第2章 1.1 椭圆及其标准方程（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第二章　圆锥曲线 §1　椭圆 1.1　椭圆及其标准方程 基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　椭圆的定义及其应用 1.已知F1,F2分别是椭圆E:=1的左、右焦点,P是椭圆E上一点,若|PF1|=2,则|PF2|=(　　) A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5 2.已知点P(x,y)满足方程=6,则点P的轨迹为(　　) A.圆　　　　　　B.椭圆　　　 C.直线　　　　　D.线段 3.已知a为实数,则“a>5”是“方程=1表示的曲线为椭圆”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知F为椭圆E:=1的右焦点,直线mx-y+m=0与椭圆交于点A,B,则△AFB的周长为(　　) A.4　　　B.2 5.若椭圆+y2=1上一点A到左焦点F1的距离为2,B为AF1的中点,O是坐标原点,则|OB|的值为(　　) A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 题组二　椭圆的标准方程 6.过点(,2),且与椭圆=1有相同焦点的椭圆的标准方程为(　　) A.=1 C.=1 7.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P和Q,则此椭圆的标准方程是(　　) A.+x2=1 B.+y2=1 C.+y2=1或+x2=1 D.以上都不对 8.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=,则椭圆C的标准方程为(　　) A.+y2=1 C.=1 9.已知圆B:(x+2)2+y2=64,点A(2,0),动点C为圆B上任意一点,则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是　　(　　) A.=1 C.=1 10.已知圆C1:(x+)2+y2=1与圆C2:(x-)2+y2=9相交于A,B两点,若圆C1,C2的圆心为椭圆E的焦点,A,B在椭圆E上,则椭圆E的标准方程为　　　　　　　　.  11.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,且满足|OP|=|OF|,|PF|=4,求椭圆C的标准方程. 题组三　椭圆的方程的应用 12.已知椭圆=1的一个焦点坐标为(0,2),则k的值为(　　) A.3　　　B.5　　　C.11　　　D.83 13.点P(4cos α,2sin α)(α∈R)与椭圆C:=1的位置关系是(　　) A.点P在椭圆C上 B.不能确定,与α的取值有关 C.点P在椭圆C内 D.点P在椭圆C外 14.(多选题)已知曲线C:=1,则(　　) A.当m=8时,C是圆 B.当m=10时,C是焦距为4的椭圆 C.当C是焦点在x轴上的椭圆时,5<m<8 D.当C是焦点在y轴上的椭圆时,8<m<11 15.已知F1,F2分别是椭圆=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,且|PF2|=|F1F2|,则点P到x轴的距离为(　　) A.1　　　B.2　　　C. 16.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别是F1,F2,P是椭圆C上的一点,且∠F1PF2=,求△F1PF2的面积. 能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　椭圆的定义的应用 1.已知F1,F2为椭圆=1的两个焦点,P为椭圆上一点,3|PF2|=5|PF1|,则△PF1F2的面积为(　　) A.　　　　　　B.6 C.8　　　　　　 D.2 2.已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A.13　　　B.12　　　C.25　　　D.16 3. 已知P为椭圆=1上一点,F1,F2为该椭圆的两个焦点,若 ∠F1PF2=60°,则=(　　) A.　　　B.3　　　C.6　　　D.2 4.已知点A(1,1),F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是椭圆上的动点,则|PA|+|PF1|的最大值和最小值分别为(　　) A.6+ C.6+2 题组二　椭圆的标准方程及其应用 5.已知椭圆方程为=1(a>b>0),其右焦点为F(4,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆的方程为(　　) A.=1 C.=1 6.一个动圆与圆C1:x2+(y+3)2=1外切,与圆C2:x2+(y-3)2=81内切,则这个动圆圆心的轨迹方程为(　　) A.=1 C.=1 7.如图,F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是边长为2的正三角形,则b2的值是　　　　.  8.已知点P是椭圆=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,若锐角△F1PF2外接圆的半径为4,则△F1PF2的面积是　　　　.  9.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,∠F1PF2=120°,|PF1|=2+. (1)求椭圆C的方程; (2)求点P的坐标. 答案与分层梯度式解析 第二章　圆锥曲线 §1　椭圆 1.1　椭圆及其标准方程 基础过关练 1.C　由椭圆E:=1可知a=3,因为P是椭圆上一点,所以|PF1|+|PF2|=2a=6,而|PF1|=2,所以|PF2|=6-|PF1|=4.故选C. 2.B　设点A(2,0),B(-2,0),则可表示|PA|,可表示|PB|,所以|PA|+|PB|=6,又|AB|=4<6,所以点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.故选B. 3.A　由方程=1表示的曲线为椭圆,得解得a>1且a≠4,因为{a|a>5}⫋{a|a>1且a≠4},所以“a>5”是“方程=1表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件.故选A. 4.C　直线mx-y+m=0恒过定点(-1,0),而点(-1,0)恰为椭圆E的左焦点,记F1(-1,0).由椭圆的定义知,△AFB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=|AF|+|AF1|+|BF1|+|BF|=2a+2a=4a=8.故选C. 5.B　由已知得a=3,设椭圆的右焦点为F2,则|AF2|=2a-2=6-2=4,易知OB是△AF1F2的中位线,所以|OB|==2.