第1章 2_3 直线与圆的位置关系（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

　　一般地,已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心C(a,b)到直线l 的距离d= ,由 消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其 判别式为Δ. 知识 清单破 2.3 直线与圆的位置关系 知识点 直线与圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 代数法 Δ<0 Δ=0 Δ>0 几何法 d>r d=r d<r 公共点个数 0 1 2 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.直线4x+3y-40=0与圆x2+y2=100的位置关系是相交.(　     ) 2.直线l与圆C相交于A,B两点,当|AB|最大时,直线l过圆心. (　     ) 3.过点P且和圆相切的直线有两条. (         ) 4.直线x+y=m(m>0)与圆x2+y2=m相切,则m= . (         ) 5.x轴被圆心为(1,-2),半径为2 的圆所截得的弦长为8. (　     ) 6.直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A,B两点,且弦AB的长为2 ,则a=0. (　     ) √ √ √ √ ✕ ✕ 提示 提示 当点P在圆的外部时,有两条切线;当点P在圆上时,有一条切线;当点P在圆内时,没有切 线. 若直线x+y=m(m>0)与圆x2+y2=m相切,则有 = ,所以m=2. 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 1.直线与圆的位置关系有三种:相交、相切、相离.主要区别是直线与圆的公共点的个数. 2.常见的直线与圆的位置关系的判断方法有三种:代数法、几何法、直线系法. (1)代数法:将直线与圆的方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,利用Δ判断位 置关系. (2)几何法:计算圆心到直线的距离,再与半径比较大小即可. (3)直线系法:若直线恒过定点,可通过点与圆的位置关系及其他条件判断直线与圆的位置关 系. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 直线与圆的位置关系 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 典例 设m∈R,则直线l:mx+y-2m-1=0与圆x2+y2=5的位置关系为 (　    ) A.相离　     B.相切 C.相交或相切　    D.相交 C 解析    解法一:方程mx+y-2m-1=0可化为m(x-2)+y-1=0, 由 解得  所以直线l恒过点A(2,1). 又22+12=5,所以点A在圆x2+y2=5上, 所以过点A的直线l与圆相交或相切. 解法二:圆心到直线l的距离d= ,不妨假设 ≤ ,即(2m+1)2≤5(m2+1),整理,得 (m-2)2≥0,显然成立,所以d≤ ,所以直线l与圆相交或相切. 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 1.过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法 (1)点P在圆上时,求切点与圆心连线所在直线的斜率,若斜率存在且不为0,记为k,则k切线=- ;若 斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0. 　　结论:①过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2;②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点 P(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (2)点P在圆外时,设切线斜率为k,列出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径r,解出k即可 (若仅求出一个k值,则有一条斜率不存在的切线). 2.切线长的求法 过圆外一点P可作圆的两条切线,我们把点P与切点之间的线段的长称为切线长.切线长可由 讲解分析 疑难 2 圆的切线 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 勾股定理来计算. 如图,过圆外一点P(x0,y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2的切线,则切线长为 .   　　从圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点P(x0,y0)引圆的两条切线,切线长为  . 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)过点(4,0)的直线l与圆x2+y2-4x-8y+16=0相切,则直线l的方程为　 　　    ; (2)已知圆O:x2+y2=1,过直线3x+4y-10=0上的动点P作圆O的一条切线,切点为A,则|PA|的最小 值为　　　    . 3x+4y-12=0或x=4 解析    (1)将圆的方程化为(x-2)2+(y-4)2=4,得圆心为(2,4),半径为2, 当直线l的斜率不存在时,直线l:x=4, 此时直线l与圆x2+y2-4x-8y+16=0相切,符合题意; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0, 则圆心(2,4)到直线l的距离d= = =2,解得k=- ,所以直线l的方程为3x+4y-12 =0. 综上,直线l的方程为3x+4y-12=0或x=4. (2)如图所示,连接PO,AO,则|PA|2=|PO|2-|OA|2=|PO|2-1, 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念   当|PO|最小时,|PA|最小,|PO|的最小值为点O到直线3x+4y-10=0的距离,即|PO|min= =2, 故|PA|的最小值为 = . 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 1.弦长的求法 讲解分析 疑难 3 弦长问题 几何法 利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r2=d2+ 解题 交点法 若直线与圆的交点坐标易求出,则直接用两点间的距离公式求弦长 公式法 设直线m:y=kx+b与圆的两交点分别为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程与圆的方程联立,消去y后利用根与系数的关系得弦长l= |x1-x2|=   第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 2.圆的中点弦问题 (1)若线段AB是圆C的弦,D是弦AB的中点,则在解题中可应用以下性质: ①AB⊥CD,如果斜率kAB,kCD都存在,则kAB·kCD=-1; ②设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),则x0= ,y0= . (2)解决与中点弦有关的问题,有下列三种常见方法: ①利用根与系数的关系求出中点坐标; ②设出弦的两个端点的坐标,代入圆的方程,利用作差法求出斜率,此法即为点差法; ③利用圆本身的几何性质,即圆心与非直径的弦中点的连线与弦垂直解决问题. 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)直线l:x-2y-1=0与圆M:x2+y2-4x-6y+k=0相交于A,B两点,且|AB|=4,则实数k的值为 (        ) A. 　　B.2 　　C. 　　D.4 (2)过原点且倾斜角为60°的直线被圆C:x2+y2-4x=0所截得的弦长为　　　    . D 2 解析    (1)圆M的方程可化为(x-2)2+(y-3)2=13-k,则圆心为M(2,3),半径r= ,所以圆心M到 直线l的距离d= = ,由d2+ =r2,得5+22=13-k,解得k=4,故选D. (2)由题意得直线方程为y= x,即 x-y=0,圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4, 圆心为C(2,0),半径r=2, 圆心C到直线的距离d= = , 所以弦长l=2 =2 =2. 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 　　形如z= 的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;形如z=ax+by的最值问题,可转 化为动直线截距的最值问题;形如z=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间距离的平方的 最值问题. 利用所给式子的几何意义解题,充分体现数形结合以及转化的数学思想. 讲解分析 疑难 4 利用代数式的几何意义求解最值问题 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求: (1) 的最大值和最小值; (2)y-x的最小值; (3)x2+y2的最大值和最小值. 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 解析    方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心, 为半径的圆. (1)设 =k,即y=kx,则当圆心(2,0)到直线y=kx的距离等于半径时,直线与圆相切,斜率取得最大 值和最小值. 由点到直线的距离公式,得 = ,解得k=± ,所以kmax = ,kmin=- . (2)设y-x=b,即y=x+b,则当直线y=x+b与圆相切时,直线在y轴上的截距b取得最值.由点到直线 的距离公式,得 = ,解得b=-2± ,所以(y-x)min=-2- . (3)x2+y2是圆上的点与原点O的距离的平方,设圆与x轴交于B,D两点,点B位于O,D之间,则(x2+y2)max= |OD|2=(2+ )2=7+4 ,(x2+y2 )min=|OB|2=(2- )2=7-4 . 第一章　直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 $$