第1章 2_2 圆的一般方程（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

　　圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2. 特别地,当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以坐标原点为圆心,r为半径的圆. §２ 圆与圆的方程 知识点 1 圆的标准方程 知识 清单破 2.1 圆的标准方程 2.2 圆的一般方程 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 1.圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0),其圆心为 ,半径为  . 2.圆的一般方程在代数结构上的典型特征 (1)x2,y2的系数相同,且不等于0; (2)不含xy项. 知识点 2 圆的一般方程 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 3 点与圆的位置关系 点(x0,y0)与圆的位置关系 判断方法 若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 若圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 点在圆内 (x0-a)2+(y0-b)2<r2  + +Dx0+Ey0+F<0 点在圆上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2  + +Dx0+Ey0+F=0 点在圆外 (x0-a)2+(y0-b)2>r2  + +Dx0+Ey0+F>0 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.已知圆心和圆上一点,能确定圆的方程.(　     ) 2.圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1,2),半径为5. (         ) 3.过原点且圆心为(a,b)的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0). (　     ) 4.方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆.(         ) 5.方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示圆. (　     ) ✕ ✕ √ √ √ 提示 提示 提示 半径为 . 当m=0时,方程表示一个点,当m≠0时,方程表示一个圆. 方程可化为x2+y2+ax-ay=0.因为D2+E2-4F=2a2>0,所以此方程表示圆. 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 1.直接代入法 　　确定圆心坐标和半径,直接代入圆的标准方程即可. (1)利用已知条件确定圆心C(a,b)及半径r. (2)利用几何性质,确定圆心C(a,b)及半径r. ①圆心与切点的连线垂直于圆的切线; ②圆心到切线的距离等于圆的半径; ③圆的半径r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2; ④圆的弦的垂直平分线过圆心; 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 圆的标准方程的求法 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 ⑤已知过圆心的直线l及圆上两点,则两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不重合)与直线l 的交点即为圆心. 2.待定系数法 (1)根据题意,设所求圆的标准方程或一般方程; (2)根据已知条件建立关于参数的方程组; (3)解方程组,求出参数的值; (4)将参数的值代入所设的方程中,即可得到所求圆的方程. 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知圆P过点A(1,0),B(4,0),若圆心P的纵坐标为2,求圆P的标准方程; (2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0, )在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为 , 求圆C的标准方程; (3)已知圆C的圆心在直线x-2y-3=0上,且圆C过点A(2,-3),B(-2,-5),求圆C的标准方程. 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由圆的对称性可知,圆心P必在线段AB的垂直平分线上, ∴P的横坐标为 = ,即P , 圆P的半径r=|AP|= = , ∴圆P的标准方程为 +(y-2)2= . (2)设圆心C(a,0)(a>0),则 = , ∴a=2,半径r=|CM|= =3, 故圆C的标准方程为(x-2)2+y2=9. (3)∵圆C的圆心在直线x-2y-3=0上, ∴设圆心C(2m+3,m),半径为r, 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 则圆C的方程为(x-2m-3)2+(y-m)2=r2, 又圆C过点A(2,-3),B(-2,-5), ∴ 解得  ∴C(-1,-2), 故圆C的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 1.求与圆有关的轨迹问题的方法 (1)直接法:直接根据已知条件列出方程. (2)定义法:根据圆、直线等定义列方程. (3)代入法:找到要求点与已知点的关系,将已知点的坐标用要求点的坐标表示并代入已知点 的坐标满足的关系式. 2.直接法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标; (2)列出适合条件P的点M的集合{M|P(M)}; (3)用坐标表示P(M),列出方程f(x,y)=0; 讲解分析 疑难 2 与圆有关的轨迹问题 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 (4)化方程f(x,y)=0为最简形式; (5)证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 　　也可简记为:建系、设点、列式、化简、证明. 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP的中点M的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点的轨迹方程. 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设线段AP的中点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0), 由题意得 ∴  又点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上, ∴(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1. 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2)设PQ的中点为N(x1,y1), 在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|. 设O为圆x2+y2=4的圆心,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以 + +(x1 -1)2+(y1-1)2=4,化简得 + -x1-y1-1=0. 故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0. 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 $$