第1章 1_1 一次函数的图象与直线的方程（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1.定义 在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋 转到和直线l首次重合时所成的角,称为直线l的倾斜角.通常倾斜角用α表示.(直线的倾斜角是 反映直线的倾斜程度的量,每一条直线都有倾斜角) 2.范围 当直线l和x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.因此,直线的倾斜角α的取值范围为[0,π). §１ 直线与直线的方程 知识点 1 直线的倾斜角 知识 清单破 1.1 一次函数的图象与直线的方程 1. 2 直线的倾斜角、斜率及其关系 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 　　经过不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线l的斜率k= (x1≠x2). (1)斜率是一个比值,它与P1,P2两点在直线上的位置无关,而与两点横、纵坐标之差的顺序有 关(即x2-x1,y2-y1中x2与y2对应,x1与y1对应). (2)运用斜率的两点式的前提条件是“x1≠x2”,也就是直线不与x轴垂直,而当直线与x轴垂直 时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在. 知识点 2 斜率的两点式 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 　　由正切函数的概念可知,倾斜角不是 的直线,它的斜率k和它的倾斜角α满足k=tan α  . 当α∈ 时,斜率k≥0,且k随倾斜角α的增大而增大; 当α∈ 时,斜率k<0,且k随倾斜角α的增大而增大; 当α= 时,直线l与x轴垂直,此时直线l的斜率不存在. 知识点 3 直线的斜率与倾斜角的关系 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 若k是直线l的斜率,则v=(1,k)是它的一个方向向量;若直线l的一个方向向量的坐标为(x,y),其 中x≠0,则它的斜率k= . 知识点 4 直线的斜率与方向向量的关系 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.当k<0时,直线的倾斜角为钝角. (　     ) 2.过任意两点的直线的斜率都能用斜率的两点式求解. (         ) 3.倾斜角为0的直线只有一条. (         ) 4.若直线的一个方向向量为v=(2,4),则此直线的斜率为2. (　     ) 5.若两直线的斜率相等,则它们的倾斜角也一定相等. (　     ) 6.直线的倾斜角构成的集合与直线构成的集合建立了一一对应的关系. (         ) 当过两点的直线垂直于x轴时,不能用斜率的两点式求解. √ ✕ 提示 ✕ 提示 所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角均为0. √ √ ✕ 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 直线的倾斜角与斜率的关系 (1)当直线的倾斜角α满足0°≤α<90°时,斜率非负,倾斜角越大,斜率越大; (2)当直线的倾斜角α满足90°<α<180°时,斜率为负,倾斜角越大,斜率越大; (3)k=tan α 的图象如图所示.   　　由斜率k的范围截取函数图象,进而可得倾斜角α的范围;反过来,由倾斜角α的范围截取函 数图象,进而可得斜率k的范围. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 倾斜角与斜率的关系及应用 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的倾斜角α的取值范围; (2)若直线l的斜率存在,求直线l的斜率k的取值范围. 思路点拨 作出图形并观察,可以发现直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间(包括 PB与PA的倾斜角). 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 解析    如图,由题意可知kPA= =-1,kPB= =1,所以直线PA的倾斜角为 ,PB的倾斜角为  .   (1)由图可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间(包括PB与PA的倾斜角),∵PB的 倾斜角是 ,PA的倾斜角是 , ∴直线l的倾斜角α的取值范围是 ≤α≤ . 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 (2)根据倾斜角与斜率的关系知,直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1. 易错警示    本题易错误地认为-1≤k≤1,结合图形考虑,l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的 倾斜角之间(包括PB与PA的倾斜角),即 ≤α≤ ,利用k=tan α(0≤α<π)的图象(如图所示)得 到k的取值范围是k≤-1或k≥1.   第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 1.若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,则任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率,即 kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC);反之,若kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC),则直线AB与AC(或AB与BC或AC 与BC)的倾斜角相同,又过同一点A(或B或C),所以点A,B,C在同一条直线上. 2.形如 的范围(最值)问题,可以利用 的几何意义(过定点(a,b)与动点(x,y)的直线的斜 率),借助图形,将求范围(最值)问题转化为求斜率的范围(最值)问题,从而简化运算过程. 疑难 2 直线斜率的应用 讲解分析 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),试求 的最大值和最小值. 思路点拨     的几何意义是过点(-2,-3)和曲线y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一点(x,y)的直 线的斜率,结合图形求出斜率的最大值和最小值即可. 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 解析     的几何意义是过点(-2,-3)和曲线y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一点(x,y)的直线的斜 率. 对于y=x2-2x+2,当x=-1时,y=5;当x=1时,y=1. 设点(-1,5)为B,点(1,1)为A,点(-2,-3)为P,如图所示. 由图可知,当直线经过点P(-2,-3)和B(-1,5)时,斜率最大;当直线经过点P(-2,-3)和A(1,1)时,斜率 最小. 又kPA= = ,kPB= =8, 所以 的最大值为8,最小值为 . 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 $$