故选B. 6.D　椭圆=1的焦点为(0,3)和(0,-3),设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0),则=1.故选D. 7.A　设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则 ∴椭圆的标准方程为+x2=1.故选A. 8.B　由题可设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),将x=1代入,得=1,解得y=±, 所以结合a>b>0,解得 所以椭圆C的标准方程为+y2=1,故选B. 9.C　由题意得|PA|=|PC|,则|PB|+|PA|=|PB|+|PC|=|BC|=8>|AB|=4,故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,其中a=4,c=2,∴b2=a2-c2=16-4=12,∴点P的轨迹方程是=1,故选C. 10.答案　=1 解析　易得圆C1的圆心为C1(-,0),半径r1=1,圆C2的圆心为C2(,0),半径r2=3,圆C1与圆C2的两个交点分别为(-,-1),不妨令A(-,-1). 由题意可设椭圆E的方程为=1(a>b>0), 则2a=|AC1|+|AC2|=r1+r2=1+3=4,2c=|C1C2|=2, 所以a=2,c=,所以b2=a2-c2=2, 故椭圆E的标准方程为=1. 11.解析　由题意可得,该椭圆的半焦距c=2,设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),右焦点为F1,则F1(2,0),连接PF1,如图. 因为|OP|=|OF|,所以|OP|=|OF1|, 所以PF⊥PF1. 又|PF|=4,|FF1|=4, 所以|PF1|==8, 所以2a=|PF|+|PF1|=12,即a=6, 所以b2=a2-c2=16, 所以椭圆C的标准方程为=1. 12.A　由椭圆=1的一个焦点坐标为(0,2),得椭圆的焦点在y轴上,a2=7,b2=k且c=2,又c2=a2-b2,所以7-k=4,解得k=3.故选A. 13.D　把(4cos α,2sin α)(α∈R)代入椭圆方程的左边,得=4(cos2α+sin2α)=4>1,因此点P在椭圆C外.故选D. 14.AB　对于A,当m=8时,曲线C:x2+y2=3,该曲线为圆,故A正确;对于B,当m=10时,曲线C:+y2=1,该曲线为椭圆且焦距为2=4,故B正确;对于C,若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则解得8<m<11,故C错误;对于D,若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,则解得5<m<8,故D错误.故选AB. 15.C　由椭圆方程=1,知a=3,b=,c=2,则|PF2|=|F1F2|=2c=4,|PF1|=2a-2c=2, 在△PF1F2中,cos∠PF2F1=, ∴sin∠PF2F1=,∴点P到x轴的距离h=|PF2|·sin∠PF2F1=.故选C. 16.解析　因为∠F1PF2=, 所以|PF1|2+=4c2=4×(4-1)=12, 又|PF1|+|PF2|=2a=4, 所以|PF1|·|PF2| ==2, 所以=1. 能力提升练 1. B　由椭圆方程=1,得a=4,c=2,故|PF1|+|PF2|=2a=8,|F1F2|=2c=4,又3|PF2|=5|PF1|,所以|PF1|=3,|PF2|=5,所以△PF1F2为直角三角形, ∠PF1F2=90°,所以×3×4=6.故选B. 2. C　由椭圆的方程知a=5,由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a=10, ∴|MF1|·|MF2|≤=25(当且仅当|MF1|=|MF2|=5时取等号),∴|MF1|·|MF2|的最大值为25.故选C. 3.D　根据椭圆的方程可知a=2,c==1.设||=n,由椭圆的定义和余弦定理得可得mn=4,故=mncos 60°=4×=2.故选D. 4.A　设椭圆的右焦点为F2,把椭圆方程化为标准形式为=1,由已知得|PF1|+|PF2|=2a=6⇒|PF1|=6-|PF2|,∴|PA|+|PF1|=6-(|PF2|-|PA|).①当|PA|≥|PF2|时,有|PA|-|PF2|≤|AF2|,等号成立时|PA|+|PF1|的值最大,此时P是射线AF2与椭圆的交点,则|PA|+|PF1|的最大值是6+.②当|PA|≤|PF2|时,有|PF2|-|PA|≤|AF2|,等号成立时|PA|+|PF1|的值最小,此时P是射线F2A与椭圆的交点,则|PA|+|PF1|的最小值是6-.故选A. 5.C　设M(1,-1),则kFM=,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,两式相减,得=0,即=0,即a2=3b2,又c=4,a2=b2+c2,所以a2=24,b2=8,故椭圆的方程为=1.故选C. 6.A　设动圆的半径为r,圆心为M,根据题意可知,C1(0, -3),C2(0,3),|MC1|=1+r,|MC2|=9-r,|C1C2|=3-(-3)=6,|MC1|+|MC2|=1+r+9-r=10>6,故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上的椭圆,且焦点为C2(0,3)和C1(0,-3),其中2a=10,2c=|C1C2|=6,则a=5,c=3,所以b2=a2-c2=25-9=16,故动圆圆心的轨迹方程为=1. 7.答案　2 解析　因为△POF2是边长为2的正三角形,所以c=|OF2|=2,点P的坐标为(1,), 又点P在椭圆上,所以=1,① 结合a2=b2+c2,得a2=b2+4,② 联立①②可解得b2=2. 8.答案　 解析　由已知得|F1F2|=2c=2,在锐角△F1PF2中,由正弦定理得=2R(R为△F1PF2外接圆的半径),即=8, 解得sin∠F1PF2=,故∠F1PF2=, 在△F1PF2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosF1PF2=|F1F2|2=48, 因为|PF2|+|PF1|=8, 所以82-3|PF2||PF1|=48,解得|PF2||PF1|=, 所以|PF2||PF1|sin∠F1PF2=. 9.解析　(1)由题及椭圆的定义,得a==2, 在△PF1F2中,-2|PF1|·|PF2|cos 120°=)=15,即4c2=15,得c2=, ∴b2=a2-c2=4-, 故椭圆C的方程为+4y2=1. (2)设点P的坐标为(m,n), ∵|PF1|>|PF2|,∴m>0. |PF1||PF2|sin 120°=, 又, ∴,解得n=±, ∵点P在椭圆C上,∴=1, 解得m=(负值舍去), 故点P的坐标为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$