第2章 §3 抛物线（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§3 抛物线 知识点 1 抛物线的定义 知识 清单破 　　平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛 物线. 这个定点F叫作抛物线的焦点,这条定直线l叫作抛物线的准线. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 抛物线的标准方程及其简单几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形         开口方向 向右 向左 向上 向下 焦点坐标         准线方程 x=-  x=  y=-  y=  范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 对称轴 x轴 y轴 顶点 坐标原点 离心率 e=1 参数p的 几何意义 参数p表示焦点到准线的距离,p越大,开口越大 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.抛物线实质上就是双曲线的一支. (　    ) 2.方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,其焦点坐标是 ,准线方程是x= - .(　    ) 3.无论抛物线的开口方向如何变化,焦点到准线的距离始终是不变的. (　    ) ✕ ✕ √ 提示 抛物线与双曲线有本质的区别,双曲线有渐近线,而抛物线没有. 方程y=ax2(a≠0)化为标准形式为x2= y(a≠0),它表示焦点在y轴上的抛物线,其焦点坐标 为 ,准线方程是y=- . 提示 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且垂直于对称轴的弦长是p. (　    ) 5.在抛物线的标准方程中,p(p>0)是焦点到准线的距离. (　    ) 6.已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为焦点,则|PF|=x0+ . (　    ) √ √ ✕ 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于点 , ,所以弦长为2p. 提示 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 1.求抛物线的标准方程的步骤 (1)定位:根据题中条件确定抛物线的焦点位置并设出方程. (2)定量:求出方程中p的值,从而求出方程. 2.求抛物线标准方程的两种常用方法 (1)定义法:先判断所求点的轨迹是否符合抛物线的定义,若符合,再根据定义求出方程. (2)待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件确定参数的值. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 抛物线的标准方程 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A(2,m)是抛物线C上的一点,且|AF|=4,则抛物线C的 方程是     (　    ) A.y2=4x　     B.y2=8x C.y2=16x　    D.y2=32x B 解析    由题意可得|AF|=2+ =4,解得p=4,则抛物线C的方程是y2=8x,故选B. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 1.抛物线的几何性质与抛物线的标准方程密切相关,通过先定性(开口方向),再定量(焦准距p) 建立它们的联系. 2.抛物线与双曲线的一支都是开口的不封闭的光滑曲线,但它们有本质的区别,双曲线有渐近 线,而抛物线没有.作图时通常用有无渐近线来区分它们. 3.与椭圆、双曲线比较,抛物线性质的特点 (1)抛物线只位于半个坐标平面内,显然它可以无限延伸,但没有渐近线. (2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心. (3)抛物线只有一个顶点,一个焦点,还有一条准线. (4)抛物线的离心率是确定的(e=1). 讲解分析 疑难 2 抛物线的几何性质 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 4.抛物线的通径 (1)抛物线的通径:过焦点且与对称轴垂直的直线与抛物线交于两点M1,M2,线段M1M2叫作抛物 线的通径,将x= 代入y2=2px(p>0),得y=±p,故抛物线y2=2px(p>0)的通径长为2p. (2)通径的几何意义:通径长为2p,p越大,通径越长,抛物线的开口越大;反之,p越小,通径越短,抛 物线的开口越小. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2x上,求这个正三角 形的边长. 解析    由题意得,正三角形另外两个顶点关于x轴对称,设其中一个顶点的坐标为 (y0> 0),边长为a, 则有tan = ,解得y0=2 , 又sin = = ,所以a=4 . 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 有关抛物线焦点弦的结论 如图,已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜 角为θ,则有:   (1)|AB|=x1+x2+p= ; 讲解分析 疑难 3 抛物线的焦点弦问题 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 (2)x1x2= ,y1y2=-p2, · =- p2; (3)|AF|= ,|BF|= ; (4) + = ; (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切; (6)以AB为直径的圆与准线相切; (7)A,O,B'共线,A',O,B共线; (8)∠A'FB'=90°; (9)S△AOB= ; (10)抛物线在A,B处的切线互相垂直且交点在准线上. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知抛物线y2=4x,经过其焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于M,N两点,且|MF| =3|NF|,则k=　　　    . 解析    解法一:分别过M,N两点作准线的垂线,垂足分别为P,Q,过N向PM作垂线,垂足为S, 设|NF|=m(m>0),则|MF|=3m, 由抛物线的定义得|MP|=3m,|NQ|=m, 所以|MS|=2m,|MN|=m+3m=4m, 则sin∠MNS= = ,即∠MNS=30°, 故直线l的倾斜角等于60°, 所以k=tan 60°= . 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 解法二:设直线l的倾斜角为θ,则θ∈ , 因为|MF|= ,|NF|= ,且|MF|=3|NF|, 所以 = , 解得cos θ= , 所以k=tan θ= . 解法三:抛物线y2=4x中,p=2, 所以 + = =1, 又因为|MF|=3|NF|, 所以|MF|=4,|NF|= , 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 于是|MN|= . 设直线l的倾斜角为θ,则θ∈ , 所以 = , 解得sin θ= (负值舍去), 故k=tan θ= . 方法点拨    解决抛物线的焦点弦问题,熟记常用的结论非常关键,这样可以快速解决问题. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 $$