第3章 概率（知识清单）数学湘教版选择性必修第二册

第3章 概率 清单01 条件概率 (1)定义 设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． (2)性质 ①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1； ②如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝ ． 清单02 事件的相互独立性 (1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝ ，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质： ①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝ ， P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝ ． ②如果事件A与B相互独立，那么 ， 与B， 与B也相互独立． 清单03 离散型随机变量 (1)随机变量 特点：随着试验结果的变化而变化的变量． 表示：常用字母X，Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量的特点 所有取值可以 出来． 清单04 离散型随机变量的分布列 (1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列． (2)性质：① (i＝1，2，…，n)；②pi＝1. 清单05常见的两类特殊分布列 (1)两点分布 若随机变量X服从两点分布，则其分布列为 X 0 1 P p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率． (2)超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，即： X 0 1 … m P … 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． 清单06 独立重复试验与二项分布 独立重复试验 二项分布 定义 在相同条件下重复做n次试验称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率 计算公式 用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An) ＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n) 常用结论 1．“二项分布”与“超几何分布”的区别 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理． 2．两个概率公式 (1)在事件B发生的条件下A发生的概率为P(A|B)＝.注意其与P(B|A)的不同． (2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 清单07 离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称E(X)＝ 为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的 ． (2)方差 称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的 ，并称其算术平方根为随机变量X的 ． 清单08均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ ． (2)D(aX＋b)＝ (a，b为常数)． 清单09两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝ ，D(X)＝ ．　 (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝ ，D(X)＝ ． 清单10正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (3)曲线在x＝μ处达到峰值 . (4)曲线与x轴之间的面积为1． (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 常用结论 均值与方差的七个常用性质 若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． (4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2. (5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)． (6)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． (7)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 易错点1 随机变量的概念不清 例题1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　) A．至少取到1个白球　　　　 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到的球的个数 例题2．有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法． (1)求n的值； (2)求随机变量X的概率分布列． 例题3．某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表． 图1：设备改造前样本的频率分布直方图 表1：设备改造后样本的频数分布表 质量指标值 [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) [40，45) 频数 2 18 48 14 16 2 (1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值； (2)该企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列． 易错点2 超几何分布类型掌握不准 例题1. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)＝________． 例题2. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列． 例题3. PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2020年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值的频数分布如下表所示： PM2.5日均值(微克/立方米) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75) [75，85] 频数 3 1 1 1 1 3 (1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率； (2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列． 易错点3 分布列的性质不清致误 例题1. 设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P m 则P(|X－3|＝1)＝________． 例题2. 已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P x y z 则P(X≥2)＝(　　) A．0.3　　　　　　　　　 B．0.4 C．0.5 D．0.6 例题3. 设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 2－3q q2 则q的值为(　　) A．1 B．± C.－ D.＋ 易错点4 条件概率公式套用错误 例题1. 已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　) A.　　　　　　　　　 B． C. D. 例题2. 现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为(　　) A.　　　　　　　　　 B． C. D. 【 例题3.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　) A. B． C. D. 易错点5相互独立事件恰有一个发生的概率的理解有误 例题1.天气预报，在元旦假期甲地的降雨的概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56 例题2. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列． 例题3.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率． 易错点6 独立重复试验公式应用错误 例题1.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　) A. B． C. D. 例题2. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现音乐，要么不出现音乐．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．