专题06 椭圆15大题型（期中专项训练）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

专题06 椭圆 基础·固本强基 题型 1 椭圆定义与轨迹判定 题型 2 根据条件求椭圆标准方程（待定系数） 题型 3 方程识别：二元二次方程表示椭圆的条件 题型 4 椭圆基本几何性质 题型 5 离心率基础计算 题型 6 焦半径最值 提升·进阶突破 题型 7 焦点三角形综合 题型 8 中档离心率求解（几何条件转化齐次式） 题型 9 点差法（中点弦问题） 题型 10 直线与椭圆联立：韦达定理、弦长计算 拔高·压轴破难 题型 11 椭圆上点到定点距离最值；向量数量积最值 题型 12 椭圆与圆、双曲线综合 题型 13 直线恒过定点问题 题型 14 斜率为定值问题 题型 15 椭圆中三角形、四边形面积及面积最值 57 / 57 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 椭圆定义与轨迹判定 【模型】平面内到两定点距离之和为定值2a；是椭圆；是线段；无轨迹；动圆相切转化椭圆定义。 【步骤】 ①找出两个定点（焦点）； ②计算距离和，比较2a与2c大小； ③判断轨迹是椭圆 / 线段 / 无轨迹； ④动圆内外切，两式相加得到距离之和为定值。 1．（期中，安徽）在平面直角坐标系中，已知点，满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义、基本不等式判断即可. 【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立， 又， 令、，则，， 即， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当且时，，此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆. 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D. 2．（期中，河南）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果. 【详解】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆的方程配方得：，圆心，半径为， 圆同理化为，圆心，半径为， 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有② 将①②两式相加，得 动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆， 故，，，. 故选：A. 3．（期中，安徽）已知，动点满足直线与的斜率乘积恒为，设点的运动轨迹为曲线，过点的直线与曲线的另一个交点为，则（   ） A．面积的最大值为 B．存在点，使得 C．若垂直于轴，则的最小值为-2 D．若过原点，则的最小值为1 【答案】ABD 【分析】直译法求出轨迹方程，对于A，当动点运动到上下顶点时，面积的最大，易得面积的最大值为，故A正确；对于B，由余弦定理求出，再结合基本不等式求出的范围即可得解；对于C，设，则 ，利用二次函数值域判断C错误；对于D，因点与点关于原点对称，则四边形为平行四边形，则，利用基本不等式及椭圆的定义即可求得. 【详解】因为与的斜率乘积恒为， 所以，即． 的面积， 所以当点为与轴的交点时的面积最大，最大为，故A正确； 由余弦定理得 ， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，因为在上单调递减， 且，所以，则存在点，使得，故B正确； 依题意点，, 所以 因为，所以当时，取得最小值，故C错误； 因点与点关于原点对称，则四边形为平行四边形，则， 因，则 ， 当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：ABD． 4．（期中，河南）在平面直角坐标系中，过点的两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并指出曲线是什么曲线； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1)且，曲线是不含长轴端点的椭圆 (2)或 【分析】（1）首先设，然后直接根据坐标表示条件，化简整理即可得到轨迹方程； （2）首先根据已知条件求解及的值，然后分别求解直线及的方程，最后根据联立方程求解点的坐标. 【详解】（1）设，又， 则由题意得． 化简得且， 所以曲线的方程为且，曲线是不含长轴端点的椭圆． （2）由题意，得解得或 若则直线的方程为①，直线的方程为②． 由①②可得即． 若则直线的方程为③，直线的方程为④． 由③④可得即． 综上，点的坐标为或． 题型 2 根据条件求椭圆标准方程（待定系数） 【模型】已知焦点、顶点、长轴短轴长、离心率、椭圆过点，列方程组求；区分焦点在x轴 /y轴。 【步骤】 ①判断焦点在哪一个坐标轴； ②列出关于a,b,c方程组，利用； ③解出写出标准方程。 1．（期中，河南）已知椭圆的离心率为，短轴为，是椭圆上一点（不与点重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由椭圆方程可得的值，结合其离心率，可求得的值，进而可求得的值，从而得到短轴的长，结合三角形面积公式，可知当在长轴端点时，的面积取得最大值. 【详解】在椭圆中，可得， 又离心率，所以， 所以，所以，则. 由题意可知，， 所以的面积，当且仅当点为长轴端点时等号成立， 所以面积的最大值为. 故选：D 2．（期中，安徽）已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程和椭圆方程联立得方程组，消元，根据韦达定理和中点坐标公式可得，再根据焦点坐标得出，联立可得，可得椭圆的方程． 【详解】由题意设椭圆的标准方程为， 联立，消元得， 设两个交点分别为，则弦中点横坐标为， 则结合韦达定理得，即①， 因为焦点，所以有②， 由①②得， 所以椭圆方程为， 故选：C. 3．（期中，安徽）已知椭圆E：（）的左、右焦点分别为，，且，两点在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程； (2)若点，，证明：点M在椭圆上，并求的周长. 【答案】(1) (2) 由点，得， 显然点满足椭圆方程，所以点M在椭圆E上，如下图： 由椭圆方程可知，， 所以的周长为. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即得. （2）将点的坐标代入椭圆方程计算得证；再利用两点间距离公式即可求解. 【详解】（1）因为椭圆E经过，两点， 所以由椭圆的结构特征可知，，椭圆焦点在x轴上， 所以椭圆E的方程为. （2）略 4．（期中，河南）已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. (1)求的标准方程； (2)设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 【答案】(1)； (2)①；②3. 【分析】（1）设出椭圆半焦距，结合椭圆的定义求出的取值范围，进而求出即可. （2）①设出直线的方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理求出坐标，利用斜率关系求出；②利用弦长公式求出，再表示出四边形面积，借助基本不等式求出最小值. