第3章 4_3 用向量方法研究立体几何中的度量关系（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

知识点 1 空间中的角 知识 清单破 4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系 角的分类 向量求法 范围 异面直线的夹角 设两条异面直线的夹角为θ, 它们的方向向量分别为a,b, 则cos θ=|cos<a,b>|=    第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 直线与平面的夹角 设直线l与平面α的夹角为θ,l 的方向向量为a,平面α的法向 量为n,则sin θ=|cos<a,n>|=     二面角 设二面角α-l-β的平面角为θ, 平面α,β的法向量分别为n1,n2, 则cos θ=cos<n1,n2>或cos θ= cos(π-<n1,n2>) [0,π] 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.点到平面的距离 点P到平面α的距离,等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量 ,在平面α的单位法向量n0 方向上所作投影向量的长度,即d=| ·n0|.   知识点 2 空间中的距离问题 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 2.点到直线的距离 若点P是直线l外一点,l0是直线l的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离 为d= .   第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.直线与平面的夹角α和该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余. (　    ) 2.若一条直线在某一平面外,则该直线上任一点到平面的距离d必为一个正数.(　    ) 3.与平面相交的斜线与该平面的夹角是锐角. (　    ) 4.若两个平面的法向量分别为n1,n2,则这两个平面的夹角与两个法向量的夹角<n1,n2>一定相 等. (　    ) ✕ ✕ ✕ √ 提示 提示 提示 当直线的方向向量与平面的法向量的夹角β是锐角时,直线与平面的夹角α和β互余. 直线在平面外包含直线与平面相交的情况.当直线与平面相交时,该说法不成立. 也可能互补. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 5.设n是平面α的法向量,AB是平面α的一条斜线,则点B到平面α的距离d= . (　    ) ✕ 提示 当点A在平面内,点B在平面外时结论才正确. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.两异面直线的夹角的向量求法 (1)在一些不适合建立坐标系的题型中,我们经常采用取定基的方法.在由公式cos<a,b>=  求向量a与b的夹角时,关键是求出a·b及|a|与|b|,一般是把a,b用一组基表示出来,再求有 关的量. (2)用坐标法求异面直线的夹角: ①建立恰当的空间直角坐标系; ②找到两条异面直线的方向向量并写出其坐标形式; ③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角; ④结合异面直线的夹角的范围得到异面直线的夹角. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 用向量法求空间角 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 2.求直线与平面的夹角的方法与步骤 　　方法一:求出直线在平面内的投影的方向向量,将直线与平面的夹角转化为两向量的夹 角进行计算. 　　方法二:利用平面的法向量求直线与平面的夹角,基本步骤: (1)建立空间直角坐标系; (2)求直线的方向向量 ; (3)求平面的法向量n; (4)计算:设直线与平面的夹角为θ,则sin θ= . 3.两个平面夹角的向量求法 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面的夹角.坐标法 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 的解题步骤如下: (1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系; (2)求法向量:在建立的坐标系中求两个平面的法向量n1,n2; (3)计算:设两个平面的夹角为θ,则|cos θ|= . 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AB=AP,E为棱PB的中 点.   (1)求直线PD与CE的夹角的余弦值; (2)求直线CD与平面ACE的夹角的正弦值; (3)求二面角E-AC-P的平面角的余弦值. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    设AD=2. 以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示:   则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,0,1). (1)设直线PD与CE的夹角为θ, 而 =(0,2,-2), =(-1,-2,1), 所以cos θ=|cos< , >|= = = , 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 所以直线PD与CE的夹角的余弦值为 . (2)易得 =(2,2,0), =(1,0,1), =(-2,0,0), 设平面ACE的一个法向量为m=(x1,y1,z1), 由 可得  取x1=1,可得y1=z1=-1,所以平面ACE的一个法向量为m=(1,-1,-1). 