设每盘游戏出现音乐的次数为X，则P(X≥1)＝________，玩三盘游戏，则恰有两盘出现音乐的概率是________． 例题3. 师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)记录了他们的幸福度分数． (1)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人的幸福度是“极幸福”的概率； (2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示选到幸福度为“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望． 易错点7利用正态曲线的对称性求值出错 例题1. 已知随机变量X服从正态分布X～N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝________． 例题2. 已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X≥4)＝0.158 7，则P(2<X<4)＝(　　) A．0.682 6　　　　　　　 B．0.341 3 C．0.460 3 D．0.920 7 例题3. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝(　　) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 易错点8 二项分布的数学期望公式用法不当 例题1.已知两个随机变量X，Y满足X＋2Y＝4，且X～N(1，22)，则E(Y)，D(Y)依次是________． 例题2. 在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响．记乙能答对的题数为Y，则Y的数学期望为________． 例题3. 高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，某一年乘坐高铁或飞机从A市到B市的成年人约50万人次，为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取了100人次作为样本，得到下表(单位：人次)． 老年人 中年人 青年人 满意度 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 10分(满意) 12 1 20 2 20 1 5分(一般) 2 3 6 2 4 9 0分(不满意) 1 0 6 3 4 4 (1)在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率； (2)从这一年乘坐高铁从A市到B市的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X，以频率作为概率，求X的分布列和数学期望； 1．奥运会射击比赛中，某选手射击一次击中10环的概率是，连续两次均击中10环的概率是，已知该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是(　　) A.　　　　　　　　　 B． C. D. 2．袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是(　　) A. B． C. D. 3．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局的概率为(　　) A. B． C. D. 4．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下： 使用时 间/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60 个数 10 40 80 50 20 若以频率为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为(　　) A. B． C. D. 5．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查，发现网上购买的家用小电器的合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是(　　) A. B． C. D. 6．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p, 各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(　　) A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 7．若离散型随机变量X的分布列如下表，则常数c的值为(　　) X 0 1 P 9c2－c 3－8c A.或　　　　　　　　 B． C. D．1 8．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝a，其中k＝0，1，2，那么a的值为(　　) A. B． C. D. 9．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是(　　) A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 10．一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(　　) 11．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　) A．10% B．20% C．30% D．40% 12．已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X＞1)＝0.5，P(X＞2)＝0.3，则P(X＜0)等于(　　) A．0.2　　　　　　　　　 B．0.3 C．0.7 D．0.8 13．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为(　　) A. B． C．2 D. 14．一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90，σ2)，且P(x＜70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90，110]的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为(　　) A．3 B．2.1 C．0.3 D．0.21 15．设X～N(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是(　　) (注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7) A．7 539 B．6 038 C．7 028 D．6 587 16．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是(　　) A．6，2.4 B．2，2.4 C．2，5.6 D．6，5.6 17．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________． 18. (一题多解)如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝________． 19．随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________． 20．夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为________． 21．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________，该选手回答了5个问题结束的概率为________． 22．若随机变量ξ的分布列如下表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝________． ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 23．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 投资成功 投资失败 192例 8例 则估计该公司一年后可获收益的均值是________元． 24．现有A，B，C三个项目，已知某投资公司投资A项目的概率为，投资B，C项目的概率均为p，且投资这3个项目是相互独立的，记X是该投资公司投资项目的个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________． 25．某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2022年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动．为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用．方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体．经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η. (1)求P(ξ＝3)； (2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖．记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖．求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望． 26．为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，某地要求这种产品在进入市场前必须进行两轮苛刻的核辐射检测，只有两轮检测都合格才能上市销售，否则不能销售．已知该产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，每轮检测结果只有“合格”“不合格”两种，且两轮检测是否合格相互之间没有影响． (1)求该产品不能上市销售的概率； (2)如果这种产品可以上市销售，则每件产品可获利50元；如果这种产品不能上市销售，则每件产品亏损80元(即获利为－80元)．现有这种产品4件，记这4件产品获利的金额为X元，求X的分布列． 27．已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分二个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立．假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的． (1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率； (2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列． 28.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时． (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列． 29． “公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？…… 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)招录300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2 000，考试满分为400分(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布)．考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生有30人． (1)最低录取分数是多少？(结果保留整数) (2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料： (1)当X～N(μ，σ2)时，令Y＝，则Y～N(0，1)． (2)当Y～N(0，1)时，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.85. 30．某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作厨余垃圾处理． (1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：个，n∈N)的函数解析式； (2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位：个)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以这100天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率． ①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，X表示日利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差； ②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由． 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 概率 清单01 条件概率 (1)定义 设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． (2)性质 ①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1； ②如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 清单02 事件的相互独立性 (1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质： ①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)， P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． ②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立． 清单03 离散型随机变量 (1)随机变量 特点：随着试验结果的变化而变化的变量． 表示：常用字母X，Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量的特点 所有取值可以一一列举出来． 清单04 离散型随机变量的分布列 (1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列． (2)性质：①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②pi＝1. 清单05常见的两类特殊分布列 (1)两点分布 若随机变量X服从两点分布，则其分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率． (2)超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，即： X 0 1 … m P … 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． 清单06 独立重复试验与二项分布 独立重复试验 二项分布 定义 在相同条件下重复做n次试验称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率 计算公式 用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An) ＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n) 常用结论 1．“二项分布”与“超几何分布”的区别 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理． 2．两个概率公式 (1)在事件B发生的条件下A发生的概率为P(A|B)＝.注意其与P(B|A)的不同． (2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 清单07 离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差． 清单08均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 清单09两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．　 (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 清单10正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (3)曲线在x＝μ处达到峰值 . (4)曲线与x轴之间的面积为1． (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 常用结论 均值与方差的七个常用性质 若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． (4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2. (5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)． (6)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． (7)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 易错点1 随机变量的概念不清 例题1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　) A．至少取到1个白球　　　　 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到的球的个数 解析：选C.A，B两项表述的都是随机事件，D项是确定的值2，并不随机；C项是随机变量，可能取值为0，1，2.故选C. 例题2．有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法． (1)求n的值； (2)求随机变量X的概率分布列． 【解】　(1)因为当X＝2时，有C种方法， 因为C＝6，即＝6，也即n2－n－12＝0， 解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4. (2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X， 由题意可知X的可能取值是0，2，3，4. 