第2章 §2 双曲线（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§2 双曲线 知识点 1 双曲线的定义 知识 清单破 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 双曲线的标准方程及其几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程  - =1(a>0,b>0)  - =1(a>0,b>0) 图形     第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 范围 x≤-a或x≥a,且y∈R y≤-a或y≥a,且x∈R 对称性 对称轴:x轴、y轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 离心率 e= ,e∈(1,+∞) 渐近线 y=± x y=± x 实、虚 轴 两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长度等于2a, 其中a叫作双曲线的实半轴长;线段B1B2叫作双曲线的虚轴, 它的长度等于2b,其中b叫作双曲线的虚半轴长 a,b,c的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.已知点A(1,0),B(-1,0),若|AC|-|BC|=2,则点C的轨迹是双曲线. (　    ) 2.在双曲线的标准方程 - =1中,a>0,b>0,且a≠b. (　    ) 3.双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值. (　    ) 4.共渐近线的双曲线的离心率相同. (　    ) 5.双曲线C1: - =1(a>0,b>0)与C2: - =1的渐近线方程相同. (　    ) ✕ ✕ ✕ ✕ √ 提示 提示 提示 因为|AC|-|BC|=2=|AB|,所以点C的轨迹不是双曲线. a,b之间的大小关系没有限制. C1的渐近线方程为y=± x,C2的渐近线方程为y=± x.两双曲线的渐近线不一定相同. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 6.双曲线的离心率越大,开口越大. (　    ) 7.椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围相同. (　    )     √ ✕ 提示 椭圆的离心率的取值范围是(0,1),双曲线的离心率的取值范围是(1,+∞). 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 1.定义中的限制条件:“小于|F1F2|”“绝对值”“常数不等于零”. (1)当2a<|F1F2|时,动点的轨迹是双曲线.若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变, 此时动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若将其改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,此时 动点的轨迹不存在. (2)若定义中没有“绝对值”,即|MF1|与|MF2|仅满足|MF1|-|MF2|=2a(a>0),则当2a<|F1F2|时,轨迹 是双曲线的一支;当2a=|F1F2|时,轨迹是以F2为端点的一条射线;当2a>|F1F2|时,轨迹不存在. (3)若将“常数不等于零”改为“常数等于零”,则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分 线. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 如何运用双曲线的定义解决双曲线问题 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 2.设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,若点M在双曲线的右支上,则|MF1|>|MF2|,|MF1|-|MF2|=2a (a>0);若点M在双曲线的左支上,则|MF1|<|MF2|,|MF1|-|MF2|=-2a(a>0),因此得到|MF1|-|MF2|=±2a. 这与椭圆的定义中|MF1|+|MF2|=2a是不同的. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 典例 双曲线 - =1上的点P到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为     (        ) A.1或21　　　　     B.14或36 C.1　　　　　　　     D.21 D 解析    设点P到另一个焦点的距离为m(m>0), ∵点P到一个焦点的距离为11, ∴由双曲线的定义得|11-m|=10, ∴m=1或m=21. ∵a=5,c=7,m≥c-a,∴m≥7-5=2, ∴m=1不符合题意,舍去.故选D. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 1.用定义法求双曲线的标准方程 　　根据双曲线的定义确定a,b的值,结合焦点位置写出双曲线的标准方程. 2.用待定系数法求双曲线的标准方程的四个步骤 (1)定位置:根据条件确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上,还是二者都有可能. (2)设方程:根据焦点的位置,设其方程为 - =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0),焦点位置不 定时,亦可设为mx2+ny2=1(mn<0). (3)寻关系:根据已知条件列出关于a,b或m,n的方程组. (4)得方程:解方程组,将a,b或m,n的值代入所设方程即可. 讲解分析 疑难 2 双曲线的标准方程 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 3.利用双曲线的几何性质设双曲线方程的方法与技巧 (1)与双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率相等的双曲线方程为 - =λ(λ>0)和 - =λ(λ> 0). 　　注意:仅以离心率不能确定焦点位置. (2)与渐近线有关的双曲线方程的设法: ①与双曲线 - =1(a>0,b>0)具有相同渐近线的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0). ②渐近线方程为y=±kx(k≠0)的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0). ③渐近线方程为ax±by=0(a>0,b>0)的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0). (3)与双曲线 - =1(a>0,b>0)共焦点的双曲线方程可设为 - =1(λ≠0,-b2<λ<a2). 