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，则， 而点到的距离的取值范围为， 因此，解得，， 所以的标准方程为. （2）①由（1）知点，设直线的方程为，， 由消去得， ，， 则，线段的中点， 直线的斜率，直线交直线于点， 因此直线的斜率，即，则直线与直线垂直， 所以. ②由①知， ， 直线的方程为，同理得， 因此四边形的面积， 而，当且仅当，即时取等号， 则， 所以四边形面积的最小值为3. 题型 3 方程识别：二元二次方程表示椭圆的条件 【模型】 【步骤】 ①分母同时大于 0；②分母不相等。 1．（期中，河南）若，则“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过方程表示椭圆的等价条件：或，再根据充分性和必要性进行判断. 【详解】若方程表示椭圆，则， 解得或， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（期中，安徽）若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程直接可得. 【详解】由曲线表示焦点在轴上的椭圆， 所以，即的取值范围是． 故答案为：. 题型 4 椭圆基本几何性质 【模型】范围；顶点、焦距2c，长轴2a，短轴2b。 【步骤】从标准方程读出a,b，计算。 1．（期中，安徽）已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且不与轴重合，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的焦距为 B．的周长为 C．的面积的最大值为 D．的取值范围是 【答案】ABC 【分析】根据标准方程得出得出焦距判断A，应用椭圆的定义得出周长判断B，应用几何特征得出面积判断C，因为点在椭圆上且不在轴上，则，判断D. 【详解】椭圆为：焦距，故A正确； 的周长为，故B正确； 的面积为，所以最大值为，故正确； 因为点在椭圆上且不在轴上，则，取值范围是，故D错误． 故选：ABC. 2．（期中，福建）椭圆的焦距是，则___________． 【答案】或 【分析】通过焦点位置讨论求解即可． 【详解】由条件可知， 当焦点在轴时，可得：， 解得：， 当焦点在轴时，可得：， 解得：； 故答案为：或． 3．（（期中，河南）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，过椭圆上除A，B外任意一点P向x轴作垂线，垂足为Q，若，则椭圆的焦距为______. 【答案】 【分析】由题意设出点的坐标，根据两点距离公式，整理等式，结合椭圆方程，求得参数，易得答案. 【详解】由题意知，， 设，则，， 所以，整理得，对照椭圆方程可知， 所以，故椭圆的焦距为. 故答案为： 题型 5 离心率基础计算 【模型】，0<e<1；直接已知a,c求离心率。 【步骤】算出a,c，代入，结果必须0<e<1。 1．（期中，河南）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆的方程为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由蒙日圆的定义得到，即可求解. 【详解】直线，都与椭圆相切，两直线的交点为， 所以， 所以， 故椭圆的离心率. 故选：A 2．（期中，河南）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆C上一点.若线段的中点在y轴上，则________. 【答案】/0.5 【分析】根据题意知轴，把代入椭圆C的方程，解得，由椭圆的定义可得，结合离心率，即可求解. 【详解】因为坐标原点O是线段的中点，线段的中点在y轴上， 所以轴.由椭圆的对称性，不妨设点P在第一象限，则， 把代入椭圆C的方程，解得，所以. 由椭圆的定义，得.因为， 所以. 由题意，得，所以. 故答案为：. 题型 6 焦半径最值 【模型】椭圆上点P，焦半径范围[a-c,a+c]；长轴端点取到最大、最小值。 【步骤】直接用几何性质：最远a+c，最近a-c。 1．（期中，河南）山西陶寺遗址是中国新石器时代晚期的重要都城遗址，其考古发现的祭祀区中有一处近似椭圆的小型夯土基地，经测量，该基址的长轴长为20米，短轴长为16米，现计划在椭圆中心建立原点，长轴所在直线为轴，短轴所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若在椭圆基址的边缘某处点（即点在椭圆上），搭建一个临时观测台，则点到椭圆左焦点的距离的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】先根据题意，确定椭圆中的取值，再结合椭圆性质即可求解. 【详解】由题意得，设椭圆方程为，则，，， 所以，，， 又点在椭圆上，所以点到椭圆左焦点的距离的最大值为. 故选：B 2．（期中，河南）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上一点，若，则的离心率的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用建立不等式，进而求出离心率的范围. 【详解】依题意，，而，则，又， 因此，解得，即， 所以的离心率的取值范围是. 故答案为： 提升·进阶突破 题型 7 焦点三角形综合 【模型】P在椭圆上，。 【步骤】 ①椭圆定义：； ③联立求边长、夹角、面积。 1．（期中，河南）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，可得出，利用椭圆定义求出，再利用余弦定理可求得的余弦值. 【详解】由题意可得，则， 所以，由椭圆定义可得， 由余弦定理可得. 故选：A. 2．（期中，河南）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义及余弦定理进行求解． 【详解】在椭圆C中，，，所以. 由椭圆的定义，得. 在中，由余弦定理，得. 因为，所以， 即，所以. 所以的面积. 故选：D. 3．（期中，河南）已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据是直角三角形，分类讨论得出即可求解. 【详解】由题意知， 若，令，得，所以，故A正确； 若，则，又，所以，故D正确； 当点为的上顶点或下顶点时，，又，所以，故B正确. 故选:ABD. 4．（期中，安徽）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（    ） A． B． C．7 D． 【答案】AD 【分析】根据椭圆定义，可得，，分别讨论、和三种情况，求得各个长度，代入面积公式，即可得答案. 【详解】设为坐标原点，则，， 当时，，， 所以的面积为； 当时，， 所以的面积为. 同理，当时，的面积为. 故选：AD. 5．（期中，安徽）已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆的离心率相等. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意椭圆焦点在轴上，，，进而根据的关系求解即可； （2）由椭圆定义得，进而根据解得，再根据得，最后计算面积即可. 【详解】（1）解：设椭圆的标准方程为， 由题意知，又因为椭圆和椭圆的离心率相同， 所以， 因为，所以，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：由（1）知，椭圆的长半轴，焦距， 又由椭圆的定义知，， 所以联立，即 所以，解得 因为 又因为，所以 所以的面积 题型 8 中档离心率求解（几何条件转化齐次式） 【模型】给出角度、垂直、向量、线段比例，翻译成a,b,c齐次等式，两边除以，得到关于e方程，0<e<1取舍解。 