所以P(X＝0)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝1－－－＝， 所以X的分布列为 X 0 2 3 4 P 例题3．某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表． 图1：设备改造前样本的频率分布直方图 表1：设备改造后样本的频数分布表 质量指标值 [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) [40，45) 频数 2 18 48 14 16 2 (1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值； (2)该企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列． 解：(1)根据题图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下： 质量指标数 [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) [40，45) 频数 4 16 40 12 18 10 4×17.5＋16×22.5＋40×27.5＋12×32.5＋18×37.5＋10×42.5＝3 020. 样本产品的质量指标平均值为＝30.2. 根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2. (2)根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为，，， 故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为，，. 随机变量X的取值为240，300，360，420，480. P(X＝240)＝×＝，P(X＝300)＝C××＝. P(X＝360)＝C××＋×＝，P(X＝420)＝C××＝，P(X＝480)＝×＝， 所以随机变量X的分布列为 X 240 300 360 420 480 P 易错点2 超几何分布类型掌握不准 例题1. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)＝________． 解析：{X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝＝. 答案： 例题2. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列． 【解】　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M， 则P(M)＝＝. (2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 例题3. PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2020年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值的频数分布如下表所示： PM2.5日均值(微克/立方米) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75) [75，85] 频数 3 1 1 1 1 3 (1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率； (2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列． 解：(1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A， 则P(A)＝＝. (2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3. P(ξ＝k)＝(k＝0，1，2，3)． 所以P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 易错点3 分布列的性质不清致误 例题1. 设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P m 则P(|X－3|＝1)＝________． 解析：由＋m＋＋＝1，解得m＝， P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4) ＝＋＝. 答案： 例题2. 已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P x y z 则P(X≥2)＝(　　) A．0.3　　　　　　　　　 B．0.4 C．0.5 D．0.6 解析：选D. P(X≥2)＝x＋＋y＋z＝1－＝0.6. 例题3. 设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 2－3q q2 则q的值为(　　) A．1 B．± C.－ D.＋ 解析：选C.由分布列的性质知 解得q＝－. 易错点4 条件概率公式套用错误 例题1. 已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　) A.　　　　　　　　　 B． C. D. 解析：选B.设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B， 依题意P(A)＝＝，P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝. 例题2. 现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为(　　) A.　　　　　　　　　 B． C. D. 【解析】方法一：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，P(B|A)＝＝＝.故选C. 方法二：在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为.故选C. 例题3.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　) A. B． C. D. 【解析】 P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝＝. 易错点5相互独立事件恰有一个发生的概率的理解有误 例题1.天气预报，在元旦假期甲地的降雨的概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56 解析：选C.设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，且A，B，，彼此相互独立， 所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38. 例题2. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列． 【解】记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，和F，和都相互独立． (1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝， 于是P()＝P()P()＝×＝， 故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝. (2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220，因为P(X＝0)＝P()＝×＝， P(X＝100)＝P(F)＝×＝＝， P(X＝120)＝P(E)＝×＝， P(X＝220)＝P(EF)＝×＝＝. 故所求的分布列为 X 0 100 120 220 P 例题3.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率． 解：(1)甲连胜四场的概率为. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛． 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为； 乙连胜四场的概率为； 丙上场后连胜三场的概率为. 所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝. (3)丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为. 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，. 因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝. 易错点6 独立重复试验公式应用错误 例题1.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　) A. B． C. D. 解析：选D.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率p1＝，所以3次中恰有2次抽到黄球的概率p＝C·＝. 例题2. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现音乐，要么不出现音乐．