第3章 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第3章　概率 本章复习提升 易混易错练 　　　　　　　　　　　　　　　　 易错点1　不能正确列出随机变量的所有可能取值致错 1.在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,甲、乙两队进行抢答,比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分),若每个抢答题都有队伍抢答,X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的可能取值是　　　　　.  2.在学校组织的足球比赛中,某班要与其他4个班级各赛一场,在这四场比赛的任意一场中,此班级胜、负、平的概率都相等.已知这四场比赛结束后,该班胜场多于负场. (1)求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数; (2)若胜场数为X,求X的分布列. 易错点2　对条件概率问题理解不清,不能正确应用公式致错 3.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记A={两次的点数均为奇数},B={两次的点数之和为8},则P(B|A)=(　　) A. B. C. D. 4.某一电子集成块由a,b,c三个元件并联构成,三个元件是否有故障相互独立.已知至少有一个元件正常工作时该集成块就能正常运行.若每个元件能正常工作的概率均为,则在该集成块能够正常工作的情况下,有且仅有一个元件出现故障的概率为(　　) A. B. C. D. 易错点3　不能正确区分二项分布和超几何分布致错 5.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上40件产品作为样本测出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为[490,495],(495,500],(500,505],(505,510],(510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示. (1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量; (2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品件数,求X的分布列及数学期望; (3)用频率估计概率,从流水线上任取5件产品,设Y为质量超过505克的产品件数,求Y的分布列、数学期望、方差. 易错点4　对正态曲线的性质理解不准确致错 6.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<1)·P(X>3)=,则P(1≤X≤2)=(　　) A. B. C. D. 7.某袋装加碘食盐的质量X(单位:克)服从正态分布N(500,4),某超市在进货前要在厂家随机抽检这种食盐100袋,则质量在(498,504)内的袋数约为(　　) 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954 5. A.82 B.80 C.84 D.86 思想方法练　　　　　　　　　　　　　　 一、函数与方程思想在离散型随机变量中的应用 1.已知随机变量X~B(n,p),E(X)=2,D(X)=,则P(X≥2)=(　　) A. B. C. D. 2.某平台有两项竞赛答题活动,一项为“双人对战”,另一项为“四人赛”.活动规则如下:一天内参与“双人对战”活动,仅首局比赛可获得积分,获胜得2分,失败得1分;一天内参与“四人赛”活动,仅前两局比赛可获得积分,首局获胜得3分,次局获胜得2分,失败均得1分.已知李明参加“双人对战”活动时,每局比赛获胜的概率为;参加“四人赛”活动(每天两局)时,第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p,.李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局),各局比赛互不影响. (1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总分数X的分布列和数学期望; (2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中,恰有3天每天得分不低于3分的概率为f(p).求p为何值时,f(p)取得最大值. 二、分类讨论思想在离散型随机变量中的应用 3.某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间(分钟)相互独立,且都是整数,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分钟) 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 用频率估计概率,且从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率; (2)用X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望. 三、数形结合思想在正态分布中的应用 4.如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线,则下列说法不正确的是(　　) A.三种品牌手表的日走时误差的均值相等 B.若σ乙=1,σ丙=2,则P(-1≤x乙≤0)<P(0≤x丙≤2) C.三种品牌手表的日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙 D.三种品牌手表中甲品牌的质量最好 5.