【步骤】 ①翻译几何 / 向量条件； ②结合椭圆定义、余弦定理得到等式； ③全部化为a,b,c齐次式； ④除以解e，舍去的解。 1．（期中，安徽）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上且轴，为坐标原点，点满足，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对称性不妨设在第一象限，根据轴求得，根据求得，再根据可得，故可求离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为，由对称性不妨设在第一象限. 由题设有，因，故，故， 故，故，因为，故， 故，而， 因为，故， 整理得，故，故（负根舍去）， 故选：D. 2．（期中，河南）椭圆C：的左、右焦点分别为 ，A为左顶点，P为椭圆C上一点，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的方程与性质得出，再应用余弦定理计算得出离心率求解． 【详解】如图所示：    因为，所以， 又，所以， 连接，， 在中，， 由余弦定理得， 所以 所以，所以椭圆C的离心率． 故选：C． 3．（期中，河南）已知点A是椭圆C：（）的下顶点，F是C的右焦点，延长AF交C于点B，若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，用表示点B的坐标，代入椭圆C的方程结合，利用椭圆的离心率求解即可. 【详解】设椭圆C的焦距为2c，，则，， 所以，， 因为，所以，即，即， 因为点B在椭圆C上，所以， 则，得到C的离心率为．    故选：B． 4．（期中，福建）已知，分别是椭圆的左、右顶点，点满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造直角三角形，利用角度关系和正切函数建立联系，进而求得离心率. 【详解】 过作垂直于轴，垂足为， 易得，得， 则. 在中，由，得， 得. 故选：C. 5．（期中，河南）如图，点是椭圆的左､右焦点，是上两点，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交椭圆于另一点，根据给定条件，利用椭圆对称性及定义，结合余弦定理列式求解. 【详解】如图，延长交椭圆于另一点，连接，由，得， 由椭圆对称性得，设，则，， 在中，由余弦定理得，解得， 即，令椭圆的半焦距为c， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，所以的离心率. 故选：D 6．（期中，河南 ）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，过点且斜率为1的直线与椭圆交于点，，且点在第一象限，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得.然后利用直角三角形的边角关系列式得，即可求解离心率. 【详解】如图，   ，即. 设的中点为，连接，则，所以. 因为，所以，，从而. 在中，因为，所以， 则，化简得，故. 故选：A 7．（期中，安徽）已知椭圆上两点关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，由椭圆的定义，结合，求得，即可求解. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接， 不妨设，则， 因为，且，可知为矩形， 则， 又因为， 即， 可得，则， 在中，， 即，解得， 所以，则， 所以，解得， 故椭圆的离心率为． 故选：D 8．（期中，安徽）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且，则的离心率为___________． 【答案】/ 【分析】设，根据椭圆的定义，结合题意分别用表示，由，知，根据勾股定理，分别用表示，进而求得椭圆的离心率. 【详解】设，则，. 所以， 因为，所以，所以. 所以，化简得.所以得. 在中，，所以，得， 所以． 故答案为：. 题型 9 点差法（中点弦问题） 【模型】A,B在椭圆，为AB中点，点差得到。 【步骤】 ①两点代入椭圆，两式相减； ②因式分解转化中点、斜率关系； ③求出直线斜率； ④必须回代检验。 1．（期中，安徽）已知为椭圆的焦点，直线与椭圆交于两点，且点恰好是线段的中点，则（    ） A． B．椭圆的离心率为 C．直线的方程为 D．的周长为 【答案】BD 【分析】对于A：根据椭圆的焦点在轴上，以及,计算出;对于B：由选项A可得,再根据离心率公式计算；对于C：根据椭圆的弦的中点坐标以及中点弦斜率公式可求得直线;对于D：由选项C可知直线,注意到它经过上焦点,因此的周长等于. 【详解】对于A，因为为椭圆的下焦点，则， 所以,故A错误； 对于B，椭圆的方程为,则,离心率,故B正确； 对于C，因为点恰好为线段的中点，所以由椭圆中点弦斜率公式可知， 弦的斜率满足（为原点与点连线的斜率）， 又因为,从而,所以直线的方程为,即,故C错误； 对于D，由直线的方程知直线过上焦点,所以周长为,故D正确. 故选：BD. 2．（期中，河南）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆的焦距为4. (1)求椭圆的方程； (2)设点，直线过且与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得， ，利用求得即可求解方程； （2）设，，代入椭圆方程作差求得直线的斜率，代入点斜式直线方程即可求解. 【详解】（1）设的焦距为，因为的长轴长是短轴长的倍，所以. 因为的焦距为4，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，则的方程为. （2）设，，因为点，在上，所以 两方程相减得，所以. 因为是线段的中点，所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为，即.    3．（期中，安徽）已知椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上． (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设半焦距为，根据题意，再待定系数求解即可； （2）设，，根据点差法求解即可. 【详解】（1）解：设半焦距为， 因为椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上， 所以，解得． 所以的方程为. （2）解：设，，    代入椭圆方程得， 两式相减可得，即. 由点为线段的中点得， 则的斜率， 所以的方程为，即. 所以直线的方程为. 题型 10 直线与椭圆联立：韦达定理、弦长计算 【模型】设直线方程，联立椭圆，判别式，韦达定理；弦长公式。 【步骤】 ①设直线（讨论斜率不存在）； ②联立椭圆得到一元二次方程； ③写出、韦达； ④弦长公式计算。 1．（期中，河南）已知椭圆C：的离心率，以C的四个顶点为顶点的四边形的面积为. (1)求的方程； (2)若直线交椭圆于两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件得到，求解即可； （2）直线方程与椭圆方程联立，由弦长公式即可求解. 