第2章 1.1 第1课时 椭圆及其标准方程（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦椭圆的定义、标准方程推导及应用，通过细绳固定两点画椭圆的操作导入，类比圆的定义引出椭圆概念，构建从圆到椭圆的知识支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于通过定义双向运用、方程推导分步解析及分层例题，培养学生数学眼光（观察现实实例）、数学思维（逻辑推理）和数学语言（规范表达）。如鱼群洄游路线问题，让学生用椭圆知识解决实际问题，既助学生深化理解，也为教师提供系统教学支持。

第1课时 椭圆及其标准方程 第二章　1.1　椭圆及其标准方程 <<< 1.理解并掌握椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程的推导. 3.会求简单的椭圆的标准方程. 学习目标 我们对“椭圆形状”并不陌生，如有些汽车油罐横截面的轮廓、天体中一些行星和卫星运行的轨道、篮球在阳光下的投影(如图)等.那么，具有怎样特点的曲线是椭圆呢？ 导 语 一、椭圆的定义及应用 二、椭圆的标准方程的推导 课时对点练 三、求椭圆的标准方程 随堂演练 内容索引 椭圆的定义及应用 一 提示　椭圆. 我们已经知道用一根细绳和一支笔就可以画 出圆，那么仍然取一条一定长的细绳，把它 的两端分别固定在画板上的F1和F2两点，当 绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在画板上慢慢移动，其轨迹是什么？ 问题1 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于 的点的集合(或轨迹)叫作椭圆.这 叫作椭圆的焦点，_____________ 叫作椭圆的焦距. 常数(大于|F1F2|) 两个定点F1，F2 两个焦点间的 距离|F1F2| 知识梳理 (1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值. (2)定值必须大于两定点的距离. (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段. (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在. 注 意 点 <<< 8 　 (课本例1)　已知△ABC的周长为10，且|BC|＝4，则△ABC的顶点A的轨迹是什么？并说明理由. 例 1 因为△ABC的周长为10，且|BC|＝4， 所以|AB|+|AC|＝6，且|AB|+|AC|>|BC|. 根据椭圆的定义可知，△ABC的顶点A的轨迹是 以B，C为焦点，焦距长为4的椭圆(不含椭圆与 直线BC的交点)(如图). 解 9 　如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 例 1 如图，连接QA. 由已知，得|QA|＝|QP|. 所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r. 又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|. 根据椭圆的定义得，点Q的轨迹是以O，A为焦点的椭圆. 解 10 椭圆定义的双向运用 反 思 感 悟 判断 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆 求值 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和等于常数(大于两定点间的距离) 11 　设定点F1(0，－2)，F2(0，2)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝m＋(m>0)，则点P的轨迹是 A.椭圆 B.线段 C.射线 D.椭圆或线段 跟踪训练 1 √ 因为m>0，所以m＋≥2＝4(当且仅当m＝2时等号成立)，所以点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆或线段. 解析 12 二 椭圆的标准方程的推导 提示　设椭圆的焦距|F1F2|＝2c(c>0)，椭圆上任意一 点到两个焦点F1，F2的距离之和为2a(a>c).如图， 椭圆与直线F1F2相交于点A1，A2，与线段F1F2的垂直 平分线相交于点B1，B2，根据椭圆的定义和椭圆的对 称性， 得|B2F1|＋|B2F2|＝2a，且|B2F1|＝|B2F2|， 所以|B2F1|＝|B2F2|＝a. 根据椭圆的定义，请你建立适当的平面直角坐标系，并推导出其方程. 问题2 于是有|B2O|＝. 为方便起见，记|B2O|＝b，则b＝， 从而b2＝a2－c2. (1)以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系，如图，则焦点F1，F2的坐标分 别为(－c，0)，(c，0). 设P(x，y)是椭圆上任意一点，根据椭圆的定义可知点 P满足|PF1|＋|PF2|＝2a. 因为|PF1|＝，|PF2|＝， 所以＝2a， 即＝2a－. 两边平方、整理，得a2－cx＝a. 上式两边再平方、整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝(a2－c2)a2，即＝1. 将b2＝a2－c2代入上式， 得＝1(a>b>0). ① 这说明椭圆上任意一点的坐标都满足方程①.我们还可以证明，以方程①的每一组解为坐标的点都在椭圆上(证明过程略)，所以方程①就是在建立如图坐标系下的椭圆的方程. (2)以直线F1F2为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立 平面直角坐标系，如图，我们可以推出椭圆的方程为 ＝1(a>b>0)(推导过程略).   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ___________________ ___________________ 图形     ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 知识梳理   焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点坐标 ___________________ ___________________ a，b，c 的关系 ___________ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) b2＝a2－c2 (1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a. (2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上. 注 意 点 <<< 20 　(1)已知方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为　　　　　. 例 2 21 因为椭圆的焦点在y轴上， 所以其标准方程为＝1(a>b>0). 所以|m|－1>5－2m>0，解得2<m<， 所以m的取值范围为. 解析 22 (2)已知椭圆方程为kx2＋3y2－6k＝0，焦距为4，则k的值为　　　 　. 1或5 将方程kx2＋3y2－6k＝0化为＝1， 因为焦距为4，所以2c＝4，即c＝2. 当焦点在x轴上时，6－2k＝4，解得k＝1； 当焦点在y轴上时，2k－6＝4，解得k＝5. 综上，k＝1或k＝5. 解析 23 (1)把椭圆方程化为标准形式，焦点位置看大小，焦点随着大的跑. (2)不能确定焦点在哪个轴上时要讨论. (3)Ax2＋By2＝1表示椭圆的条件为 反 思 感 悟 24 (1)椭圆3x2＋y2＝3的焦点坐标为　　　　　　. 跟踪训练 2 (0，±) 椭圆3x2＋y2＝3可化为x2＋＝1，所以c2＝3－1＝2，所以椭圆的焦点坐标为(0，±). 