第1章 2.3 直线与圆的位置关系（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2.3　直线与圆的位置关系 基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　直线与圆的位置关系的判断 1.直线xsin θ+y-1=0与圆x2+y2=1的位置关系为(　　) A.相交　　　　　　B.相切 C.相离　　　　　　D.相切或相交 2.已知直线l:m(x+2)+y-1=0,圆C:x2+y2=6,则直线l与圆C的位置关系是(　　) A.相交　　　　　　B.相切 C.相离　　　　　　D.不确定 3.(多选题)在同一平面直角坐标系中,直线ax-y+a=0与圆(x+a)2+y2=a2的位置可能是(　　) 4.若点P(a,b)在圆C:x2+y2=1内,则直线ax+by=1与圆C的位置关系为(　　) A.相交　　　　　　B.相切 C.相离　　　　　　D.不能确定 题组二　圆的切线问题 5.过点M(2,1)作圆C:(x-1)2+y2=2的切线,则切线的条数为(　　) A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3 6.(2024重庆第一中学校月考)圆心在y轴上的圆C与直线x-y=1相切于点A(1,0),则圆心C的纵坐标为(　　) A.2　　　B.　　　C.1　　　D.0 7.若直线y=k(x-1)+2与圆x2+(y-1)2=2相切,则k的值为　　(　　) A.2　　　B.-2　　　C.1　　　D.-1 8.以(1,m)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0,2x-y-6=0都相切的圆的标准方程为(　　) A.(x-1)2+(y+9)2=5 B.(x-1)2+(y-1)2=25 C.(x-1)2+(y-1)2=5 D.(x-1)2+(y+9)2=25 9.(多选题)已知圆x2+y2=4和点A(2,-1),则过点A的圆的切线方程为(　　) A.4x-3y-11=0　　　　　　B.4x+3y-11=0 C.3x-4y-10=0　　　　　　D.x=2 10.已知圆C:(x-2)2+(y-1)2=4及圆C外一点M(-4,-1),过点M作圆C的一条切线,切点为N,则|MN|=　　　　.  11.由直线x-y+2=0上的点P向圆C:(x-4)2+(y+2)2=1引切线PT(T为切点),则线段PT的最小长度为　　　　.  题组三　圆的弦长问题 12.已知直线l:3x-4y+5=0与圆O:x2+y2=21交于A,B两点,则|AB|=(　　) A.2 C.4　　　　　　 D.8 13.(多选题)圆x2+y2-2x+4y-20=0截直线5x-12y+c=0所得的弦长为8,则c的值可能为(　　) A.10　　　　　　B.-68 C.5　　　　　　 D.-34 14.直线y=kx+2与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是(　　) A.　　　　　　 B. C.　　　　　　 D. 15.(多选题)已知圆(x-1)2+(y-1)2=4与直线x+my-m-2=0,则下列说法正确的是(　　) A.直线与圆必相交 B.直线与圆不一定相交 C.直线与圆相交且被截得的弦最短为2 D.直线与圆相交且被截得的弦最长为4 16.若a,b,c是直角三角形的三边长(c为斜边长),则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=2所截得的弦长等于　　　　.  17.直线3x-4y-5=0与圆C:(x-2)2+(y-1)2=25相交于A,B两点,求△ABC的面积. 18.如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处,B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1千米为单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O,A,B三点. (1)求圆C的方程; (2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处,正沿着北偏东45°方向行驶,不改变行驶方向,试问该船有没有触礁的危险? 能力提升练 题组一　直线与圆相切的综合应用　　　　　 　　　　 　　　　 1.从原点O引圆(x-m)2+(y-2)2=m2+1的切线y=kx,当m的值变化时,切点P的轨迹方程是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.x2+y2=2(x≠0) B.(x-1)2+y2=3(x≠0) C.