【详解】（1）设C的半焦距为. 由题意得得 C的方程为. （2）设，. 联立，得化简得， ，. . 2．（期中，福建）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点作交于点，的周长为，面积为． (1)求的方程； (2)过的直线交于、两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合椭圆定义与坐标计算即可得； （2）设出直线方程，与椭圆联立后消去得与有关韦达定理，结合，计算即可得. 【详解】（1）设，因为，所以，， 因为的周长为，面积为, 所以，， 即，，又， 所以，，， 所以C的方程为；    （2）由（1）知，因为的长轴长为4，故的斜率不为0， 设的方程为，，， 与的方程联立，得， 消去并整理，得， 恒成立， 所以，， 又 ， 解得， 故的方程为，即．    3．（期中，安徽）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：过点，且离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线l：与椭圆C交于A，B两点，若的面积为2，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率和椭圆过的点列式求，即可得椭圆方程； （2）将直线与椭圆联立，韦达定理，然后利用弦长公式求底，利用点到直线的距离公式求高，即可求出三角形的面积. 【详解】（1）因为，所以. 又椭圆C：过点，所以. 所以，.故所求椭圆方程为. （2）设点，， 联立消去y得.所以，， 又直线l与椭圆C相交，所以，解得. 则. 又点P到直线l的距离， 所以， 所以，所以，满足，则. 拔高·压轴破难 题型 11 椭圆上点到定点距离最值；向量数量积最值 【模型】设椭圆上点参数坐标，转化二次函数求值域；利用椭圆范围求最值。 【步骤】 ①设点坐标，写出目标表达式； ②代入椭圆方程消元，化为单变量二次函数； ③结合变量取值范围求最值。 1．（期中，安徽）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点距离公式即可得到结果. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：B. 2．（期中，河南）已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义知，利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动， 所以. 所以，所以（当且仅当时等号成立）. 所以. 即的最小值为1. 故选：A 3．（期中，河南）已知为椭圆的两个焦点，P为C上一点，则的最大值等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义及二次函数的性质计算即可. 【详解】由题意知,半焦距,所以由椭圆定义知, 故, 且, 又，所以当或时， 取得最小值，且其最小值为，所以的最大值为． 故选:C． 4．（期中，安徽）如图，在直角坐标系中，四边形是矩形，，，、、、分别是矩形四条边的中点，、分别是线段、上的动点（均与端点不重合），且满足，直线、的交点为，则的最大值为__________.    【答案】 【分析】推导出，设点，则，可求出点的轨迹方程，结合椭圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】设，则、，其中， 由已知可得、，则， 设点，则，整理可得，则， 即点在椭圆上，故， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：. 5．（期中，河南）已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________． 【答案】 【分析】通过椭圆标准方程和定义得到，通过，转化为一元二次函数的值域求解. 【详解】由题可知，，， 令，，则， 因为，所以，即， 所以，， 当或时，取到最小值为；当时，取到最大值为， 即的取值范围是. 故答案为： 题型 12 椭圆与圆、双曲线综合 【模型】椭圆与双曲线共焦点c；椭圆与圆相交，利用几何条件。 【步骤】 ①共焦点：半焦距c相等； ②分别使用各自定义联立求解。 1．（期中，河南）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数m的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】先求椭圆的焦点，再根据椭圆与双曲线有相同焦点列式求的值. 【详解】由题意知，双曲线的方程为，椭圆的标准方程为， 椭圆的焦点在x轴上，且，，所以. 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以，且，解得. 故选：C 2．（期中，河南）记椭圆：，双曲线：的离心率分别为，，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由椭圆和双曲线离心率计算公式即可求解. 【详解】由题意知，， 因为， 所以， 即，解得. 故选：B 3．（期中，福建）已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑只需点位于长轴端点时，，可得，然后可解. 【详解】由对称性可知，， 因为，， 所以当点位于长轴端点时最小， 由题可知，在椭圆上存在一点，使得， 只需当点位于长轴端点时，，即，故， 又，所以椭圆离心率的取值范围为. 故选：B    4．（期中，福建）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】设半焦距为，根据椭圆与双曲线的定义可得，，由得，从而可得，由的范围即可求的取值范围. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为， 于是得，. 由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在轴上，在轴右侧，如图， 由椭圆及双曲线定义得：，解得，. 因，即，而是线段的中点，因此有， 则有，即，整理得：， 从而有，即有. 又，则有，即，解得， 所以的取值范围是. 故答案为:. 题型 13 直线恒过定点问题 【模型】直线与椭圆相交，给出斜率条件、向量条件、垂直条件，化简得到直线方程，分离参数求定点。 【步骤】 ①设直线，联立椭圆写出韦达； ②把题干条件（垂直、斜率等式）转化韦达关系式； ③整理直线方程，令参数系数等于 0 求出定点； ④检验斜率不存在特殊情况。 1．（期中，安徽）已知椭圆的左顶点为，且椭圆过点. (1)求的方程； (2)已知为的左焦点，在轴上有两动点，且. （i）若的外接圆与在第一象限的交点为，连接交轴于点，求； （ii）直线分别与交于点，求证：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)（i）3； （ii）设直线的方程为 联立，消去整理得， 则. 因为，所以， 故，即，化简得， 因为，所以， 所以直线的方程为，即直线恒过定点.    【分析】（1）根据左顶点及点在椭圆上列式计算求解； （2）（i）根据的外接圆是以为直径的圆再设化简得出，即可得出比值；（ii）设直线联立后应用斜率乘积计算得出即得定点. 【详解】（1）因为椭圆的左顶点为，所以， 又椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由得，所以. 