F'1(0,4),F'2(0,-4),长轴长2a=2,焦距2c=8.故两个椭圆有相等的焦距,故选B. 3.A　由题意可知当M为短轴端点时,△MF1A2的面积取得最大值.因为椭圆方程为=1,所以a=5,b=4,c=3,因此△MF1A2的面积的最大值为×8×4=16.故选A. 4.答案　4 解析　令P(x,y),则|PA|=,又x2=4(1-y2),所以|PA|=,又-1≤y≤1,所以当y=-1时,|PA|取得最大值,最大值为4. 5.答案　18 解析　椭圆C:=1的长半轴长a=2,短半轴长b=3,半焦距c=, 由P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,得|OP|=|OQ|,又|OF1|=|OF2|,故四边形PF1QF2为平行四边形,不妨设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,如图, 又|PQ|=|F1F2|,所以▱PF1QF2为矩形, 故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=60, 而|PF1|+|PF2|=2a=4,所以四边形PF1QF2的面积S=|PF1||PF2|=[(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|2+|PF2|2)]=18. 6.B　由题意可知2a=25.5,2b=20.4,则c=,所以椭圆的离心率e=.故选B. 7.B　由9x2+y2=36,得=1,a2=36,b2=4,∴c2=32,∴离心率e=;由3x2+4y2=48,得=1,a2=16,b2=12,∴c2=4,∴离心率e=;由x2+9y2=36,得=1,a2=36,b2=4,∴c2=32,∴离心率e=;由5x2+3y2=30,得=1,a2=10,b2=6,∴c2=4,∴离心率e=,且e越接近于0,椭圆就越接近于圆,∴椭圆3x2+4y2=48更接近于圆.故选B. 8.B　由MF1⊥MF2,得M在以F1F2为直径的圆上,此圆的方程为x2+y2=c2,由题知圆在椭圆内部,故c<b,则e2=,故e∈.故选B. 9.B　根据题意可作图如下: 因为|MN|=|F1F2|,线段MN,F1F2互相平分, 所以四边形MF1NF2是矩形,其中∠F1MF2=. 设|MF2|=x,则|MF1|=2a-x, 在Rt△MF1F2中,|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,即(2a-x)2+x2=4c2, 整理得x2-2ax+2b2=0,解得x=a±. 由于点M在第一象限,所以x=a-, 由|MF2|=|NF2|,得|MN|=2|MF2|,即2c=2(a-), 又b2=a2-c2,所以c2+2ac-2a2=0,所以-2=0,即e2+2e-2=0,解得e=-1+或e=-1-(舍去).故选B. 10.答案　 解析　因为|PF1|+|PF2|=3|F1F2|,|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c, 所以2a=6c⇒e=. 11.解析　如图所示,由已知得A(0,b),B(a,0),F2(c,0),P, 所以=(a,-b). 因为PF2∥AB, 所以-2bc+a·=0,化简得b=2c. 所以a=c, 所以椭圆的离心率e=. 12.C　当焦点在x轴上时,不妨设F,A分别为右焦点与下顶点,如图所示,cos∠OFA=, 由已知得2a=10,所以a=5,c=4,则b2=a2-c2=9, 所以椭圆的标准方程为=1. 同理,当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为=1. 故选C. 13.D　设P(m,n),|PA|=t,则A(m,n+t),B(m,n-3t),C(m+2t,n),D(m-4t,n), 由题意知A,B关于x轴对称,C,D关于y轴对称, 所以n+t+n-3t=0,m+2t+m-4t=0, 即n=t,m=t,所以A(t,2t),C(3t,t), 因为A,C在椭圆E上,所以 即,解得b=(负值舍去).故选D. 14.B　由题意可得 故椭圆C的标准方程为=1,故选B. 15.答案　=1 解析　因为|AF|=a+c,|FB|=a-c,|AF|=3|FB|, 所以a+c=3(a-c),又c=1,所以a=2, 所以b2=a2-c2=3, 所以椭圆C的方程为=1. 16.解析　由题意知A(a,0),F(-c,0). ∵e=,∴a=3c. 设P(x0,y0),则-3c≤x0≤3c. ∵=(a-x0,-y0), ∴=(-c-x0,-y0)·(a-x0,-y0) =-ac+cx0-ax0+ =-ac+cx0-ax0+ =-(a-c)x0+b2-ac =-(a-c)x0+a2-c2-ac =-2cx0+5c2 =(x0-9c)2-4c2,-3c≤x0≤3c. ∴当x0=-3c时,有最大值,且最大值为12c2,∴12c2=12,∴c2=1,∴a2=9,b2=a2-c2=8, ∴椭圆的方程为=1. 能力提升练 1.D　因为所求椭圆的焦点在x轴上且与椭圆=1有相同的离心率,所以可设所求椭圆的方程为=λ(λ>0).由椭圆过点(2,1),可得=λ,解得λ=,故所求椭圆的方程为,即=1.故选D. 2.B　由已知可得a2=4,b2=3,c2=a2-b2=1,所以a=2,c=1.①若光线从椭圆的一个焦点沿x轴方向发出,到长轴端点(较近的)反射后再次回到该焦点,则所经过的路程为2(a-c)=2;②若光线从椭圆的一个焦点沿x轴方向发出,到长轴端点(较远的)反射后再次回到该焦点,则所经过的路程为2(a+c)=6;③若光线从椭圆的一个焦点沿非x轴方向发出,则所经过的路程为4a=8.