设直线CD与平面ACE的夹角为α, 则sin α=|cos<m, >|= = = ,因此直线CD与平面ACE的夹角的正弦值为 . (3)易得 =(0,0,2), 由(2)知,平面ACE的一个法向量为m=(1,-1,-1). 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 设平面ACP的一个法向量为n=(x2,y2,z2), 由 可得  取x2=1,则y2=-1,z2=0, 所以平面ACP的一个法向量为n=(1,-1,0). 所以cos<m,n>= = = , 由图可知,二面角E-AC-P的平面角为锐角,因此二面角E-AC-P的平面角的余弦值为 . 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.点面距的求解方法 (1)求出该平面的一个法向量; (2)找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量; (3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值,再除以法向量的模,即可求出点到平面 的距离. 　　平行于平面的直线到该平面的距离、相互平行的两个平面间的距离,都可以转化为点到 平面的距离. 讲解分析 疑难 2 用向量法求空间中的距离 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 2.用向量法求点到直线的距离的两种思路 (1)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题,即利用待定系数法求出垂足的坐标,然 后求出向量的模,这是求各种距离的通法. (2)直接套用点到直线的距离公式求解. 　　注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,M,N分别是A1B1,AC的中点. (1)求点B到直线A1C1的距离; (2)求点B1到平面C1MN的距离. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    以B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示:   则B(0,0,0),A(4,0,0),A1(4,0,1),B1(0,0,1),C(0,3,0),C1(0,3,1). (1)∵ =(-4,3,0), =(0,3,1), ∴点B到直线A1C1的距离d=  = = . 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 (2)∵M,N分别是A1B1,AC的中点, ∴M(2,0,1),N , ∴ = , =(-2,3,0). 设平面C1MN的一个法向量为n=(x,y,z), 则 即  取y=2,得x=3,z=3,∴n=(3,2,3). 又 =(2,0,0), ∴点B1到平面C1MN的距离为 = . 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 (1)对于存在探究型问题,应先假设存在,把要成立的结论当作条件,据此列出方程或方程组,把 “是否存在”转化为“是否有规定范围内的解”等. (2)对于位置探究型问题,通常是借助向量,引入参数,综合条件和结论列方程或方程组,解出参 数,从而确定位置. 讲解分析 疑难 3 用向量法解决空间几何体中的探究型问题 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD为平行四边形,DD'=CD=4,AD=2,∠BAD= , 且D'在底面上的投影H恰为CD的中点.   (1)过D'H作与BC垂直的平面α,交棱BC于点N,试确定点N的位置,并说明理由; (2)在线段D'C'上是否存在点P,使二面角P-BH-A的平面角为 ?若存在,请确定点P的位置;若 不存在,请说明理由. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当N为棱BC的中点时,符合题意,理由如下:取BC的中点N,连接NH,ND'. 在△HNC中,根据余弦定理得, |NH|= = , 所以|HC|2=|NC|2+|NH|2, 因此∠HNC= ,即NH⊥BC. 因为D'在底面上的投影H恰为CD的中点, 所以D'H⊥平面ABCD, 又BC⊂平面ABCD, 所以D'H⊥BC, 因为D'H∩NH=H,D'H,NH⊂平面D'HN, 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 所以BC⊥平面D'HN, 因此,N为BC的中点时符合题意. (2)存在满足条件的点P,且点P与点C'重合. 连接BD,由(1)知,当N为BC的中点时,HN⊥BC,HN∥DB,AD∥BC,所以AD⊥BD, 分别以 , 的方向为x轴、y轴的正方向,过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立如图 所示的空间直角坐标系D-xyz,   第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 则D(0,0,0),H(-1, ,0),B(0,2 ,0),D'(-1, ,2 ),C'(-3,3 ,2 ). 所以 =(1, ,0), =(0,0,2 ), =(-2,2 ,0), 设 =λ =λ(-2,2 ,0)=(-2λ,2 λ,0)(λ∈[0,1]), 则 = + =(-2λ,2 λ,2 ). 设n=(x,y,z)为平面PBH的一个法向量, 则  即  令x= ,得y=-1,z=2λ, 所以n=( ,-1,2λ), 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 易得平面AHB的一个法向量为m=(0,0,1), 因为二面角P-BH-A的平面角为 , 所以|cos<m,n>|= , 即 = , 所以 = , 所以λ=1, 此时P(-3,3 ,2 ). 故存在满足条件的点P,且点P与点C'重合. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$