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-2,4)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　) 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5. A.906 B.340 C.2 718 D.3 413 6.(多选)设随机变量X服从正态分布N(-1,4),随机变量Y服从正态分布N,下列选项中正确的是(　　) A.P(X≥0)>P(Y≥0) B.P(X≤0)>P(Y≤0) C.存在t>0,满足P(X≤t)=P(Y≤t) D.存在t<0,满足P(X≥t)=P(Y≥t) 答案与分层梯度式解析 第3章　概率 本章复习提升 易混易错练 1.答案　-1,0,1,2,3 解析　X=-1表示:甲队抢到1题且答错,乙队抢到2题且均答错. X=0表示:甲队没有抢到题,乙队抢到3题且至少答错其中的2题;甲队抢到2题且答对1题答错1题,乙队抢到1题且答错. X=1表示:甲队抢到1题且答对,乙队抢到2题且至少答错其中的1题;甲队抢到3题且答对其中的2题,乙队没有抢到题. X=2表示:甲队抢到2题且均答对. X=3表示:甲队抢到3题且均答对. 易错警示 　　本题在随机变量X取值时易漏掉X=-1的情况,致错原因往往是从生活经验出发,以为甲队要获胜肯定至少回答正确一次,没有从问题的背景深入分析.要避免这种错误,可以将事件发生的各种可能一一列出,再针对出现的各种结果分析随机变量取值的可能性,这样可以做到不重不漏. 2.解析　(1)若胜一场,则其余为平,共有=4种情况;若胜两场,则其余两场为一负一平或两平,共有+=18种情况;若胜三场,则其余一场为负或平,共有×2=8种情况;若胜四场,则只有1种情况. 综上,共有4+18+8+1=31种情况. (2)X的可能取值为1,2,3,4, P(X=1)=,P(X=2)=, P(X=3)=,P(X=4)=, 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P 3.B　事件AB表示:两次的点数均为奇数,且两次的点数之和为8,共有两种情况,即(3,5),(5,3),故n(AB)=2,易知n(A)=·=9,所以P(B|A)==,故选B. 4.A　记事件A为该集成块能够正常工作,事件B为有且仅有一个元件出现故障, 则为该集成块不能正常工作, 所以P(A)=1-P()=1-=,P(AB)=××=, 所以P(B|A)===.故选A. 易错警示 　　条件概率问题中常出现的错误有两种:(1)混淆P(A|B)与P(B|A),P(A|B)表示已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率,P(B|A)表示已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率;(2)混淆P(A|B)与P(AB),P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率. 5.解析　(1)由题中频率分布直方图可知,40件产品中质量超过505克的产品数量为40×(0.05+0.01)×5=12(件). (2)由题意可知,随机变量X的可能取值为0,1,2, P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==, 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=. (3)由题意知,从流水线上任取5件产品,其中质量超过505克的产品件数Y服从二项分布,Y的可能取值为0,1,2,3,4,5, 设抽取的产品的质量超过505克的概率为p,易得p=,则Y~B, P(Y=0)=p0(1-p)5-0==, P(Y=1)=p1(1-p)5-1=××=, P(Y=2)=p2(1-p)5-2=××=, P(Y=3)=p3(1-p)5-3=××=, P(Y=4)=p4(1-p)5-4=××=, P(Y=5)=p5(1-p)5-5==, 则Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 5 P Y的数学期望E(Y)=5×=1.5,方差D(Y)=5××=1.05. 易错警示 　　本题第(2)问易误认为随机变量X服从二项分布B,从而得到错误的分布列.若将已知条件改为从40件产品中任意抽取1件后放回,再任意抽取1件,则X服从二项分布.第(3)问相当于从n件产品中任意抽取1件,虽然没有放回,但是由于是从流水线上抽取,所以第二次抽取时,又相当于是从n件产品中任意抽取1件,所以可以认为是二项分布问题.二项分布的背景是“n次独立重复试验”,而超几何分布的背景是“在含有M件次品的N件产品中任取n件”. 6.A　因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2), 所以由正态曲线的对称性可知,P(X<1)=P(X>3), 又因为P(X<1)·P(X>3)=, 所以P(X<1)=P(X>3)=, 故P(1≤X≤2)===.故选A. 7.A　因为X~N(500,4),所以μ=500,σ=2,所以498=μ-σ,504=μ+2σ, 故质量X(单位:克)在(498,504)内的概率为P(μ-σ<X<μ+2σ)=P(μ-σ<X<μ+σ)+P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈=0.818 6,因为0.818 6×100=81.86≈82,所以质量在(498,504)内的袋数约为82.故选A. 易错警示 　　在解决与正态分布有关的问题时,要熟记正态曲线的性质,准确应用其性质解题,同时注意分析题目中的条件,在本题中对于X~N(500,4),易错将4作为标准差,而事实上4为方差. 思想方法练 1.A　由题可知 E(X)=np=2,D(X)=np(1-p)=,所以n=3,p=. 根据已知条件列方程组,通过解方程组求得参数值. 所以P(X≥2)=××+×=.故选A. 2.