(x-1)2+(y-1)2=1(x≠0) D.x2+y2=3(x≠0) 2.(多选题)设圆:x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,P(5,1)为圆外一点,过P作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则(　　) A.|PA|=|PB|=2 B.P,A,C,B四点共圆 C.∠APB=30° D.直线AB的方程为x=2 3.在平面直角坐标系中,已知圆C:x2+(y-3)2=2,A是x轴上的一个动点,AP,AQ分别切圆C于P,Q两点,则线段PQ长度的取值范围是(　　) A. C. 4.(多选题)已知圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,则下面命题中是真命题的有(　　) A.对任意实数k与θ,直线l和圆M相切 B.对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点 C.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l和圆M相切 D.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l和圆M相切 5.已知点A(x,y)在曲线y=上运动,则的最大值为　　　　.  6.已知过点P(3,0)的直线与圆C:(x-2)2+(y-1)2=4交于A,B两点(A点在x轴上方),若|BP|=3|PA|,圆的切线l与AB平行,则直线AB与切线l间的距离是　　　　　.  7.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0. (1)若不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程; (2)从圆C外一点P(x,y)向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求点P的轨迹方程. 题组二　直线与圆相交的综合应用 8.已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,且垂足为M(1,),则四边形ABCD面积的最大值为(　　) A.4　　　B.5　　　C.8　　　D.10 9.已知圆O:x2+y2=49,直线l过点M(6,3),且交圆O于P,Q两点,则使弦长|PQ|为整数的直线l的条数为(　　) A.18　　　B.20　　　C.22　　　D.24 10.(多选题)在平面直角坐标系中,已知点A(-4,2),B(2,2),点P满足=2,设点P的轨迹为圆C,则下列说法正确的是(　　) A.圆C的方程是(x-4)2+(y-2)2=16 B.过点A向圆C引切线,两条切线的夹角为 C.过点A作直线l,若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,则该直线的斜率为± D.过直线3x+4y=60上的一点D向圆C引切线DM,DN,切点分别为M,N,则四边形DMCN的面积的最小值为16 11.已知直线l:mx-y-m=0与☉C:(x+1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足△ABC的面积为的实数m的一个值:　　　　.  12.若直线l过点A(0,5),且被圆C:x2+y2+4x-12y+24=0截得的弦长为4,则直线l的方程为　　　　　　　　　　　　.  13.若直线l:ax+by=0(b≠0)与圆C:x2+y2-4x-4y-10=0相交于A,B两点,|AB|≥8,则直线l的斜率的取值范围为　　　　.  14.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短的问题.在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+(y+2)2≤2,若将军从点A(-4,0)处出发,河岸线所在直线的方程为x+y-1=0,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为　　　　　.  15.已知两点D(4,2),M(3,0)及圆C:(x-2)2+(y-3)2=5,l为经过点M的一条动直线. (1)若直线l经过点D,求证:直线l与圆C相切; (2)若直线l与圆C相交于两点A,B,从下列条件中选择一个作为已知条件,并求△ABD的面积. 条件①:直线l平分圆C; 条件②:直线l的斜率为-3. 16.已知圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上. (1)求圆C的标准方程; (2)过点D(0,5)且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M,N,若=30,其中O为坐标原点,求直线l的方程. 