显然的外接圆是以为直径的圆， 则其方程为，化简得. 设，则， 消去得，， 化简得，又，所以， 所以. （ii）略 2．（期中，河南）已知椭圆：（）的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的标准方程. (2)已知点，若平行于轴的直线交于，两点，直线与的另一个交点为. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）过（ⅰ）中的定点的直线与相交于，两点（异于的左、右顶点），求的面积的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ），（ⅱ） 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）（ⅰ）设，，则，因为，，三点共线，所以，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，进而证得直线过定点. （ⅱ）设直线的方程为，，，直线与椭圆方程联立求出根与系数的关系，由，令（），则，进行求解． 【详解】（1）由题意可知，解得，， 故椭圆的标准方程为. （2）（ⅰ）设，，则， 因为，，三点共线，所以，显然直线的斜率不为0， 设直线的方程为，由得， 则， ，，又， 所以，整理得， 所以，化简得， 根据题意可知，，所以， 故直线恒过定点. （ⅱ）由题意可知，直线的斜率不为0，定点为， 设直线的方程为，，， 将代入，整理得， 则，，， 所以 ， 令（），则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时，则， 故的面积的最大值为. 3．（期中，福建）已知椭圆经过，两点. (1)求的方程. (2)若点，是上一动点，求的最小值. (3)若直线与交于与点不重合的，两点，且在以为直径的圆上，，垂足为，判断是否存在点，使得为定值.若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在点 【分析】（1）将，两点坐标代入椭圆方程，可求得，从而得到椭圆的方程； （2）设，由两点间距离公式和椭圆方程联立可将表示成关于的函数，从而求得其最小值； （3）分斜率存在和不存在两种情况，设直线的方程，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理及向量垂直的坐标表示，得直线过定点，由此点在以为直径的圆上，即的中点到点D的距离为定值.所以存在定点，使得为定值. 【详解】（1）由题意得，解得. 所以的方程为. （2）设.由，得， 则， 当时，取得最小值，最小值为. （3）存在点，使得为定值.理由如下： 当的斜率存在时，设点，，. 由得，得 由题意得，则， 所以 ， 化简得. 因为不在直线上，所以， 所以，即， 则的方程为， 故直线过定点. 当的斜率不存在时，设点，得， 则. 由，得，得或（舍去）. 故方程为：，经过点. 综上，直线过定点. 令为的中点，则，点在以为直径的圆上. 当与重合时，，当与不重合时，. 故存在点，使得为定值.    题型 14 斜率为定值问题 【模型】过定点直线交椭圆两点，证明斜率之和、斜率乘积为常数。 【步骤】 ①设直线联立椭圆，写出韦达； ②把斜率表达式通分，代入； ③化简消去参数得到常数。 1．（期中，河南 ）已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为，，上顶点为B，离心率为，，过点作不与x轴重合的直线l与C交于D，E（E在D的左侧）两点，，交于点M． (1)求C的方程； (2)求证：为定值（，分别为，的斜率）； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明：由（1）知，． 设直线l的方程为，，， 联立l与C的方程，得 消去x并整理，得， ∴，解得， ∴，， ∴， ∴， 即为定值． (3) 【分析】（1）由椭圆几何性质可求得的值，进而求得解析式； （2）设直线l的方程为，，，联立方程组，利用韦达定理计算可求得为定值； （3）过点D，M，E作x轴的垂线，垂足分别为P，N，Q，利用计算，可求得的取值范围. 【详解】（1）设C的半焦距为c（）． ∵C的离心率为，即，∴， ∴． 设O为坐标原点，∵， ∴，∴， ∴C的方程为． （2）略 （3）过点D，M，E作x轴的垂线，垂足分别为P，N，Q， 则，，，， ∴，． 设直线的斜率为k，由（2）知，的斜率为， ∴直线的方程为，① 直线的方程为．② ①②联立，解得，∴点M的横坐标为． ∵， ∴ ． 设，则，易知在上单调递增， ∴， ∴的取值范围为．   【点睛】 2．（期中，河南）已知圆过点，短轴长为2. (1)求椭圆C的方程及离心率； (2)过点的直线交椭圆C于异于点M的A，B两点，设直线MA，MB的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1)， (2)证明：由题意知，直线AB的斜率存在. 当直线AB的斜率为0时，直线AB的方程为，点A，B是长轴的端点. 设，， 则，，所以. 当直线AB的斜率不为0时， 设直线AB的方程为，，. 把直线AB的方程代入椭圆C的方程，化简得. 由，得. 所以. 所以 . 把，代入得 . 【分析】（1）由短轴长求得，将点M的坐标代入椭圆方程求得，即可求出椭圆方程，然后求出，即可求出离心率； （2）易知直线AB的斜率存在，当直线AB的斜率为0时，，，求得.当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，代入两点式斜率公式化简得，即可证明. 【详解】（1）由题意得，所以，所以椭圆C的方程为. 因为椭圆C过点，所以，解得， 所以椭圆C的方程为. 因为，，所以， 所以，，所以离心率. （2）略 3．（期中，安徽）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为，分别为的左、右顶点，为上不同于的两点． (1)求的方程； (2)若，关于原点对称，射线，分别与以椭圆长轴为直径的圆交于，两点，记直线和直线的斜率存在且分别为．证明：为定值； (3)记直线和直线的斜率分别为，若，试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) 设，，，则， 在椭圆上，，即， 直线与直线的斜率存在且不为，且， ， 设，则直线的方程为， 联立， ，则，则， 同理设，则点， ， ， ，， 故为定值. (3) 设点的坐标为，且，由已知可得直线的方程为， 代入椭圆方程得，所以， 又，所以，从而，故点的坐标为， 设点的坐标为，同理可得，故点的坐标为， 因为，点的坐标也为， 当轴时，则，易得， 此时直线的方程为，交轴于点，记该点为； 当不垂直于轴，即时， 则， 可知三点共线，即直线恒过点， 综上所述，直线恒过定点． 【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，求解出，则椭圆方程可求； （2）设出的方程表示出点坐标，同理可表示出点坐标，由此可表示出，由点坐标表示，则的结果可求，即完成证明； （3）设出的方程，求出点坐标，同理可求出点坐标，根据直线的斜率是否存在进行分类讨论即可，由此确定出所过的定点. 【详解】（1）由椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为， 由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）略 （3）略 题型 15 椭圆中三角形、四边形面积及面积最值 【模型】；d点到直线距离；换元 + 二次函数、基本不等式求最值。 