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 典例 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)a=2 ,经过点A(2,-5),焦点在y轴上; (2)经过点P ,Q ; (3)与双曲线 - =1有公共焦点,且过点(3 ,2); (4)双曲线的一条渐近线方程为y=2x,且双曲线经过点(4,4 ). 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为双曲线的焦点在y轴上,所以可设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0).因为 a=2 ,且点A(2,-5)在双曲线上,所以 - =1,解得b2=16. 故所求双曲线的标准方程为 - =1. (2)解法一:若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0), 因为点P 和点Q 在双曲线上, 所以 此方程组无实数解. 若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0), 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 因为点P 和点Q 在双曲线上, 所以 解得  所以双曲线的标准方程为 - =1. 解法二:设双曲线的方程为 + =1(mn<0).因为P,Q两点在双曲线上, 所以 解得  所以双曲线的标准方程为 - =1. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 (3)解法一:设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0),由题意易求得c=2 , 所以a2+b2=(2 )2. 因为双曲线过点(3 ,2), 所以 - =1, 所以a2=12,b2=8, 故所求双曲线的标准方程为 - =1. 解法二:设双曲线的方程为 - =1(-4<k<16), 将(3 ,2)代入,得 - =1, 解得k=4或k=-14(舍去). 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 故所求双曲线的标准方程为 - =1. (4)解法一:因为双曲线的一条渐近线方程为2x-y=0,所以可设双曲线的方程为4x2-y2=λ(λ≠0), 又双曲线经过点(4,4 ),所以4×42-(4 )2=λ,解得λ=16,所以双曲线的标准方程是 - =1. 解法二:根据题意,2×4>4 ,所以点(4,4 )在直线y=2x的右下方,所以该双曲线的焦点在x轴 上,设其标准方程为 - =1(a>0,b>0),则 =2,所以b=2a,又双曲线经过点(4,4 ),所以 -  =1,即 - = =1,解得a2=4,所以b2=16,所以双曲线的标准方程是 - =1. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 1.求与双曲线的性质有关的问题的步骤 (1)将双曲线的方程化为标准形式: - =1 (a>0,b>0); (2)根据已知条件确定a,b的值(注意分母分别为a2,b2,而不是a,b); (3)求出c的值,再由双曲线的几何性质求解. 2.与双曲线有关的其他几何性质 (1)通径:过双曲线 - =1 (a>0,b>0)的焦点作垂直于实轴的直线,该直线被双 曲线截得的弦叫作通径,其长度为 . (2)焦点三角形:双曲线上的点P(不在坐标轴上)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形.设 讲解分析 疑难 3 双曲线的几何性质 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 ∠F1PF2=θ,则焦点三角形的面积S= . (3)距离:双曲线 - =1(a>0,b>0)的右支上任意一点M到左焦点的距离的最小值为a+c,到右 焦点的距离的最小值为c-a.焦点到渐近线的距离为b. (4)中点弦:设M为双曲线 - =1(a>0,b>0)的弦AB(AB不平行于坐标轴)的中点,O为坐标原 点,则有kAB·kOM= . 3.等轴双曲线 中心在原点,以坐标轴为对称轴,实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线.它有如 下性质: (1)方程形式为x2-y2=λ(λ≠0); 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 (2)渐近线方程为y=±x,所以两条渐近线互相垂直,并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角; (3)实轴长和虚轴长都等于2a,离心率e= . 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于 (　    ) A. 　    B. 　    C.1　    D.  (2)已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,P为该双曲线上一点,若△PF1F2为等腰直角三角形, 则该双曲线的离心率为     (　    ) A. +1　    B. +1　    C.2 　    D.2  B B 思路点拨    (1)求出双曲线的顶点坐标及渐近线方程 求顶点到渐近线的距离.(2)不妨设 点P在双曲线的右支上 根据双曲线的定义和三角形特征推出∠PF2F1为直角 转化 为直角三角形三边之间的数量关系 建立关于a,c的方程求离心率 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)双曲线x2-y2=1的顶点坐标为(±1,0),渐近线方程为y=±x,即x±y=0, ∴顶点到渐近线的距离为 . (2)不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a. ∵△PF1F2是等腰直角三角形, ∴只能是∠PF2F1=90°, ∴|PF2|=|F1F2|=2c, ∴|PF1|=2a+|PF2|=2a+2c, ∴(2a+2c)2=(2c)2+(2c)2, 即c2-2ac-a2=0, 等式两边同除以a2,得e2-2e-1=0. ∵e>1,∴e= +1. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 $$