答案与分层梯度式解析 2.3　直线与圆的位置关系 基础过关练 1.D　圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径r=1, 则圆心到直线的距离d=≤r=1, 所以直线与圆相切或相交.故选D. 2.A　由直线方程可得y-1=-m(x+2),因此直线l过定点(-2,1),设为A,因此|AC|=.故点A在圆C的内部,从而直线l与圆C相交,故选A. 3.AD　圆(x+a)2+y2=a2的圆心为(-a,0),半径为|a|.圆心(-a,0)到直线ax-y+a=0的距离d=.不妨令<|a|,可得<1,即1-2a+a2<1+a2,当a>0时,不等式恒成立,说明直线与圆相交,圆心在x轴负半轴上且直线的斜率为正数;当a<0时,不等式不成立,说明直线与圆相离,圆心在x轴正半轴上且直线的斜率为负数.所以A,D可能,B,C不可能.故选AD. 4.C　因为点P(a,b)在圆C:x2+y2=1内,所以a2+b2<1,设圆心C(0,0)到直线ax+by=1的距离为d,则d=>1,因为圆C:x2+y2=1的半径r=1,所以d>r,所以直线ax+by=1与圆C的位置关系为相离.故选C. 5.B　因为(2-1)2+12=2,所以点M(2,1)在圆C:(x-1)2+y2=2上,所以过点M(2,1)所作的圆C:(x-1)2+y2=2的切线仅有1条.故选B. 6.C　由题意得,直线AC垂直于直线x-y=1,则直线AC的方程为y= -(x-1),即x+y-1=0.令x=0,得y=1,即圆心C的纵坐标为1.故选C. 7.D　圆x2+(y-1)2=2的圆心为(0,1),半径r=.∵直线y=k(x-1)+2与圆x2+(y-1)2=2相切,∴,整理得(k+1)2=0,∴k=-1,故选D. 8.C　设圆的半径为r,则r=,可得所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5,故选C. 9.CD　当过点A且与圆相切的直线的斜率存在时,设切线方程为y=k(x-2)-1,即kx-y-2k-1=0,则圆心到该直线的距离为=2,解得k=,故切线方程为3x-4y-10=0;当过点A且与圆相切的直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,经验证,直线x=2与圆x2+y2=4相切.故过点A的圆的切线方程为3x-4y-10=0和x=2,故选CD. 10.答案　6 解析　圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的圆心为C(2,1),半径r=2,由题意得CN⊥MN, 所以|MN|==6. 11.答案　 解析　圆C:(x-4)2+(y+2)2=1的圆心C(4,-2),半径r=1,点C(4,-2)到直线x-y+2=0的距离d=, 于是得|PT|=,当且仅当PC垂直于直线x-y+2=0时取“=”, 所以线段PT的最小长度为. 12.B　由题意得圆O的圆心为O(0,0),半径r=,圆心O到直线l的距离d==1,所以|AB|=2.故选B. 13.AB　x2+y2-2x+4y-20=0化为标准方程为(x-1)2+(y+2)2=52,则圆心为(1,-2),半径r=5,又弦长l=8,∴圆心到直线的距离d=,解得c=10或c=-68.故选AB. 14.A　圆(x-3)2+(y-2)2=4的圆心为(3,2),半径r=2,将直线y=kx+2化为kx-y+2=0,则圆心到直线kx-y+2=0的距离d=≥0,由垂径定理得|MN|=2,因为|MN|≥2,所以2≥2,解得0≤d≤1,即∈[0,1],解得-≤k≤,故k的取值范围是.故选A. 15.AC　圆(x-1)2+(y-1)2=4的圆心为(1,1),半径r=2.将x+my-m-2=0变形为x-2+m(y-1)=0,得直线过定点(2,1).∵=1<2,∴点(2,1)在圆内,∴直线与圆必相交,故A正确,B错误;由平面几何知识可知,当直线x+my-m-2=0与过定点(2,1)和圆心的直线垂直时,所得的弦最短,此时弦长为2×,故C正确;易知直线x+my-m-2=0不可能过圆心,∴直线被截得的弦的长不可能为4,故D错误.故选AC. 16.答案　2 解析　由题意得a2+b2=c2,则圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离d==1,又半径r=,所以弦长为2=2. 17.解析　由题知圆心为C(2,1),半径为5,圆心到直线的距离d=.由勾股定理得|AB|=2×,所以S△ABC=. 18.解析　(1)易知O(0,0),A(40,40),B(20,0). 