【步骤】 ①联立椭圆得到弦长； ②求点到直线距离； ③写出面积表达式； ④换元求值域，验证等号条件。 1．（期中，福建）已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，为坐标原点. (1)若为等边三角形，求的离心率； (2)如果存在点，使得，且的面积等于8，求的值和的取值范围. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先连接，由为等边三角形，得到，，；再由椭圆的定义，即可求出结果； （2）先由题意得到满足条件的点存在，利用椭圆的性质和勾股定理建立方程，再根据三个方程联立，即可求出结果. 【详解】（1）如图，连接，作出符合题意的图形， 由题意得为等边三角形，可知，， 则，可得，得到， 于是， 故椭圆的离心率为. （2）设满足条件的点到的距离， 而，则， ，， ， 整理得，即，记为①式， 又，，记为②式， 联立①②得，，而，， 由于，即，， 当时，， 当时，， 要使方程在上有解，则方程，解得， 所以的取值范围. 2．（期中，福建）已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，为坐标原点. (1)若为等边三角形，求的离心率； (2)如果存在点，使得，且的面积等于8，求的值和的取值范围. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先连接，由为等边三角形，得到，，；再由椭圆的定义，即可求出结果； （2）先由题意得到满足条件的点存在，利用椭圆的性质和勾股定理建立方程，再根据三个方程联立，即可求出结果. 【详解】（1）如图，连接，作出符合题意的图形， 由题意得为等边三角形，可知，， 则，可得，得到， 于是， 故椭圆的离心率为. （2）设满足条件的点到的距离， 而，则， ，， ， 整理得，即，记为①式， 又，，记为②式， 联立①②得，，而，， 由于，即，， 当时，， 当时，， 要使方程在上有解，则方程，解得， 所以的取值范围. 3．（期中，福建）已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，为坐标原点. (1)若为等边三角形，求的离心率； (2)如果存在点，使得，且的面积等于8，求的值和的取值范围. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先连接，由为等边三角形，得到，，；再由椭圆的定义，即可求出结果； （2）先由题意得到满足条件的点存在，利用椭圆的性质和勾股定理建立方程，再根据三个方程联立，即可求出结果. 【详解】（1）如图，连接，作出符合题意的图形， 由题意得为等边三角形，可知，， 则，可得，得到， 于是， 故椭圆的离心率为. （2）设满足条件的点到的距离， 而，则， ，， ， 整理得，即，记为①式， 又，，记为②式， 联立①②得，，而，， 由于，即，， 当时，， 当时，， 要使方程在上有解，则方程，解得， 所以的取值范围. 4．（期中，安徽）设椭圆的左，右焦点分别为，左顶点为，对称中心为，离心率为，若该椭圆的短轴长为，且满足． (1)求的方程； (2)过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点、，记的面积为S． ①求的取值范围； ②求证：直线DQ与PE交于定点． 【答案】(1) (2)① ②由题意得知，则直线的方程：， 直线的方程：， 联立两个直线方程消去，得， 即， 又，故上式化为， 将，代入，得， 即， 又由以上可知、， ， 即 解得， 代入直线的方程：， 由于，则代入， 即， 故直线DQ与PE交于定点. 【分析】（1）根据椭圆的短轴长、离心率以及已知等式求出的值，进而得到椭圆方程； （2）①先设直线的方程，与椭圆方程联立，求出弦长，再求出原点到直线的距离，进而得到面积关于参数的表达式，最后根据参数的范围求出面积的取值范围； ②设出直线和的方程，再联立，利用韦达定理代入该式，最后化简即可. 【详解】（1）该椭圆的短轴长为，，解得， 又，，解得， 又，， 的方程为. （2）① 由（1）可知，设直线的方程为，，, 联立直线与椭圆的方程，得， 根据韦达定理，得、， 则， 的面积为， 令，，则，， 在上单调递增，，则， 的取值范围为. ②略 5．（期中，福建）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点， ①若 ，且不过坐标原点，求三角形面积的最大值，并写出求得此最大值时的值 ②点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)①，； ②联立得， 设，，可得，， 由题知， 即， 即，解得， ∴直线的方程为，故直线恒过定点. 【分析】（1）由题可得，据此可求得椭圆方程； （2）①由弦长公式及三角形面积公式确定三角形面积，再结合二次函数求最值即可；②将直线方程与椭圆方程联立，后由韦达定理结合，可得m与k的关系即可得直线恒过的定点. 【详解】（1）由题知，，，， 由的面积为，得， 又，代入可得，， ∴椭圆的方程为. （2）①设坐标原点到直线的距离为， 联立， 得， 可得， 设，， 则， 所以此时 当，即时， 三角形面积有最大值 ②略 $专题06 椭圆 基础·固本强基 题型 1 椭圆定义与轨迹判定 题型 2 根据条件求椭圆标准方程（待定系数） 题型 3 方程识别：二元二次方程表示椭圆的条件 题型 4 椭圆基本几何性质 题型 5 离心率基础计算 题型 6 焦半径最值 提升·进阶突破 题型 7 焦点三角形综合 题型 8 中档离心率求解（几何条件转化齐次式） 题型 9 点差法（中点弦问题） 题型 10 直线与椭圆联立：韦达定理、弦长计算 拔高·压轴破难 题型 11 椭圆上点到定点距离最值；向量数量积最值 题型 12 椭圆与圆、双曲线综合 题型 13 直线恒过定点问题 题型 14 斜率为定值问题 题型 15 椭圆中三角形、四边形面积及面积最值 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 椭圆定义与轨迹判定 【模型】平面内到两定点距离之和为定值2a；是椭圆；是线段；无轨迹；动圆相切转化椭圆定义。 【步骤】 ①找出两个定点（焦点）； ②计算距离和，比较2a与2c大小； ③判断轨迹是椭圆 / 线段 / 无轨迹； ④动圆内外切，两式相加得到距离之和为定值。 1．（期中，安徽）在平面直角坐标系中，已知点，满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 2．（期中，河南）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（期中，安徽）已知，动点满足直线与的斜率乘积恒为，设点的运动轨迹为曲线，过点的直线与曲线的另一个交点为，则（   ） A．面积的最大值为 B．存在点，使得 C．若垂直于轴，则的最小值为-2 D．若过原点，则的最小值为1 4．（期中，河南）在平面直角坐标系中，过点的两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并指出曲线是什么曲线； (2)若，求点的坐标． 题型 2 根据条件求椭圆标准方程（待定系数） 【模型】已知焦点、顶点、长轴短轴长、离心率、椭圆过点，列方程组求；区分焦点在x轴 /y轴。 【步骤】 ①判断焦点在哪一个坐标轴； ②列出关于a,b,c方程组，利用； ③解出写出标准方程。 1．