第3章 §3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 知识点 1 空间向量基本定理 知识 清单破 　　如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量,p是空间任意一个向量,那么存在唯一的三元有 序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫作空间向量的一组基,其中a,b,c都叫作基向量.空间 任意三个不共面的向量都可以构成空间向量的一组基. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 　　在空间直角坐标系O-xyz中,分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i, j,k,这三个互相垂 直的单位向量就构成空间向量的一组基{i, j,k},这组基叫作标准正交基. 知识点 2 标准正交基 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 3 空间向量运算的坐标表示 向量运算 坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 加法 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) 减法 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) 数乘 λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R) 数量积 a·b=a1b1+a2b2+a3b3 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 4 空间向量平行(共线)和垂直的条件 位置关系 坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 平行 a∥b⇔a=λb(λ∈R,b≠0)⇔  当b与三个坐标平面都不平行(即b1b2b3≠0) 时,a∥b⇔ = =  垂直 a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 5 空间向量长度与夹角的坐标表示 向量长度 若a=(a1,a2,a3),则|a|= =  两点间的 距离公式 若A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则|AB|=| |=   向量 夹角公式 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则cos<a,b>= =  (a≠0,b≠0) 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.空间直角坐标系中,向量 的坐标与终点B的坐标相同.     (　    ) 2.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,则 = = .(　    ) 3.若{a,b,c}为空间向量的一组基,则a,b,c全不是零向量. (　    ) 4.若四边形ABCD是平行四边形,则向量 与 的坐标相同.     (　    ) ✕ ✕ √ √ 提示 提示 提示 提示 当向量 的起点A在原点时,其坐标才与终点B的坐标相同. 当向量b为零向量时,结论不成立. 要使{a,b,c}作为空间向量的一组基,那么a,b,c三者必不共面,而零向量与任意向量共面, 所以a,b,c全不是零向量. 平行四边形的对边平行且相等,所以 与 方向相同,大小相等,因此二者的对应坐标 也相同. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.基向量的选择 (1)所选向量必须不共面,可以利用空间向量基本定理或常见的几何图形的几何性质帮助判 断; (2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内,能用基向量的线性运算表示未知 向量; (3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基向量. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 利用基解决几何向量 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 2.用一组基表示向量的步骤 (1)定基 　　根据已知条件,确定三个不共面的向量作为空间向量的一组基. (2)找目标 　　用确定或已知的一组基表示目标向量,需要根据三角形法则或平行四边形法则,结合相 等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. (3)得结论 　　利用空间向量的一组基{a,b,c}可以表示出空间所有向量,其结果中只能含有a,b,c,不能 含有其他向量. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是OA,BC的中点,点G在线段MN上, 且 =2 ,现用一组基{ , , }表示向量 ,有 =x +y +z ,则x,y,z的值分别 为 (　    ) A. , , 　    B. , ,  C. , , 　    D. , ,  A 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    如图所示,连接ON.   ∵M,N分别是OA,BC的中点,点G在线段MN上,且 =2 , ∴ = + , =  , =  ,  = - , = ( + ), ∴ =  +   =  +  +  , 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 又 =x +y +z , ∴x= ,y=z= ,故选A. 方法点拨    用基表示向量时,若基确定,则充分利用向量加法、减法的运算法则,以及数乘向 量的运算律进行表示;若没有给定基,应先选择基,选择基时,要尽量使所选的基向量能方便地 表示其他向量,基向量的模及夹角应已知或易求. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 利用空间向量的坐标运算解决空间向量平行、垂直问题的方法   讲解分析 疑难 2 利用空间向量的坐标运算解决空间向量平行、垂直问题 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,G,H分别是CC1,CD,A1C1的中点. (1)求证:AB1∥GE,AB1⊥EH; (2)过点B作BM⊥AC1于点M,求点M的坐标; (3)若P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3 = ,是否存在λ,使 =λ ,且 ⊥ ?若存 在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    如图,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.   设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1, 1).由中点坐标公式,得E ,G ,H . (1)证明: =(1,0,1), = , = . 因为 =2 , · =1× +1× =0,所以 ∥ , ⊥ , 即AB1∥GE,AB1⊥EH. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 (2)设M(x,y,z),则 =(x,y,z), =(x-1,y,z).又 =(1,1,1), 所以由BM⊥AC1,得 · =0, 即x-1+y+z=0.① 由题意得 ∥ , 设 =μ (μ∈R),则x=y=z=μ.② 由①②,得μ= ,所以x= ,y= ,z= . 所以点M的坐标为 . (3)假设存在满足条件的λ. 设P(x1,y1,1),则 =(x1-1,y1,0), =(-x1,1-y1,0), 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 由3 = 得  即  所以点P的坐标为 . 设Q(x2,y2,0), 则 = , =(x2,y2-1,0), 易得 = , =(-1,1,0). 由 ⊥ ,得 · =x2- +y2- - =0,③ 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 由 =λ ,得 ④ 联立③④,无解,即不存在满足条件的λ. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.求两向量夹角的步骤 (1)确定两向量的坐标:a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2). (2)利用公式求两向量的夹角:cos<a,b>= . 2.求空间中两点间的距离或线段长度的常用方法 (1)空间两点间的距离公式:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|=| |= =  . (2)向量的模的计算公式:a=(x,y,z),则|a|= . 讲解分析 疑难 3 利用空间向量的坐标运算求夹角、长度问题 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AA1=4,AB=BC=2,M为A1C 的中点,点N在线段AD上,AN=3.   (1)求线段MN的长; (2)求异面直线MN与A1B夹角的余弦值. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为几何体ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱,所以AA1⊥平面ABCD, 又AB,AD⊂平面ABCD, 所以AA1⊥AB,AA1⊥AD. 因为∠BAD=90°, 所以AA1,AB,AD两两互相垂直. 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,   则B(2,0,0),C(2,2,0),A1(0,0,4),N(0,3,0). 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 因为M为A1C的中点, 所以M(1,1,2), 所以 =(-1,2,-2), 所以|MN|= =3. (2)由(1)得 =(-1,2,-2), =(2,0,-4), 则cos< , >= = = . 所以异面直线MN与A1B夹角的余弦值为 . 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$