第3章 §2 空间向量与向量运算（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1.空间向量的有关概念 §2 空间向量与向量运算 知识点 1 空间向量 知识 清单破 名称 定义 空间向量 具有大小和方向的量 长度(模) 表示向量的有向线段的长度 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 零向量和单位向量 模为0的向量和模为1的向量 共线向量(平行向量) 表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合的向量 共面向量 平行于同一平面的向量 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 提醒    (1)数学中所研究的向量,它的起点和终点可以任意平行移动,被称为自由向量; (2)零向量的方向是任意的,规定零向量与任意向量平行; (3)单位向量不一定相等,但单位向量的模一定相等; (4)方向相同且模相等的向量称为相等向量,因此,在空间中,可用同向且等长的有向线段表示 同一向量或相等向量; (5)空间任意两个向量都为共面向量; (6)一般来说,向量不能比较大小. 2.空间向量的表示 (1)用有向线段表示,如 ,点A叫作向量 的起点,点B叫作向量 的终点. (2)印刷时用a,b,c,…表示,书写时用 , , ,…表示. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 空间向量的线性运算 运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 a+b 　　　　       三角形法则　　平行四边形法则 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 减法 a-b   三角形法则 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 数乘 λa (λ∈R) (1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa与a方向相同; 当λ<0时,λa与a方向相反;当λ =0时,λa=0 结合律:λ(μa)=(λμ)a(λ,μ∈R); 分配律:(λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb(λ,μ∈R) 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 　　空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb.通常把这个定理 称为共线向量基本定理.(也称“一维向量基本定理”) 知识点 3 共线向量基本定理 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.两个向量的夹角 已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作 =a, =b,则∠AOB叫作向量a与b的夹角,记 作<a,b>.通常规定0≤<a,b>≤π.   2.两个向量的数量积 (1)定义 　　已知两个空间向量a,b,把|a||b|·cos<a,b>叫作a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>. 知识点 4 空间向量的数量积 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 (2)结论 (i)cos<a,b>= (a≠0,b≠0); (ii)|a|= ; (iii)a⊥b⇔a·b=0. (3)运算律 (i)交换律:a·b=b·a; (ii)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c; (iii)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R). 3.投影向量与投影数量 　　已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 =a, =b,过点B作直线OA的垂线,垂足为 B1,称向量 为向量b在向量a方向上的投影向量,其长度等于||b|cos<a,b>|. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量,则向量b在向量a方向上的投影向量为 =|b|cos<a,b>a0,向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos<a,b>= =a0·b. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.空间中任意两个单位向量必相等. (　    ) 2. - =0. (　    ) 3.a∥b⇔存在实数λ∈R,使得a=λb. (　    ) 4.若两个非零向量a∥b,则<a,b>=0.(　    ) ✕ ✕ ✕ ✕ 提示 提示 提示 提示 任意两个单位向量的模相等,方向不一定相同.  - =0. b≠0时才成立. <a,b>=0或<a,b>=π. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 5.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a,b共线的必要不充分条件. (　    ) 6.(a·b)c=a(b·c). (　    ) 7.向量b在向量a方向上的投影数量非负. (　    ) ✕ ✕ ✕ 提示 a·b=|a||b|是a,b共线的充分不必要条件. 向量b在向量a方向上的投影数量是实数,可正,可负,可为0. 提示 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.共线向量基本定理既是判定定理又是性质定理,要灵活应用.可用于证明两条直线平行,进 而证明线面平行,面面平行. 2.用共线向量基本定理证明三点共线.若A,B,C三点不重合,则存在实数λ,使得 =λ ⇔A,B, C三点共线. 3.常用结论:P是直线AB外任意一点,A,B,C三点共线的充要条件为 =λ +μ ,且λ+μ=1(λ, μ∈R). 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 共线向量基本定理及其应用 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 4.拓展认识共面向量: (1)定义:平行于同一平面的向量叫作共面向量. (2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对(x,y),使p=xa+yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件:存在唯一有序实数对(x,y),使 =x +y 或对空 间任意一点O,有 = +x +y . (4)空间四点P,A,B,C共面的充要条件: =x +y +z ,其中x+y+z=1,O为空间中的任意一 点. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图所示,已知空间四边形ABCD,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的 点,且 =2 , =2 .用向量法证明四边形EFGH是梯形.   证明    因为E,H分别是边AB,AD的中点, 所以 =  , =  , 所以 = - =  -  = ( - )=  . 又 =2 , =2 , 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 所以 =  , =  , 所以 = - =  -  = ( - )=  , 所以 ∥ ,且| |= | |, 又点E不在FG上, 所以四边形EFGH是梯形. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.求两个向量的夹角的方法 (1)结合图形,平移向量,利用向量夹角的定义来求,但要注意夹角的范围; (2)先求a·b,再利用公式cos<a,b>= 求cos<a,b>,最后确定<a,b>. 讲解分析 疑难 2 利用两个向量的数量积求夹角 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 2.求两条异面直线的夹角的步骤 3.由于向量的夹角的取值范围为[0,π],而异面直线的夹角的取值范围为 ,因此利用向量 的数量积求异面直线的夹角时,要注意二者之间的关系,当<a,b>∈ 时,它们相等;当<a,b> ∈ 时,它们互补. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,空间四边形OABC的各边及对角线长都为2,E是AB的中点,F在OC上,且 =2 . 求向量 与向量 的夹角的余弦值.   第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    因为E是AB的中点, 所以 = ( + ), 因此| |= | + |= × = . 因为 =2 ,所以 =  , 所以 = - =  - , 因此| |=  = = , 又因为 · = ( + )·  第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 =  · -  · +  · -   =- , 所以向量 与向量 的夹角的余弦值为 = =- . 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 1.求两点间距离的步骤 (1)用向量的模|a|表示此距离; (2)用已知模和夹角的向量表示向量a; (3)用公式a·a=|a|2求|a|; (4)|a|即为所求距离. 2.求模公式的推广 　　公式|a|= 可以推广为|a±b|= = . 讲解分析 疑难 3 利用空间向量的数量积求距离(或线段长) 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将△ACD沿对角线AC折起,使AB与 CD成60°角,则B,D间的距离为　　　    .    2或  第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    因为∠ACD=90°,所以 · =0. 同理, · =0. 因为翻折后AB与CD成60°角, 所以< , >=60°或< , >=120°. 又 = + + , 所以 · =| |2+| |2+| |2+2 · +2 · +2 ·  =3+2×1×1×cos< , > =  所以| |=2或| |= , 即B,D间的距离为2或 . 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 利用空间向量的数量积判断或证明线线、线面垂直的思路 (1)由结论a⊥b⇔a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量,只要证明这两 个向量的数量积为0即可. (2)用向量法证明线面垂直,离不开线面垂直的判定定理,需将线面垂直转化为线线垂直,然后 利用向量法证明线线垂直即可. 　　用向量法证明垂直关系的步骤: ①把几何问题转化为向量问题; ②用已知向量表示所证向量; ③结合数量积公式和运算律证数量积为0; ④将向量问题回归到几何问题. 讲解分析 疑难 4 利用空间向量的数量积判断或证明垂直关系 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知在四面体OABC中(如图所示),OA⊥BC,OB⊥AC,求证:OC⊥AB.   证明    设 =a, =b, =c, 则 =c-b, =c-a, =b-a. 由OA⊥BC得 · =0, 即a·(c-b)=0, ∴a·c=a·b, 由OB⊥AC得 · =0, 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 即b·c=b·a. 因此a·c=b·c, 即(b-a)·c=0. ∴ · =0, ∴ ⊥ ,故OC⊥AB. 第三章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$