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．设每盘游戏出现音乐的次数为X，则P(X≥1)＝________，玩三盘游戏，则恰有两盘出现音乐的概率是________． 解析：由题意X～B， 所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C＝， 或P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3) ＝C＋C＋C＝， 故每盘游戏出现音乐的概率为， 所以玩三盘游戏，恰有两盘出现音乐的概率 P＝C×＝. 答案：　 例题3. 师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)记录了他们的幸福度分数． (1)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人的幸福度是“极幸福”的概率； (2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示选到幸福度为“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望． 解：(1)设事件Ai(i＝0，1，2，3)表示所取3人中有i人的幸福度是“极幸福”，至多有1人的幸福度是“极幸福”记为事件A，结合茎叶图得P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝＋＝. (2)ξ的可能取值为0，1，2，3，由样本估计总体得任选1人，其幸福度为“极幸福”的概率为＝，则 P(ξ＝0)＝＝； P(ξ＝1)＝C××＝； P(ξ＝2)＝C××＝； P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝0.75. 易错点7利用正态曲线的对称性求值出错 例题1. 已知随机变量X服从正态分布X～N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝________． 解析：因为X～N(3，1)，所以正态曲线关于x＝3对称， 且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)， 所以2c－1＋c＋3＝3×2，所以c＝. 答案： 例题2. 已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X≥4)＝0.158 7，则P(2<X<4)＝(　　) A．0.682 6　　　　　　　 B．0.341 3 C．0.460 3 D．0.920 7 解析：选A.因为随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(x≥4)＝0.158 7， 所以P(X≤2)＝0.158 7，所以P(2<X<4)＝1－P(X≤2)－P(X≥4)＝0.682 6，故选A. 例题3. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝(　　) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析：选A.由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2. 又正态曲线关于x＝2对称，则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，所以P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6. 易错点8 二项分布的数学期望公式用法不当 例题1.已知两个随机变量X，Y满足X＋2Y＝4，且X～N(1，22)，则E(Y)，D(Y)依次是________． 解析：由X～N(1，22)得E(X)＝1，D(X)＝4.又X＋2Y＝4，所以Y＝2－， 所以E(Y)＝2－E(X)＝，D(Y)＝D(X)＝1. 答案：，1 例题2. 在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响．记乙能答对的题数为Y，则Y的数学期望为________． 解析：由题意知Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B，则E(Y)＝3×＝2. 答案：2 例题3. 高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，某一年乘坐高铁或飞机从A市到B市的成年人约50万人次，为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取了100人次作为样本，得到下表(单位：人次)． 老年人 中年人 青年人 满意度 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 10分(满意) 12 1 20 2 20 1 5分(一般) 2 3 6 2 4 9 0分(不满意) 1 0 6 3 4 4 (1)在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率； (2)从这一年乘坐高铁从A市到B市的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X，以频率作为概率，求X的分布列和数学期望； 解：(1)设事件M为“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”．由表可得，样本中出行的老年人、中年人人次分别为19，39. 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率P(M)＝＝. (2)由题意，X的所有可能取值为0，1，2. 易知乘坐高铁从A市到B市的所有成年人中，随机选取1人次，此人次为老年人的概率是p＝＝. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 方法一：故E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 方法二：因为X～B，所以E(X)＝2×＝. 1．奥运会射击比赛中，某选手射击一次击中10环的概率是，连续两次均击中10环的概率是，已知该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是(　　) A.　　　　　　　　　 B． C. D. 解析：选B.设该选手某次击中10环为事件A，随后一次击中10环为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝， 所以某次击中10环，随后一次击中10环的概率是 P(B|A)＝＝＝.故选B. 2．袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是(　　) A. B． C. D. 解析：选C.在这两次摸球过程中，设A＝“第一次摸到黑球”，B＝“第二次摸到白球”． 则n(A)＝CC＝24，n(AB)＝CC＝12， 所以P(B|A)＝＝＝.故选C. 3．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局的概率为(　　) A. B． C. D. 解析：选C.在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局分两种情况： ①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为P1＝×××＝； ②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为P2＝×××＝， 所以所求事件的概率为P1＋P2＝.故选C. 4．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下： 使用时 间/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60 个数 10 40 80 50 20 若以频率为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为(　　) A. B． C. D. 解析：选D.由表可知元件使用寿命在30天以上的概率为＝， 则所求概率为C×＋＝. 5．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查，发现网上购买的家用小电器的合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是(　　) A. B． C. D. 解析：选A.因为大约的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器的合格率约为，所以某家用小电器是在网上购买的，且被投诉的概率约为×＝，又实体店里的家用小电器的合格率约为，所以某家用小电器是在实体店里购买的，且被投诉的概率约为×＝，故工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性P＝＝. 6．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p, 各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(　　) A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 解析：选B.