故选B. 3.答案　B 信息提取　①根据平行光线照射特点可知,|AB|等于椭圆的长轴长,球的直径等于椭圆的短轴长;②椭圆的方程为=1;③三角形O'HO为直角三角形. 数学建模　通过一个关于椭圆与球的实际问题,结合平行光线照射的特点与球的性质建立关于椭圆的方程与性质的数学模型.在平行光线照射过程中,椭圆的短半轴长等于球的半径,球心到椭圆中心的距离等于椭圆的长半轴长,过球心向地面作垂线,垂足即为接触点H,得到一个直角三角形,求|OH|即可. 解析　连接OO',O'H,O'A,O'B. 由椭圆方程可知,椭圆的长轴长为4,短轴长为2.在平行光线照射的过程中,椭圆的短半轴长等于球的半径,所以球的半径为. 因为AA',AB,BB'均与球相切, 所以∠O'AB+∠O'BA=(∠A'AB+∠B'BA)=, 所以∠AO'B=. 又O是AB的中点,故|OO'|=|AB|=2. 在直角三角形O'HO中,|O'H|=,∠O'HO=, 所以|OH|=.故选B. 4.C　因为M是以PF为直径的圆C1上的动点,N是半径为2的圆C2上的动点,圆C1与圆C2外离且圆心距|C1C2|=,|MN|的最小值为1,所以|C1C2|=2+1+,解得|PF|=3,又因为P在椭圆E上,所以a-c≤|PF|≤a+c,因为椭圆E的离心率为,所以a=2c,所以c≤3≤3c,故1≤c≤3,所以2≤2c≤6. 5.ABD　由题意可得(*) ∴a-c=m+R,a+c=n+R,故A,B正确; 由(*)得m+n=2a-2R,即2a=m+n+2R,故C不正确; 由(*)可得∴(m+R)(n+R)=a2-c2, ∵a2-c2=b2,∴b2=(m+R)(n+R), ∴b=,故D正确. 故选ABD. 6.B　如图所示, 由椭圆方程=1,知a=5,b=4,c=3,则F(3,0), 圆M:(x+3)2+y2=1的圆心为M(-3,0),半径r=1, 易知圆心M(-3,0)为椭圆C的左焦点,由椭圆的定义可得|PF|+|PM|=2a=10,∴|PF|=10-|PM|, 由椭圆的几何性质可得a-c≤|PM|≤a+c,即2≤|PM|≤8, 由圆的几何性质可得|PQ|≤|PM|+|QM|=|PM|+1, 所以-1≥, 所以.故选B. 7.答案　[1,+∞) 解析　因为点P到椭圆焦点的距离的最大值为2+,最小值为2-, 所以 所以|PF1|+|PF2|=2a=4, 所以=1, 当且仅当|PF1|=|PF2|=2时,等号成立. 所以的取值范围是[1,+∞). 8.答案　2 解析　设P(x,y),则 由②得x2=c2-y2, 代入①式得=1⇒y2=⇒|y|=. ∴S△POF=|OF|·|y|=b2=6, ∴b2=12,又b>0,∴b=2. 9.解析　(1)依题意,得2c=2,所以c=,离心率e=,所以a=2, 所以b=, 所以椭圆C的标准方程为=1. (2)设B(x0,y0),y0∈[-],则=1, 所以. 由两点间的距离公式,得|AB|=, 所以当y0=-1,x0=±时,线段AB的长度最大,为. 10.CD　由椭圆的性质可知,×2c×b,∵存在以c为半径的圆内切于△PF1F2,∴c≤×2c×b,∴a+c≤b, ∴(a+c)2≤2b2=2(a2-c2),∴3c2+2ac-a2≤0,∴3e2+2e-1≤0,∴-1≤e≤.又0<e<1,∴0<e≤.结合选项可知,选CD. 11.A　解法一:设A(x0,y0),P(x1,y1),x0≠±x1,∵P,Q关于原点对称,∴Q(-x1,-y1),则kAP=,∴kAP·kAQ=,∵A,P均在椭圆上,∴=1⇒=1⇒-b2·,∴kAP·kAQ=,∴椭圆C的离心率e=. 解法二:不妨令P,Q分别为椭圆的左、右顶点,依据椭圆的第三定义,有kAP·kAQ=-=e2-1,∴椭圆C的离心率e=. 知识拓展　椭圆的第三定义 与两定点A1(-a,0),A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积为-(a>b>0)或e2-1(0<e<1)的点的轨迹为椭圆(不含A1,A2两点). 12.D　设P(x0,y0),则=1,-a≤x0≤a,=(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=+b2-c2,因为a>b>0,所以1->0,又0≤≤a2,所以当=a2时,取得最大值,为a2+b2-c2=a2-c2,又≤2ac恒成立,故a2-c2≤2ac,所以e2+2e-1≥0,又0<e<1,所以-1≤e<1,故选D. 13.答案　 解析　因为,所以|AF1|=2|F1B|,设|F1B|=m,则|AF1|=2m,|AB|=3m,由椭圆的定义得|AF2|=2a-2m,|BF2|=2a-m.因为AF1⊥AF2,所以|AB|2+,即(3m)2+(2a-2m)2=(2a-m)2,解得m=,所以|AF1|=,在Rt△AF1F2中,|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即a2=4c2,即,故e=. 14.解析　如图所示,设椭圆的左焦点为F1,连接AF1,BF1,则四边形AFBF1为矩形, ∴|AB|=|FF1|=2c,|AF|+|BF|=2a. ∵|AF|=2csin α,|BF|=2ccos α, ∴2csin α+2ccos α=2a, ∴e=. ∵α∈, ∴sin, ∴, ∴椭圆的离心率e∈. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$