设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则 故圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0. (2)由题意得D(-20,-20), 船航线所在直线的斜率为1, 故船航线所在直线的方程为x-y+20-20=0. 由(1)得圆C的圆心坐标为(10,30),半径为10. 圆心C到直线x-y+20-20=0的距离d=, 故该船有触礁的危险. 能力提升练 1.D　设P(x,y),x≠0,易知|OP|=,∴x2+y2=3(x≠0),故选D. 2.ABD　将圆C的方程化为标准方程,得(x-1)2+(y-1)2=4,所以圆心C(1,1),半径r=2.如图,对于A,因为|PC|==4,所以|PA|=|PB|=,故A正确;在Rt△BCP中,PC=4,BC=2,则sin∠CPB=,即∠CPB=30°,则∠APB=2∠CPB=60°,∠BCP=∠ACP=60°,所以点A,B在直线PC上的投影长均为2× cos 60°=1,则点A,B的横坐标均为2,所以直线AB的方程为x=2,故C错误,D正确;对于B,直线PC与圆C相交于点D(3,1),显然|DC|=|DB|=|DP|=|AD|=2,故P,A,C,B四点共圆,故B正确.故选ABD. 3. B　设|AC|=x,则x≥3,由PC⊥AP可知|AP|=, ∵AC垂直平分PQ,∴|PQ|=2×,∴当x=3时,|PQ|取得最小值,最小值为2,又≤|PQ|<2.故选B. 4.BD　由题意可得,圆M的圆心为(-cos θ,sin θ),半径为1,则圆心到直线l:y=kx的距离d==|sin(θ+φ)|≤1,所以直线l和圆M有公共点,且对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l和圆M相切.故选BD. 5.答案　 解析　y=可变形为x2+y2=4(y≥0),它是以原点为圆心,2为半径的上半圆,如图, 点A(x,y)在上半圆上运动,表示点A(x,y)与点M(-4,0)连线的斜率, 由图可知,当直线AM与半圆相切时斜率最大,设直线AM的斜率为k,则直线方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0, 因此=2,解得k=(负值舍去), 所以. 6.答案　2-或2+ 解析　因为(3-2)2+(0-1)2<4,所以点P(3,0)在圆C内,即点P在弦AB上. 因为点P在x轴上,点A在x轴上方,所以点B在x轴下方,如图所示: 则直线AB必不可能与y轴垂直,可设直线AB的方程为x=my+3. 由得(m2+1)y2+(2m-2)y-2=0, 易知该方程有两个不相等的实数根, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y2<0<y1,y1+y2=. 因为|BP|=3|PA|,所以|0-y2|=3|y1-0|,即-y2=3y1, 则y1+y2=-2y1=,即y1=, 由y1>0可得m>1, 所以y1y2=-3,整理得m2-6m+1=0, 解得m1=3-2(舍去),m2=3+2, 所以直线AB的方程为x=(3+2)y+3,即(3+2)y-x+3=0,则圆心C(2,1)到直线AB的距离d=. 因为圆心C(2,1)到切线l的距离是半径2, 所以直线AB与切线l间的距离是2-或2+. 7.解析　(1)易知圆C的圆心坐标为(-1,2),半径为. 由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零,设直线方程为x+y-a=0(a≠0),由直线与圆相切得,解得a=-1或a=3, ∴直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0. (2)易知|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+2, ∴|PM|2=|PC|2-2. ∵|PM|=|PO|,∴|PC|2-2=|PO|2, ∴(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2, 即2x-4y+3=0,故点P的轨迹方程为2x-4y+3=0. 8.B　设圆心O到直线AC,BD的距离分别为d1,d2,则=OM2=3,所以四边形ABCD的面积S=AC·BD=≤4-=5,当且仅当时取等号.故四边形ABCD面积的最大值为5.故选B. 9.B　圆O的半径r=7,因为62+32=45<49,所以点M在圆O内.过点O作OC⊥PQ,垂足为C,连接OM,OP,如图所示, 设|OC|=d, 则有|PQ|=2, 所以当|CM|=0,即M,C两点重合时,|PQ|取得最小值,为2=4, 当PQ为圆O的直径时,|PQ|取得最大值,为2r=14, 所以4≤|PQ|≤14. 