由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以D(X)＝10p·(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4)＜P(X＝6)，得Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4，即(1－p)2＜p2，所以p＞0.5，所以p＝0.6. 7．若离散型随机变量X的分布列如下表，则常数c的值为(　　) X 0 1 P 9c2－c 3－8c A.或　　　　　　　　 B． C. D．1 解析：选C.由随机变量的分布列的性质知，0≤9c2－c≤1，0≤3－8c≤1，9c2－c＋3－8c＝1，解得c＝.故选C. 8．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝a，其中k＝0，1，2，那么a的值为(　　) A. B． C. D. 解析：选D.因为随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝a，其中k＝0，1，2，所以P(ξ＝0)＝a＝a，P(ξ＝1)＝a＝，P(ξ＝2)＝a＝，所以a＋＋＝1，解得a＝.故选D. 9．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是(　　) A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 解析：选C.X服从超几何分布，P(X＝k)＝，故k＝4，故选C. 10．一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(　　) 解析：选C.随机变量ξ的可能取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，故选C. 11．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　) A．10% B．20% C．30% D．40% 解析：选B.设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，所以x＝2或8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为＝20%. 12．已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X＞1)＝0.5，P(X＞2)＝0.3，则P(X＜0)等于(　　) A．0.2　　　　　　　　　 B．0.3 C．0.7 D．0.8 解析：选B.随机变量X服从正态分布N(a，4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X＞a)＝0.5.由P(X＞1)＝0.5，可知a＝1，所以P(X＜0)＝P(X＞2)＝0.3，故选B. 13．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为(　　) A. B． C．2 D. 解析：选D.因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝2×＋3×＝. 14．一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90，σ2)，且P(x＜70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90，110]的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为(　　) A．3 B．2.1 C．0.3 D．0.21 解析：选B.因为x～N(90，σ2)，且P(x＜70)＝0.2， 所以P(x＞110)＝0.2， 所以P(90≤x≤110)＝0.5－0.2＝0.3， 所以X～B(10，0.3)， X的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1. 15．设X～N(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是(　　) (注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7) A．7 539 B．6 038 C．7 028 D．6 587 解析：选D.因为X～N(1，1)，所以μ＝1，σ＝1，μ＋σ＝2，μ－σ＝0，因为P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，所以P(0<X≤2)≈0.682 7，则P(1<X≤2)≈0.341 35，所以阴影部分的面积为1－0.341 35＝0.658 65，所以从正方形ABCD中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是6 587. 16．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是(　　) A．6，2.4 B．2，2.4 C．2，5.6 D．6，5.6 解析：选B.由已知随机变量X＋η＝8，所以η＝8－X. 因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2， D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. 17．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________． 解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布， 则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. 答案： 18. (一题多解)如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝________． 解析：方法一：由已知得ξ的取值为7，8，9，10， 因为P(ξ＝7)＝＝， P(ξ＝8)＝＝， P(ξ＝9)＝＝， P(ξ＝10)＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 7 8 9 10 P 所以P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝＋＋＝. 方法二：P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－＝1－＝. 答案： 19．随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________． 解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c. 又a＋b＋c＝1，所以b＝， 所以P(|X|＝1)＝a＋c＝. 又a＝－d，c＝＋d， 根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤， 所以－≤d≤. 答案：　[－，] 20．夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为________． 解析：设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，所以P(B|A)＝＝＝. 答案： 21．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________，该选手回答了5个问题结束的概率为________． 解析：依题意，该选手第2个问题回答错误，第3，4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P＝0.8×0.2×0.82＋0.2×0.2×0.82＝1×0.2×0.82＝0.128. 依题意，设答对的事件为A，可分第3个正确与错误两类，若第3个正确则有AAAA或A　AAA两类情况，其概率为0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2＝0.025 6＋0.006 4＝0.032 0.该选手第3个问题的回答是错误的，第1，2两个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以，所求概率为0.032 0＋0.072＝0.104. 答案：0.128　0.104 22．若随机变量ξ的分布列如下表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝________． ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 解析：易知a，b∈[0，1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2. 答案：－0.2 23．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 投资成功 投资失败 192例 8例 则估计该公司一年后可获收益的均值是________元． 解析：由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利－25 000元的概率为0.04，故一年后收益的均值是6 000×0.96＋(－25 000)×0.04＝4 760(元)． 答案：4 760 24．