解析　(1)易知X可取5,6,7,8,9,10, P(X=5)=×=, P(X=6)=××=, P(X=7)=××=, P(X=8)=××=, P(X=9)=××=, P(X=10)=×=, 故X的分布列如下: X 5 6 7 8 9 10 P 所以E(X)=5×+6×+7×+8×+9×+10×=7.5. (2)设参加“四人赛”活动时,一天得分不低于3分为事件A, 则P(A)=1-(1-p)×=1-(1-p)=, 则恰有3天每天得分不低于3分的概率f(p)=××=(2p+1)3(1-p)2,0<p<1, 则f'(p)=×6(2p+1)2(1-p)2-×2×(2p+1)3(1-p)=(2p+1)2(1-p)(4-10p), 通过研究函数的性质,解决概率的最值问题. 当0<p<时, f'(p)>0,当<p<1时, f'(p)<0, 所以函数f(p)在上递增,在上递减, 所以当p=时, f(p)取得极大值,也是最大值. 思想方法 　　函数与方程思想在本章中的应用:(1)结合分布列的性质及数学期望或方差的有关知识,利用方程思想构造方程(组)求参数;(2)将事件的概率、随机变量的数学期望或方差视为一个函数,利用函数思想求相关最值. 3.解析　设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布列为 Y 1 2 3 4 5 P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 (1)记“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”为事件A,则事件A对应三种情形: 将事件A发生的可能情形一一分类讨论,再进行整合. ①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟; ②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟; ③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟. 所以P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22. (2)X的可能取值为0,1,2. X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟, 所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5; X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟, 所以P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)=0.1×0.9+0.4=0.49; X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟, 所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01. 利用分类讨论的思想先求出X取不同值时的概率,再列出分布列. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 所以E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51. 思想方法 　　分类讨论思想在本章中的应用:(1)对随机变量的取值进行分类;(2)对不同情形的发生进行分类;(3)求解随机变量取某一范围内的值的概率时,先分类求该变量取不同值时的概率,再将所得的概率相加. 4.B　根据题中正态分布密度曲线可得,三种品牌手表的日走时误差的均值均为0,故相等,所以A中说法正确; 乙品牌手表日走时误差的正态分布密度曲线在区间[-1,0]之间的部分与x轴围成的面积与丙品牌手表日走时误差的正态分布密度曲线在区间[0,2]之间的部分与x轴围成的面积相等,所以B中说法不正确; 由题中正态分布密度曲线的形状,可得σ甲<σ乙<σ丙,所以三种品牌手表的日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙,所以C中说法正确; 由σ甲<σ乙<σ丙,可得甲品牌手表最稳定,质量最好,所以D中说法正确.故选B. 根据正态分布密度曲线的“矮胖”与“瘦高”情况判断各品牌手表日走时误差的标准差的大小,根据正态分布密度曲线的对称轴所在位置判断各品牌手表的日走时误差的均值的大小. 5.B　由题意知阴影部分的面积S=P(0<x≤2)=[P(-6≤x≤2)-P(-4≤x≤0)]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9, 则在正方形中随机投掷一点,该点落在阴影部分的概率P=, ∴落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×=339.75≈340.故选B. 结合正态分布密度曲线分析阴影面积,由面积比得到概率,从而解决问题. 6.BC　由题意知,X的正态分布的参数μ1=-1,σ1=2,Y的正态分布的参数μ2=2,σ2=. 作X和Y的正态曲线,如图. 结合正态曲线分析各选项,体现了数形结合思想. 对于A,P(X≥0)<,P(Y≥0)>,所以P(X≥0)<P(Y≥0),A错误; 对于B,P(X≤0)>,P(Y≤0)<,所以P(X≤0)>P(Y≤0),B正确; 对于C,因为μ1+2σ1=μ2+2σ2=3,所以P(X≤3)=P(Y≤3),即存在t>0,满足P(X≤t)=P(Y≤t),C正确; 对于D,由图可知在y轴左侧,Y的正态曲线总在X的正态曲线的下方,即Y的正态曲线与x轴围成的面积总小于X的正态曲线与x轴围成的面积,即t<0时,P(X≤t)>P(Y≤t),从而当t<0时,P(X≥t)<P(Y≥t),D错误. 故选BC. 思想方法 　　数形结合思想在本章中的应用:(1)利用Venn图理解各事件间的关系;(2)利用频率分布直方图等来理解样本数据,提取样本数据的信息,再利用样本分布的频率估计总体分布的概率;(3)正态分布是一个重要的分布,许多概率分布问题可转化为正态分布问题来解决,通过分析正态曲线,研究随机变量取不同值时概率的变化趋势,借助正态曲线的对称性求相应的概率值. 学科网（北京）股份有限公司 $$