解析 25 (2)已知椭圆的标准方程为＝1(m>0)，并且焦距为6，则实数m的值为　　　　　. 4或 26 因为2c＝6，所以c＝3. 当椭圆的焦点在x轴上时， 由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2， 由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，所以m2＝16. 又m>0，所以m＝4. 当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25， 由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34. 又m>0，所以m＝. 综上，实数m的值为4或. 解析 27 求椭圆的标准方程 三 (课本例2)　已知椭圆的两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0，2)，并且经过点P，求椭圆的标准方程. 例 3 29 方法一　因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为+＝1(a>b>0). 根据椭圆的定义知2a＝+ ＝+ ＝2， 从而a＝. 又c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6. 解 30 所以椭圆的标准方程为+＝1. 其图形如图. 解 31 方法二　因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为+＝1 (a>b>0). 因为点P在椭圆上，又c＝2，所以 解得b2＝6或b2＝－(舍)， 则a2＝10. 所以椭圆的标准方程为+＝1. 解 32 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； 例 3 因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＝1(a>b>0). 又椭圆经过点(0，2)和(1，0)， 所以 所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1. 解 33 (2)经过点P，Q. 34 ①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0). 依题意，有 由a>b>0，知不符合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0). 解 35 依题意，有 所以所求椭圆的标准方程为＝1. 解 36 确定椭圆标准方程的方法 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式. (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解. 反 思 感 悟 37 (1)已知椭圆＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为 A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 跟踪训练 3 √ 由题意可得 故椭圆的方程为＝1. 解析 38 (2)椭圆的两个焦点分别为(0，－4)和(0，4)，且椭圆上一点P到两焦点的 距离之和为10，则椭圆的标准方程为　　　　　　. ＝1 依题意，c＝4，且焦点在y轴上， 又∵2a＝10，∴a＝5，∴b2＝a2－c2＝9， 故所求的椭圆方程为＝1. 解析 39 1.知识清单： (1)椭圆的定义及其应用. (2)椭圆的标准方程. 2.方法归纳：待定系数法. 3.常见误区： (1)忽视椭圆定义中a，b，c的关系. (2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是 A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 √ ∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|， ∴动点M的轨迹是线段. 解析 1 2 3 4 2.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 A.(0，＋∞) B.(0，2) C.(1，＋∞) D.(0，1) √ ∵方程x2＋ky2＝2， 即＝1表示焦点在y轴上的椭圆， ∴>2，故0<k<1. 解析 1 2 3 4 3.已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为 A.＝1 B.＋y2＝1 C.＝1 D.＋x2＝1 √ 由题意得c＝1，由点P(2，0)在椭圆上， 可得a＝2，b2＝3，∴椭圆的方程为＝1. 解析 1 2 3 4 4.已知椭圆＝1(m>0)的左焦点为F1(－2，0)，则m的值为 A.9 B.4 C.3 D.2 √ 由题意可知16－m2＝12，解得m＝2(负值舍去). 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B D C AC +x2＝1 －1 题号 11 12 13 14 15 答案 A AC ± 12 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由焦距是4可得c＝2， 且焦点坐标为(0，－2)，(0，2). 由椭圆的定义知， 2a＝+＝8， 所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12. 又焦点在y轴上， 所以椭圆的标准方程为+＝1. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由题意知，2a＝26，即a＝13， 又c∶a＝5∶13，所以c＝5， 所以b2＝a2－c2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定， 所以椭圆的标准方程为 +＝1或+＝1. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1； 圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3. 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R. 动圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以|PM|+|PN|＝(R+r1)+(r2－R)＝r1+r2＝4>|MN|. 由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(点(－2，0)除外)， 其方程为+＝1(x≠－2). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c＝4， 则c＝2，a＝4，故b＝2， ∴曲线C的方程+＝1. (2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|＝3， 得＝3， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴ 解得 ∴点P的坐标为(2，3)或(2，－3). 基础巩固 1.点P为椭圆＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于 A.13 B.1 C.7 D.5 √ 由已知得a＝4，|PF2|＝2a－|PF1|＝8－3＝5. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.