现有A，B，C三个项目，已知某投资公司投资A项目的概率为，投资B，C项目的概率均为p，且投资这3个项目是相互独立的，记X是该投资公司投资项目的个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________． 解析：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，由于P(X＝0)＝，故(1－p)2＝，所以p＝.P(X＝1)＝××＋××＋××＝＝，P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝1－－－＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 答案： 25．某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2022年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动．为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用．方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体．经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η. (1)求P(ξ＝3)； (2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖．记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖．求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望． 解：(1)64个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色， 所以P(ξ＝3)＝＝＝. (2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，η的取值为50，30，10，0， P(η＝50)＝P(ξ＝6)＝＝＝， P(η＝30)＝P(ξ＝5)＝＝＝， P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝＝＝， P(η＝0)＝1－－－＝. 所以η的分布列如下： η 50 30 10 0 P 所以E(η)＝50×＋30×＋10×＋0×＝. 26．为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，某地要求这种产品在进入市场前必须进行两轮苛刻的核辐射检测，只有两轮检测都合格才能上市销售，否则不能销售．已知该产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，每轮检测结果只有“合格”“不合格”两种，且两轮检测是否合格相互之间没有影响． (1)求该产品不能上市销售的概率； (2)如果这种产品可以上市销售，则每件产品可获利50元；如果这种产品不能上市销售，则每件产品亏损80元(即获利为－80元)．现有这种产品4件，记这4件产品获利的金额为X元，求X的分布列． 解：(1)记“该产品不能上市销售”为事件A， 则P(A)＝1－＝， 所以该产品不能上市销售的概率为. (2)由已知可知X的取值为－320，－190，－60，70，200. P(X＝－320)＝C＝， P(X＝－190)＝C＝， P(X＝－60)＝C＝＝， P(X＝70)＝C＝， P(X＝200)＝C＝. 所以X的分布列为 X －320 －190 －60 70 200 P 27．已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分二个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立．假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的． (1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率； (2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列． 解：(1)该小组恰有两次失败的概率 P＝C＝＝. (2)由题意可知X的取值可能为0，2，4， 则P(X＝0)＝C＝＝， P(X＝2)＝C＋C＝＝， P(X＝4)＝C＋C＝＝. 故X的分布列为 X 0 2 4 P 28.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时． (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列． 解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元， 两人都付0元的概率为P1＝×＝， 两人都付40元的概率为P2＝×＝， 两人都付80元的概率为 P3＝×＝×＝， 则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝. (2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则： P(ξ＝0)＝×＝； P(ξ＝40)＝×＋×＝； P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝； P(ξ＝120)＝×＋×＝； P(ξ＝160)＝×＝. ξ的分布列为 ξ 0 40 80 120 160 P 29． “公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？…… 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)招录300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2 000，考试满分为400分(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布)．考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生有30人． (1)最低录取分数是多少？(结果保留整数) (2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料： (1)当X～N(μ，σ2)时，令Y＝，则Y～N(0，1)． (2)当Y～N(0，1)时，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.85. 解：(1)设考生成绩为X，依题意X应服从正态分布，即X～N(180，σ2)． 令Y＝，则Y～N(0，1)． 由360分及其以上的高分考生有30人，可得P(X≥360)＝，即P(X<360)＝1－＝0.985，亦即P(Y<)＝0.985， 则＝2.17，解得σ≈83，所以X～N(180，832)． 设最低录取分数线为x0，则P(X≥x0)＝P(Y≥)＝， P(Y<)＝1－＝0.85，所以＝1.04， 所以x0＝266.32. 即最低录取分数线为266分或267分． (2)考生甲的成绩286>267，所以能被录取． P(X<286)＝P(Y<)≈P(Y<1.28)≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的1－0.90＝0.10.因为2 000×0.1＝200，所以考生甲大约排在第200名，排在第275名之前，所以他能获得高薪职位． 30．某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作厨余垃圾处理． (1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：个，n∈N)的函数解析式； (2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位：个)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以这100天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率． ①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，X表示日利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差； ②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由． 解：(1)y＝ (2)①由题意可得，X的所有可能取值为720，840，960，对应的概率分别为0.1，0.2，0.7， 所以X的分布列为 X 720 840 960 P 0.1 0.2 0.7 E(X)＝720×0.1＋840×0.2＋960×0.7＝912(元)； D(X)＝(720－912)2×0.1＋(840－912)2×0.2＋(960－912)2×0.7＝6 336. ②当加工17个这种蛋糕时，Y表示日利润(单位：元)，则Y的分布列为 Y 660 780 900 1 020 P 0.1 0.2 0.16 0.54 则E(Y)＝660×0.1＋780×0.2＋900×0.16＋1 020×0.54＝916.8(元)， 916．8>912. 从数学期望来看，一天加工17个这种蛋糕的日利润高于一天加工16个这种蛋糕的日利润，所以应加工17个． 32 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $