第3章 4_1 直线的方向向量与平面的法向量 4_2 用向量方法研究立体几何中的位置关系（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1.直线的方向向量 　　设点A,B是直线l上不重合的任意两点,称 为直线l的方向向量.与 平行的任意非零向 量a也是直线l的方向向量. §４ 向量在立体几何中的应用 知识点 1 直线的方向向量与平面的法向量 知识 清单破 4.1 直线的方向向量与平面的法向量 4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 2.平面的法向量 　　如图,如果一条直线l与一个平面α垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量, 则n⊥α. 　　设点M是平面α内给定的一点,向量n是平面α的一个法向量,那么对于平面α内任意一点P, 必有 ·n=0.反过来,满足此式的点P都在平面α内,所以把此式称为平面α的一个向量表示式. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 位置关系 向量表示 线线平行 设两条不同直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2, 则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R,使得u1=λu2 线面平行 设直线l的方向向量为u,n是平面α的法向量, 且l⊄α,则l∥α⇔u⊥n⇔u·n=0 面面平行 设两个不同平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α ∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2 知识点 2 空间中的平行 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 3 空间中的垂直 位置 关系 向量表示 线线 垂直 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0 线面 垂直 设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R,使得u=λn 面面 垂直 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 　　三垂线定理:若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直,则它也 和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理:若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线 在这个平面内的投影垂直. 知识点 4 三垂线定理 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量. (　    ) 2.一个平面的法向量有无数个,任意两个都是共线向量.(　    ) 3.要证明两平面平行,只需证明两平面的法向量垂直即可. (　    ) 4.要证明直线与平面垂直,只需证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可.(　    ) 5.若直线a是平面α外的一条直线,直线b垂直于直线a在平面α内的投影,则a⊥b. (　    ) ✕ ✕ ✕ ✕ √ 提示 提示 提示 提示 此命题成立的前提条件是k≠0. 要证明两平面平行,只需证明两平面的法向量平行即可. 要证明直线与平面垂直,只需证明直线的方向向量与平面的法向量平行即可. 若直线b不在平面α内,则命题不成立. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 平面法向量的确定的两种常用方法 (1)若几何体中已经给出有向线段,则只需证明线面垂直; (2)若几何体中没有具体的直线,则此时可以采用待定系数法求解平面的法向量. 　　若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求 解,一般步骤: 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 求平面的法向量 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念   提醒    (1)求平面的法向量n=(x,y,z)时,一般将x,y,z中的一个视为“已知数”,表示出另外两个, 再令这个“已知数”为1(或其他非零常数),即可求得n. (2)从简化运算的角度出发,应尽量避免法向量的坐标中含有分数. (3)(0,0,0)不能作为平面的一个法向量,当x=y=z时,不能给其中一个赋值为0. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,|AB| =|AA1|= ,建立空间直角坐标系,则平面OCB1的一个法向量的坐标为　 　　    .    (1,0,-1)(答案不唯一) 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    ∵四边形ABCD是正方形,且|AB|= ,∴|OA|=|OB|=|OC|=|OD|=1, ∴A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0), ∴ =(1,1,0), =(0,1,0), 又 = ,∴ =(1,1,0). ∵|OA|=1,|AA1|= , ∴|OA1|= =1, ∴ =(0,0,1), ∴ = + =(1,1,1), 设平面OCB1的一个法向量为n=(x,y,z), 则  第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 取x=1,得y=0,z=-1,∴n=(1,0,-1), ∴平面OCB1的一个法向量为n=(1,0,-1).(答案不唯一) 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. 2.证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; (2)在平面内找一个直线的方向向量的共线向量; (3)利用平面向量基本定理,即证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线的向量线性表 示. 3.证明面面平行的方法 (1)证明两个平面的法向量平行; (2)转化为线面平行、线线平行来证明. 讲解分析 疑难 2 用向量法证明空间平行问题 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA= AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.求证: (1)PB∥平面EFG; (2)平面EFG∥平面PBC.   证明    因为△PAD是直角三角形, 所以PA⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊂平面PAD, 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 所以PA⊥平面ABCD, 又AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB, 又四边形ABCD为正方形,所以AB⊥AD, 所以AB,AD,AP两两互相垂直. 以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,   则B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0). 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 (1)解法一: =(0,1,0), =(1,2,-1), 设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z), 则 即  令z=1,得x=1,y=0,所以n=(1,0,1). 因为 =(2,0,-2), 所以 ·n=0,所以n⊥ , 又PB⊄平面EFG, 所以PB∥平面EFG. 解法二: =(2,0,-2), =(0,-1,0), =(1,1,-1). 设 =s +t , 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1), 所以 解得s=t=2, 所以 =2 +2 , 又 与 不共线, 所以 , , 共面. 因为PB⊄平面EFG, 所以PB∥平面EFG. (2)解法一: =(0,1,0), =(0,2,0), 所以 =2 ,所以BC∥EF. 又EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC, 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 所以EF∥平面PBC, 同理可证GF∥PC,从而得出GF∥平面PBC. 又EF∩GF=F,EF⊂平面EFG,GF⊂平面EFG, 所以平面EFG∥平面PBC. 解法二: =(2,0,-2), =(0,2,0), 设平面PBC的一个法向量为m=(a,b,c), 则 即  令c=2,得a=2,b=0,所以m=(2,0,2). 由(1)知,平面EFG的一个法向量为n=(1,0,1), 所以m=2n,即m∥n, 所以平面EFG∥平面PBC. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.基向量法 (1)取三个不共面的已知向量(通常已知它们的模及两两之间的夹角)为空间向量的一组基; (2)把两直线的方向向量用基表示; (3)利用向量的数量积运算,计算出两直线的方向向量的数量积为0; (4)由方向向量垂直得到两直线垂直. 2.坐标法 (1)根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确写出各点的坐标; (2)根据各点坐标求出两直线方向向量的坐标; (3)计算出两直线方向向量的数量积为0; (4)由方向向量垂直得到两直线垂直. 讲解分析 疑难 3 用向量法证明空间垂直问题 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的等边三角形,CC1=2,D,E分别是线段AC, CC1的中点,C1在平面ABC内的射影为D.求证:A1C⊥平面BDE.   证明    证法一:连接C1D,∵C1在平面ABC内的射影为D,∴C1D⊥平面ABC, 又BD,AC⊂平面ABC, ∴C1D⊥BD,C1D⊥AC, ∵△ABC为等边三角形,D为AC的中点, ∴BD⊥AC,故AC,BD,C1D两两垂直. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 以D为坐标原点,DB,DA,DC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标 系,   则D(0,0,0),B( ,0,0),C(0,-1,0),E ,A1(0,2, ), ∴ =( ,0,0), = , = , ∵ · =0, · = - =0, 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∴ ⊥ , ⊥ , 即BD⊥A1C,DE⊥A1C, 又BD∩DE=D,BD,DE⊂平面BDE, ∴A1C⊥平面BDE. 证法二:同证法一,建立如图所示的空间直角坐标系,   则D(0,0,0),B( ,0,0),C(0,-1,0),E ,A1(0,2, ), 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∴ =( ,0,0), = , =(0,-3,- ), 设平面BDE的一个法向量为m=(x,y,z), 则 即  不妨取z=1,则x=0,y= , ∴m=(0, ,1), 又 =(0,-3,- ),∴ =- m, ∴ ∥m,∴A1C⊥平面BDE. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$