椭圆＝1的焦点坐标是 A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 椭圆的焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25， 所以c2＝a2－b2＝144， 所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.“2<m<6”是“方程＝1表示椭圆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 若方程＝1表示椭圆， 则解得2<m<6且m≠4， 所以“2<m<6”是“方程＝1表示椭圆”的必要不充分条件. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 A.(3，＋∞) B.(－∞，－2) C.(－∞，－2)∪(3，＋∞) D.(－6，－2)∪(3，＋∞) √ 因为椭圆的焦点在x轴上， 所以 解得a>3或－6<a<－2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.化简方程＝10为不含根式的形式是 A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 √ 方程＝10，它的几何意义是动点P(x，y)到定点(0，－3)与到定点(0，3)的距离之和为10>6，从而点P的轨迹为 椭圆，焦点在y轴上，且a＝5，c＝3，∴b＝4，其标准方程为＝1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是 A.当a＝2时，点P的轨迹不存在 B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确； 当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确； 当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离之和为8，焦 距为2，则此椭圆的标准方程为　　　　 . ＋x2＝1 由已知2a＝8，2c＝2， 所以a＝4，c＝， 所以b2＝a2－c2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的标准方程为＋x2＝1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若椭圆3x2－ty2＝6的一个焦点为F(0，2)，则实数t＝　　　. －1 椭圆3x2－ty2＝6的标准方程为＝1，因为其一个焦点为F(0，2)， 所以a2＝－，b2＝2，所以－－2＝4， 解得t＝－1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)； 由焦距是4可得c＝2， 且焦点坐标为(0，－2)，(0，2). 由椭圆的定义知，2a＝＝8， 所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12. 又焦点在y轴上， 所以椭圆的标准方程为＝1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 由题意知，2a＝26，即a＝13， 又c∶a＝5∶13，所以c＝5， 所以b2＝a2－c2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定， 所以椭圆的标准方程为＝1或＝1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1； 圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3. 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R. 动圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|. 由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(点(－2，0)除外)， 其方程为＝1(x≠－2). 解 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.△ABC的两个顶点为A(－3，0)，B(3，0)，△ABC的周长为16，则顶点C的轨迹方程为 A.＝1(y≠0) B.＝1(y≠0) C.＝1(y≠0) D.＝1(y≠0) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知点C到A，B两点的距离之和为10>6，故点C的轨迹为以A(－3，0)，B(3，0)为焦点的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16， 又△ABC中A，B，C三点不能共线，所以点C的轨迹方程为＝ 1(y≠0). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)椭圆＝1的焦距是2，则m的值可以是 A.3 B.4 C.5 D.不存在 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵2c＝2，∴c＝1. 当椭圆的焦点在x轴上时， a2＝m，b2＝4，c2＝m－4. ∴m－4＝1，m＝5. 当椭圆的焦点在y轴上时， a2＝4，b2＝m， ∴c2＝4－m＝1，∴m＝3. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.椭圆C：＝1(a>)上的点P(2，－1)到椭圆C的右焦点F的距离为　　　　 . 把P(2，－1)代入＝1(a>)， 得＝1，∴a2＝6，a＝，c＝， 椭圆C的右焦点为F(，0)， ∴点P到椭圆C的右焦点的距离为. 解析 14.椭圆＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点 M在y轴上，那么点M的纵坐标为　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ± 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，c2＝12－3＝9，则c＝3. ∵线段PF1的中点M在y轴上，且O是线段F1F2的中点(O为坐标原点，F2为椭圆的另一个焦点)， ∴PF2⊥x轴， ∴点P的横坐标是±3，设点P的纵坐标为y， ∵点P在椭圆上， ∴＝1，即y2＝，∴y＝±. ∴点M的纵坐标为±. 解析 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知椭圆C：＝1，点M与椭圆C的焦点不重合.若点M关于椭圆的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆上，则|AN|＋|BN|＝　　　　. 12 如图，取MN的中点G，G在椭圆C上， 因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B， 故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|， 所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12. 解析 16.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示. (1)求曲线C的标准方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c＝4， 则c＝2，a＝4，故b＝2， ∴曲线C的方程＝1. 解 (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|＝3， 得＝3， ∴ ∴点P的坐标为(2，3)或(2，－3). 解 第二章　1.1　椭圆及其标准方程 <<< $