当|PQ|=4时,表示圆O内过点M的最短弦,只有1条;当|PQ|=14时,表示圆O内过点M的最长弦,只有1条;当|PQ|=5,6,7,8,9,10,11,12,13时,由圆的对称性可知,圆O内过点M的弦有2条. 故使弦长|PQ|为整数的直线l的条数为1+1+9×2=20. 10.ABD　对于A,设P(x,y),则=2,化简得x2+y2-8x-4y+4=0,即(x-4)2+(y-2)2=16,故A正确;对于B,易知圆心C(4,2),半径r=4,则|AC|=8,设两条切线的夹角为α,则sin ,又为锐角,所以,则α=,故B正确;对于C,易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-2=k(x+4),即kx-y+4k+2=0,因为圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,所以圆心到直线l的距离d==2,解得k=±,故C错误;对于D,由题意可得四边形DMCN的面积S=2×,故只需求|DC|的最小值即可,|DC|的最小值为点C到直线3x+4y=60的距离d1==8,所以四边形DMCN的面积的最小值为4×,故D正确.故选ABD. 11.答案　 解析　☉C:(x+1)2+y2=4的圆心为C(-1,0),半径r=2, 则圆心C到直线l:mx-y-m=0的距离d=, 则|AB|=2, 故S△ABC=|AB|·d=d, 所以d=1或d=. 当d=1时,=1,解得m=±; 当d=时,,解得m=±. 故m=±或m=±. 12.答案　3x-4y+20=0或x=0 解析　圆C的方程x2+y2+4x-12y+24=0可化为(x+2)2+(y-6)2=16,∴圆心为C(-2,6),半径为4. 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,令圆的方程中x=0,则y=6±2,此时直线被圆C截得的弦长为4,满足题意; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+5,即kx-y+5=0, ∵直线被圆C截得的弦长为4,∴圆心到直线l的距离d=, ∴l的方程为3x-4y+20=0. 综上,l的方程为3x-4y+20=0或x=0. 13.答案　[2-] 解析　将圆C的方程化为标准方程,得(x-2)2+(y-2)2=18,则圆心坐标为(2,2),半径r=3, 设圆心到直线l的距离为d,要求|AB|≥8, 即2≥8,即d2≤2, ∴,即a2+b2+4ab≤0(b≠0), ∴+1≤0,解得-2-≤-2+, 设直线l的斜率为k,则k=-, ∴2-≤k≤2+. 14.答案　4 解析　设点A关于直线x+y-1=0的对称点为A'(a,b),则AA'的中点坐标为, 故则A'(1,5). 由x2+(y+2)2≤2知军营所在区域中心为C(0,-2), 则“将军饮马”的最短总路程为|A'C|-. 15.解析　(1)证明:因为直线l经过点D,M,所以直线l的方程为2x-y-6=0. 圆C的圆心为C(2,3),半径r=,则圆心C(2,3)到直线l的距离为=r, 所以直线l与圆C相切. (2)选择条件①:若直线l平分圆C, 则直线l过圆心C(2,3),所以直线l的方程为y-0=(x-3),即3x+y-9=0. 此时|AB|=2r=2, 点D(4,2)到直线l的距离为, 所以S△ABD=. 选择条件②:若直线l的斜率为-3, 则直线l的方程为y-0=-3(x-3),即3x+y-9=0, 此时圆心C(2,3)在直线l上,则|AB|=2r=2, 点D(4,2)到直线l的距离为, 所以S△ABD=. 16.解析　(1)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 由已知得 故圆C的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=13. (2)由题意知直线l的方程为y=kx+5, 代入方程(x-3)2+(y-2)2=13,整理得(1+k2)x2-6(1-k)x+5=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1+x2=, 故=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+5)(kx2+5) =(1+k2)x1x2+5k(x1+x2)+25=+30=30, 解得k=1或k=0. 当k=1时,Δ=[-6(1-k)]2-4(1+k2)×5=-40<0,不符合题意,舍去, 当k=0时,Δ=[-6(1-k)]2-4(1+k2)×5=16>0,符合题意. 所以直线l的方程为y=5. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$