第1章 2.2 圆的一般方程（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2.2　圆的一般方程 基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　对圆的一般方程的理解 1.圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的半径为(　　) A.4　　　　　　 B.2　　　 C.　　　　　　D.1 2.下列关于方程x2+y2+2ax-b2=0的说法正确的是　　(　　) A.该方程表示一个圆 B.只有当a=0时,该方程才能表示一个圆 C.该方程表示一个点 D.当a,b不全为0时,该方程才能表示一个圆 3.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,且坐标原点在该圆外,则a的取值范围是　　　　.  4.若圆C:x2+y2+Dx+2y=0的圆心在直线x-2y+1=0上,则圆C的半径为　　　　.  题组二　求圆的一般方程 5.圆心在射线y=x(x≤0)上,半径为5,且经过坐标原点的圆的方程为(　　) A.x2+y2-8x-6y=0　　　　　　 B.x2+y2-6x-8y=0 C.x2+y2+8x+6y=0　　　　　　 D.x2+y2+6x+8y=0 6.过点M(-1,1),且圆心与已知圆C:x2+y2-4x+6y-3=0相同的圆的一般方程为　　　　　　　　.  7.已知点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),D(2,a)四点共圆,则a=　　　　.  8.已知圆C过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上,求圆C的一般方程. 题组三　圆的一般方程的应用 9.圆x2+y2-2x-2y-7=0的圆心到直线x+y=0的距离为(　　) A. C.2　　　　　　 D.3 10.若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线y=x-1对称,则(　　) A.D+E=2　　　　　　B.D-E=-1 C.D-E=-2　　　　　　D.D+E=1 11.(多选题)若点A(a,a)在圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0外,则实数a的值可以是(　　) A.-5　　　B.-4　　　C.4　　　D.5 12.(多选题)若P为圆C:x2+y2-4x-6y+9=0上任意一点,点Q(1,2),则|PQ|的值可以为(　　) A.0.6　　　B.2　　　C.3.41　　　D.3.42 13.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-7)2的最小值为　　　　.  能力提升练 题组　圆的方程及其应用　　　　　 　　　　 　　　　 1.在平面直角坐标系中,已知点A(4,3),点B是圆(x+1)2+y2=4上的动点,则线段AB的中点M的轨迹方程是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.=1 B.=4 C.(x-3)2+(y-3)2 =1 D.(x-3)2+(y-3)2=2 2.方程x2+y2+ax+(2b-1)y-1-b2=0表示圆心在y轴上的圆,当其半径r最小时,方程为(　　) A.x2+=1　　　　　　B.x2+(y-1)2=2 C.x2+ 3.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点Q,P的距离之比=λ(λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为x2+y2=1,Q为x轴上一定点,P,且λ==2,则点Q的坐标为(　　) A.(-1,0)　　　　　　B.(1,0) C.(-2,0)　　　　　　D.(2,0) 4.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆取得最大面积时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α等于(　　) A.135°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.120° 5.圆x2+y2-4y=0关于直线y=2x+1对称的图形的方程为(　　) A.(x-1)2+(y-1)2=2　　　　　　 B.(x-1)2+(y-2)2=4 C.=4　　　　　　 D.=4 6.圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则的最小值为　　　　.  7.平面直角坐标系中,已知点A(-1,-1),B(0,3),P(1,a),N(1,a+1),当四边形PABN的周长最小时,△APN的外接圆的方程为　　　　　　　　.  8.已知圆C过点A(4,2),B(1,3),它与x轴的交点为(x1,0),(x2,0),与y轴的交点为(0,y1),(0,y2),且x1+x2+y1+y2=6,求圆C的一般方程. 9.已知平面直角坐标系中的点P(x,y)的坐标x,y满足x2+y2-6x+4y+4=0,记μ=x2+y2+2x-4y的最大值为M,最小值为m. (1)请说明点P的轨迹是怎样的图形; (2)求M+m的值. 答案与分层梯度式解析 2.2　圆的一般方程 基础过关练 1.B　圆C的半径r==2.故选B. 2.D　方程x2+y2+2ax-b2=0可化为(x+a)2+y2=a2+b2,所以当a=b=0时,方程表示一个点;当a,b不全为0时,方程表示一个圆.故选D. 3.答案　(-2,-1)∪ 解析　因为方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆, 所以a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0, 整理,得3a2+4a-4<0,解得-2<a<. 又坐标原点在圆外,所以2a2+a-1>0,即(2a-1)(a+1)>0,解得a<-1或a>. 综上所述,a∈(-2,-1)∪. 4.答案　 解析　圆C:x2+y2+Dx+2y=0的圆心为, 则有--2×(-1)+1=0,解得D=6,所以圆C的半径为. 5.C　因为圆心在射线y=x(x≤0)上,所以设圆心为(a≤0),又半径为5,且经过坐标原点,所以=5,解得a=-4或a=4(舍去),所以圆心为(-4,-3),则圆的方程为(x+4)2+(y+3)2=25,即x2+y2+8x+6y=0.故选C. 6.答案　x2+y2-4x+6y-12=0 解析　将圆C的方程化为标准方程得(x-2)2+(y+3)2=16,则圆心C的坐标为(2,-3),故所求圆的半径r=|CM|==5,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25,即x2+y2-4x+6y-12=0. 