第2章 §1 椭圆（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§1 椭圆 知识 清单破 知识点 1 椭圆的定义 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 椭圆的标准方程及其几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程  + =1(a>b>0)  + =1(a>b>0) 图形     焦点坐标 F1(-c,0), F2(c,0) F1(0,-c), F2(0,c) 范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 对称性 对称轴为x轴、y轴,对称中心为原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0) 轴长 长轴长为2a,短轴长为2b 离心率 e= (0<e<1) 通径 过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫作 椭圆的通径,其长度为  第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.动点P到两定点A(0,-2),B(0,2)的距离之和为4,则点P的轨迹是椭圆. (         ) 忽视了椭圆定义中2a>|F1F2|>0这一条件. 2.椭圆3x2+2y2=1的焦点在x轴上. (         ) 该椭圆的标准方程为 + =1,可知其焦点在y轴上. 3.方程mx2+ny2=1(m>0,n>0)表示的曲线是椭圆. (         ) 当m=n>0时,该方程表示的曲线是圆. ✕ ✕ ✕ 提示:忽视了椭圆定义中2a>|F1F2|>0这一条件. 提示 提示 提示 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 4.椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. (         ) 5.点P(2,1)在椭圆 + =1的内部. (         ) 6.两个点可以确定椭圆的标准方程. (         ) ✕ ✕ ✕ 提示 提示 提示 椭圆 + =1(a>b>0)中,因为a>c>0,所以0<e<1,e越接近于1,则c越接近于a,从而b=  越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0,椭圆越接近于圆. ∵ + >1,∴点P在椭圆的外部. 由椭圆的标准方程可知,椭圆关于x轴,y轴对称,关于原点中心对称,故不关于上述对称的 两个点才能确定椭圆的标准方程. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 1.用定义法求椭圆的标准方程 　　根据椭圆的定义确定a,b的值,结合焦点位置写出椭圆的标准方程. 2.用待定系数法求椭圆的标准方程的一般步骤 (1)定位置:根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴上都有可能. (2)设方程:根据上述判断,设方程为 + =1(a>b>0)或 + =1(a>b>0)或mx2+ny2=1(m>0,n> 0,m≠n). (3)找关系:根据已知条件建立关于a,b(或m,n)的方程组. (4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,写出标准方程. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 椭圆的标准方程 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 3.利用椭圆的几何性质确定椭圆的标准方程 (1)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程为 + =k1(k1>0,焦点在x轴上)或  + =k2(k2>0,焦点在y轴上). (2)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同焦点的椭圆方程为 + =1(k<b2). 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知F1,F2分别是椭圆E:x2+ =1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两 点,若|AF1|=3|BF1|,AF2⊥x轴,求椭圆E的方程. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 解析    由题意可得,F1(-c,0),F2(c,0). ∵AF2⊥x轴, ∴|AF2|=b2, ∴A点的坐标为(c,b2). 设B点的坐标为(x,y), 则由|AF1|=3|BF1|,得 =3 , 即(-c-c,0-b2)=3(x+c,y-0), ∴ 解得  ∴B点的坐标为 ,将其代入椭圆方程,得 + =1, 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 又1=b2+c2, ∴b2= ,c2= , ∴椭圆E的方程为x2+ y2=1. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 焦点三角形及其解法 (1)椭圆上异于长轴端点的一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.解 关于椭圆的焦点三角形问题,通常要利用椭圆的定义,再结合正弦定理、余弦定理等知识. (2)焦点三角形的常用公式: ①焦点三角形的周长C=2a+2c. ②在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2. ③设P(xP,yP),则焦点三角形的面积S=c|yP|= |PF1||PF2|·sin∠F1PF2=b2tan . ④当且仅当点P位于短轴端点时,∠F1PF2最大,此时满足cos∠F1PF2=1-2e2. 讲解分析 疑难 2 椭圆的焦点三角形问题 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知P是椭圆 + =1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,∠F1PF2=60°. (1)求△F1PF2的面积; (2)求点P的坐标; (3)求 · 的值. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由椭圆方程知a2=25,b2= , 所以c2= ,则c= ,即2c=5. 在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°, 即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|.① 由椭圆的定义知10=|PF1|+|PF2|,所以100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|.② ②-①,得3|PF1||PF2|=75, 所以|PF1||PF2|=25, 所以 = |PF1||PF2|sin 60°= . (2)设P(x0,y0),则 = |F1F2||y0|, 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 即 = ×5×|y0|,得|y0|= , 所以y0=± ,将 代入椭圆方程,得 + =1, 解得 =0,所以x0=0, 所以点P的坐标为 或 . (3)由(1)可得F1 ,F2 , 由(2)可得P 或P , 所以 = , = 或 = , = , 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 故 · =- + = . 方法点拨    1.椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆; 反之,对椭圆上任意一点M,|MF1|+|MF2|=2a. 2.应用椭圆的定义能对一些长度进行相互转化,从而简化解题过程.因此,解题过程中涉及椭 圆上的点到焦点的距离问题时,应先考虑能否利用椭圆的定义求解. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 1.求椭圆的离心率的两种常用方法 (1)易求a,c时,直接用e= 求解;易求b,c时,利用e= 求解;易求a,b时,利用e= =  = 求解. (2)若a,c的值不可求,则可列出只含a,c的齐次方程,列式时常用 代替式子中的b,然后将 等式两边同时除以a的最高次幂,从而利用e= 将其转化为只含未知数e的方程,解方程即可. 此时要注意0<e<1. 2.求椭圆的离心率的取值范围 (1)根据条件建立关于a,b,c的不等式,借助a2=b2+c2将其转化为关于a,c的齐次不等式,再将不等 讲解分析 疑难 3 椭圆的离心率 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 式两边同时除以a的最高次幂,得到关于e的不等式,解不等式即可求得e的范围.此时要注意0< e<1. (2)解题时常用几何性质结合几何图形得到等量关系或不等关系,这样可以简化运算. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,且BF⊥BA,则椭圆 C的离心率e的值是　　　    ; (2)已知椭圆 + =1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2, 则椭圆的离心率e的取值范围为　　　    . 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)根据题意,得A(a,0),B(0,b),F(-c,0),∴ =(a,-b), =(-c,-b). ∵BF⊥BA,∴ · =0, 即(a,-b)·(-c,-b)=0,∴b2=ac, 又∵c2=a2-b2,∴c2-a2+ac=0,等式两边同时除以a2,得 + -1=0, 即e2+e-1=0, 解得e=- (舍去)或e= . 故答案为 . (2)由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,∴|OP|=c≥b, 即c2≥a2-c2,∴a≤ c, ∵e= ,0<e<1,∴ ≤e<1. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 $$