（期中，河南）已知椭圆的离心率为，短轴为，是椭圆上一点（不与点重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（期中，安徽）已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（期中，安徽）已知椭圆E：（）的左、右焦点分别为，，且，两点在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程； (2)若点，，证明：点M在椭圆上，并求的周长. 4．（期中，河南）已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. (1)求的标准方程； (2)设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 题型 3 方程识别：二元二次方程表示椭圆的条件 【模型】 【步骤】 ①分母同时大于 0；②分母不相等。 1．（期中，河南）若，则“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（期中，安徽）若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___________． 题型 4 椭圆基本几何性质 【模型】范围；顶点、焦距2c，长轴2a，短轴2b。 【步骤】从标准方程读出a,b，计算。 1．（期中，安徽）已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且不与轴重合，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的焦距为 B．的周长为 C．的面积的最大值为 D．的取值范围是 2．（期中，福建）椭圆的焦距是，则___________． 3．（（期中，河南）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，过椭圆上除A，B外任意一点P向x轴作垂线，垂足为Q，若，则椭圆的焦距为______. 题型 5 离心率基础计算 【模型】，0<e<1；直接已知a,c求离心率。 【步骤】算出a,c，代入，结果必须0<e<1。 1．（期中，河南）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆的方程为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（期中，河南）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆C上一点.若线段的中点在y轴上，则________. 题型 6 焦半径最值 【模型】椭圆上点P，焦半径范围[a-c,a+c]；长轴端点取到最大、最小值。 【步骤】直接用几何性质：最远a+c，最近a-c。 1．（期中，河南）山西陶寺遗址是中国新石器时代晚期的重要都城遗址，其考古发现的祭祀区中有一处近似椭圆的小型夯土基地，经测量，该基址的长轴长为20米，短轴长为16米，现计划在椭圆中心建立原点，长轴所在直线为轴，短轴所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若在椭圆基址的边缘某处点（即点在椭圆上），搭建一个临时观测台，则点到椭圆左焦点的距离的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 2．（期中，河南）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上一点，若，则的离心率的取值范围是__________. 提升·进阶突破 题型 7 焦点三角形综合 【模型】P在椭圆上，。 【步骤】 ①椭圆定义：； ③联立求边长、夹角、面积。 1．（期中，河南）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（期中，河南）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（期中，河南）已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（    ） A． B． C． D． 4．（期中，安徽）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（    ） A． B． C．7 D． 5．（期中，安徽）已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆的离心率相等. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积. 题型 8 中档离心率求解（几何条件转化齐次式） 【模型】给出角度、垂直、向量、线段比例，翻译成a,b,c齐次等式，两边除以，得到关于e方程，0<e<1取舍解。 【步骤】 ①翻译几何 / 向量条件； ②结合椭圆定义、余弦定理得到等式； ③全部化为a,b,c齐次式； ④除以解e，舍去的解。 1．（期中，安徽）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上且轴，为坐标原点，点满足，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（期中，河南）椭圆C：的左、右焦点分别为 ，A为左顶点，P为椭圆C上一点，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（期中，河南）已知点A是椭圆C：（）的下顶点，F是C的右焦点，延长AF交C于点B，若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（期中，福建）已知，分别是椭圆的左、右顶点，点满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（期中，河南）如图，点是椭圆的左､右焦点，是上两点，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（期中，河南 ）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，过点且斜率为1的直线与椭圆交于点，，且点在第一象限，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（期中，安徽）已知椭圆上两点关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（期中，安徽）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且，则的离心率为___________． 题型 9 点差法（中点弦问题） 【模型】A,B在椭圆，为AB中点，点差得到。 【步骤】 ①两点代入椭圆，两式相减； ②因式分解转化中点、斜率关系； ③求出直线斜率； ④必须回代检验。 1．（期中，安徽）已知为椭圆的焦点，直线与椭圆交于两点，且点恰好是线段的中点，则（    ） A． B．椭圆的离心率为 C．直线的方程为 D．的周长为 2．（期中，河南）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆的焦距为4. (1)求椭圆的方程； (2)设点，直线过且与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，求直线的方程. 3．（期中，安徽）已知椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上． (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程． 题型 10 直线与椭圆联立：韦达定理、弦长计算 【模型】设直线方程，联立椭圆，判别式，韦达定理；弦长公式。 【步骤】 ①设直线（讨论斜率不存在）； ②联立椭圆得到一元二次方程； ③写出、韦达； ④弦长公式计算。 1．（期中，河南）已知椭圆C：的离心率，以C的四个顶点为顶点的四边形的面积为. (1)求的方程； (2)若直线交椭圆于两点，求. 2．（期中，福建）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点作交于点，的周长为，面积为． (1)求的方程； (2)过的直线交于、两点，若，求直线的方程． 3．（期中，安徽）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：过点，且离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线l：与椭圆C交于A，B两点，若的面积为2，求的值. 拔高·压轴破难 题型 11 椭圆上点到定点距离最值；向量数量积最值 【模型】设椭圆上点参数坐标，转化二次函数求值域；利用椭圆范围求最值。 【步骤】 ①设点坐标，写出目标表达式； ②代入椭圆方程消元，化为单变量二次函数； ③结合变量取值范围求最值。 1．（期中，安徽）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（期中，河南）已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（期中，河南）已知为椭圆的两个焦点，P为C上一点，则的最大值等于（    ） A．2 B． C． D． 4．（期中，安徽）如图，在直角坐标系中，四边形是矩形，，，、、、分别是矩形四条边的中点，、分别是线段、上的动点（均与端点不重合），且满足，直线、的交点为，则的最大值为__________.    5．（期中，河南）已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________． 题型 12 椭圆与圆、双曲线综合 【模型】椭圆与双曲线共焦点c；椭圆与圆相交，利用几何条件。 【步骤】 ①共焦点：半焦距c相等； ②分别使用各自定义联立求解。 1．（期中，河南）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数m的值为（    ） A． B． C．3 D．6 2．（期中，河南）记椭圆：，双曲线：的离心率分别为，，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 3．（期中，福建）已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（期中，福建）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是______. 题型 13 直线恒过定点问题 【模型】直线与椭圆相交，给出斜率条件、向量条件、垂直条件，化简得到直线方程，分离参数求定点。 【步骤】 ①设直线，联立椭圆写出韦达； ②把题干条件（垂直、斜率等式）转化韦达关系式； ③整理直线方程，令参数系数等于 0 求出定点； ④检验斜率不存在特殊情况。 1．（期中，安徽）已知椭圆的左顶点为，且椭圆过点. (1)求的方程； (2)已知为的左焦点，在轴上有两动点，且. （i）若的外接圆与在第一象限的交点为，连接交轴于点，求； （ii）直线分别与交于点，求证：直线恒过定点. 2．（期中，河南）已知椭圆：（）的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的标准方程. (2)已知点，若平行于轴的直线交于，两点，直线与的另一个交点为. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）过（ⅰ）中的定点的直线与相交于，两点（异于的左、右顶点），求的面积的最大值. 3．（期中，福建）已知椭圆经过，两点. (1)求的方程. (2)若点，是上一动点，求的最小值. (3)若直线与交于与点不重合的，两点，且在以为直径的圆上，，垂足为，判断是否存在点，使得为定值.若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 题型 14 斜率为定值问题 【模型】过定点直线交椭圆两点，证明斜率之和、斜率乘积为常数。 【步骤】 ①设直线联立椭圆，写出韦达； ②把斜率表达式通分，代入； ③化简消去参数得到常数。 1．（期中，河南 ）已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为，，上顶点为B，离心率为，，过点作不与x轴重合的直线l与C交于D，E（E在D的左侧）两点，，交于点M． (1)求C的方程； (2)求证：为定值（，分别为，的斜率）； (3)求的取值范围． 2．（期中，河南）已知圆过点，短轴长为2. (1)求椭圆C的方程及离心率； (2)过点的直线交椭圆C于异于点M的A，B两点，设直线MA，MB的斜率分别为，，求证：为定值. 3．（期中，安徽）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为，分别为的左、右顶点，为上不同于的两点． (1)求的方程； (2)若，关于原点对称，射线，分别与以椭圆长轴为直径的圆交于，两点，记直线和直线的斜率存在且分别为．证明：为定值； (3)记直线和直线的斜率分别为，若，试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由． 题型 15 椭圆中三角形、四边形面积及面积最值 【模型】；d点到直线距离；换元 + 二次函数、基本不等式求最值。 【步骤】 ①联立椭圆得到弦长； ②求点到直线距离； ③写出面积表达式； ④换元求值域，验证等号条件。 1．（期中，福建）已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，为坐标原点. (1)若为等边三角形，求的离心率； (2)如果存在点，使得，且的面积等于8，求的值和的取值范围. 2．（期中，福建）已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，为坐标原点. (1)若为等边三角形，求的离心率； (2)如果存在点，使得，且的面积等于8，求的值和的取值范围. 3．（期中，福建）已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，为坐标原点. (1)若为等边三角形，求的离心率； (2)如果存在点，使得，且的面积等于8，求的值和的取值范围. 4．（期中，安徽）设椭圆的左，右焦点分别为，左顶点为，对称中心为，离心率为，若该椭圆的短轴长为，且满足． (1)求的方程； (2)过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点、，记的面积为S． ①求的取值范围； ②求证：直线DQ与PE交于定点． 5．（期中，福建）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点， ①若 ，且不过坐标原点，求三角形面积的最大值，并写出求得此最大值时的值 ②点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. $