7.答案　1 解析　设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则 所以过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0,又点D在此圆上,所以4+a2+12-2a-15=0,即a2-2a+1=0,所以a=1. 8.解析　设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则有 所以圆C的一般方程为x2+y2-6x+4y+4=0. 9.A　将x2+y2-2x-2y-7=0化为(x-1)2+(y-1)2=9,则圆心为(1,1),其到直线x+y=0的距离d=.故选A. 10.C　由圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可知圆心坐标为,因为圆关于直线y=x-1对称,所以圆心在直线y=x-1上,所以- -1,即D-E=-2.故选C. 11.AB　解法一:由题意得(-2a)2+02-4(a2+2a-3)>0,解得a<.又点A(a,a)在圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0外,所以a2+a2-2a2+a2+2a-3>0,即a2+2a-3>0,解得a<-3或a>1. 综上所述,a的取值范围为(-∞,-3)∪,故选AB. 解法二:把圆的方程化为标准方程为(x-a)2+y2=3-2a,设圆心为P,则P(a,0),半径r=,易知3-2a>0,所以a<.若点A(a,a)在圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0外,则|AP|=,即有a2>3-2a,解得a<-3或a>1,又a<,所以实数a的取值范围是(-∞,-3)∪.故选AB. 12. ABC　由圆C的方程得圆心为C(2,3),半径r==2,而|CQ|=<2,故点Q在圆C内, 由图可知,|PQ|max=r+|CQ|=2+,此时P与P1重合;|PQ|min=r-|CQ|=2-,此时P与P2重合. 故|PQ|的取值范围为[2-]. 结合选项可知ABC正确. 13.答案　20 解析　圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的圆心为(-2,-1),半径为2,由题意得直线l:ax+by+1=0过圆心,则-2a-b+1=0,即b=1-2a,则(a-2)2+(b-7)2=(a-2)2+(1-2a-7)2=5(a+2)2+20≥20.故答案为20. 能力提升练 1.A　设B(m,n),M(x,y),则根据中点坐标公式得由点B在圆(x+1)2+y2=4上,得(2x-3)2+(2y-3)2=4,即=1,故选A. 2.D　由题意得a=0,则方程为x2+y2+(2b-1)y-1-b2=0,即x2+,则r2=1+,令函数f(b)=,可知其图象的开口向上,对称轴为直线b=,所以f(b)的最小值为f,即r2的最小值为,此时圆的方程为x2+.故选D. 3.C　设Q(a,0),M(x,y),则|MQ|=.因为λ==2,所以=2,整理得x2+y2+.因为动点M的轨迹方程是x2+y2=1,所以解得a=-2,所以Q(-2,0). 故选C. 4.A　设圆的半径为r.方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的标准方程为,则r2=1-,当此圆取得最大面积时,k=0,此时r=1,直线y=(k-1)x+2即为y=-x+2,所以tan α=-1,因为0°≤α<180°,所以α=135°,故选A. 5.D　圆关于直线对称的图形仍为圆. 将已知圆的方程x2+y2-4y=0化为标准方程可得x2+(y-2)2=4,其圆心为(0,2),记C(0,2),半径r=2. 设点C(0,2)关于直线y=2x+1对称的点为D(x0,y0), 则有 即对称圆的圆心为D. 易知对称圆的半径r1=r=2, 所以其方程为=4.故选D. 6.答案　9 解析　圆x2+y2+4x-2y-1=0,即(x+2)2+(y-1)2=6,其圆心为(-2,1), 因为圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称, 所以直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)过圆心(-2,1), 所以-2a-2b+2=0,即a+b=1, 又a>0,b>0, 所以≥2+5=9, 当且仅当,即a=时取等号, 所以的最小值为9. 7.答案　x2+y2+3x-3y-2=0 解析　四边形PABN的周长C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=+1, 故当取得最小值时四边形PABN的周长最小. ,它表示y轴上的点(0,-a)与(-2,1)和点(1,-2)的距离之和,易知当这三点共线时该距离之和最小,为点(-2,1)和点(1,-2)间的距离,令G(-2,1),H(1,-2),则kGH==-1,所以直线GH的方程为y-1=-(x+2),令x=0,得y=-1,所以a=1. 因此四边形PABN的周长最小时,P(1,1),N(1,2). 设经过A,P,N三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则 故△APN的外接圆的方程为x2+y2+3x-3y-2=0. 8.解析　设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令y=0,得x2+Dx+F=0,所以x1+x2=-D; 令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y1+y2=-E. 所以x1+x2+y1+y2=-(D+E)=6, 所以D+E=-6.① 又圆C过点A(4,2),B(1,3), 所以42+22+4D+2E+F=0,② 12+32+D+3E+F=0,③ 由①②③得D=-4,E=-2,F=0, 所以圆C的一般方程为x2+y2-4x-2y=0. 9.解析　(1)x2+y2-6x+4y+4=0可化为(x-3)2+(y+2)2=9.因此,点P的轨迹是以(3,-2)为圆心,3为半径的圆. (2)μ=x2+y2+2x-4y=(x+1)2+(y-2)2-5, 设C1(3,-2),C2(-1,2),则μ=|C2P|2-5, |C2C1|=. 易知|C2P|max=|C2C1|+3=4+3, |C2P|min=|C2C1|-3=4-3, ∴M=(4-3)2-5,∴M+m=72. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$