概率（专项训练）数学湘教版选择性必修第二册

专题 概率 目录 A题型建模・专项突破 题型一、条件概率的计算 题型二、全概率公式的应用 题型三、随机变量的分布列 题型四、二项分布与超几何分布 题型五、随机变量的期望、方差 题型六、正态分布的实际应用 B综合攻坚・能力跃升 题型一、条件概率的计算 【例1】2025年3月14日是星期五.学校数学组于3月10日至3月14日举办为期5天的“数学节”活动，其中有一项抽奖活动.在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”，分别对应得分：.学生从中有放回地任取一个球，记下得分.设事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由古典概率模型求得，再由条件概率即可取得结果. 【详解】由已知得，故. 故选：B. 【变式1-1】（多选题）对于随机事件，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件概率的计算公式，以及概率的加法公式，可得答案. 【详解】由，解得，故A正确； 由，则，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 【变式1-2】袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球. (1)求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率. (2)求第二次才取到红球的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用条件概率的定义并结合古典概型即可得到答案； （2）利用条件概率公式即可. 【详解】（1）若第一次取出红球，此时袋中有3个红球，5个白球， 则第二次取出红球的概率为. （2）用表示第次取到红球， 则第二次才取到红球的概率为 【变式1-3】设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】因为，，则， 又，即， 所以，故B错误； ，，∴， ∴，故A错误； ，，∴，故C正确. 因为， ，∴，∴， ∴，故D错误. 故选：C. 题型二、全概率公式的应用 【例2】某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. 求智能客服的回答被采纳的概率； 【答案】； 【分析】根据给定条件，利用全概率公式求解. 【详解】设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. 【变式2-1】2024年新高考Ⅰ卷数学卷面分值进行了调整，其中第9题到第11题为多项选择题，每题分值为6分，若正确选项有2个，选对2个得6分，选对1个得3分，有选错的或不选择得0分；若正确选项有3个，选对3个得6分，选对2个得4分，选对1个得2分，有选错的或不选择得0分．已知甲、乙两位同学各自独立作答第11题，设第11题正确答案是2个选项的概率为． 已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，求他既选出正确选项也选出错误选项的概率； 【答案】 【分析】先设事件为“该题的正确答案是2个选项”，为“甲同学既选出正确选项也选出错误选项”，再求，，再利用全概率公式计算即可； 【详解】设事件为“该题的正确答案是2个选项”，则为“该题的正确答案是3个选项”， 即，． 设事件为“甲同学既选出正确选项也选出错误选项”， 则，， 所以， 则他既选出正确选项也选出错误选项的概率为. 【变式2-2】若，，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】由即可求解 【详解】因为， 所以. 故选：B 【变式2-3】已知某高校开展一项课外研学活动，参与活动并提交研学论文可以获得学分，且该高校对论文的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知包括小明与小刚在内共名同学均参加了3次研学活动，且每次研学活动结束后，这名同学排队依次提交研学论文，则（   ） A．若小明第一次评定为不合格，则小明最终获得0.4学分的概率为 B．若小刚第一次评定为合格，则小刚第三次评定为合格的概率为 C．若在某一次研学活动中，小明和小刚既不是最先也不是最后提交研学论文，则有种提交顺序 D．若在某一次研学活动中，小明和小刚提交研学论文的顺序不相邻，则有种提交顺序 【答案】ABD 【知识点】不相邻排列问题、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】根据独立事件乘法公式计算判断A，应用全概率公式结合对立事件概率计算判断B，应用乘法原理结合组合公式计算判断C，先求所有排序情况减去小明和小刚相邻时的排法判断D. 【详解】对于A，若小明第一次评定为不合格，则小明获得0.4学分的概率为，故A正确； 对于B，设事件“第i次评定为合格”， 由全概率公式可得小刚第三次合格的概率为，故B正确； 对于C，先排小明，有种方式，再排小刚，有种方式，最后排其余所有人，有种方式， 则一共有种方式，故C错误； 对于D，无限制时，排序方式有种方式， 小明和小刚相邻时，将小明和小刚视为一组，有2种方式，与其余人排序，有种方式， 所以一共有种方式，故D正确． 故选：ABD． 题型三、随机变量的分布列 【例3】甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，输的一方在下一局当裁判．已知各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第一局丙当裁判． (1)若比赛进行三局，求第三局甲不当裁判的概率； (2)若有人获胜两局，则比赛结束，用表示比赛结束时比赛的局数，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， 【分析】（1）若比赛进行三局，第三局甲不当裁判，则第二局甲赢，第一局甲也赢，或者第一局甲输，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）若比赛进行三局，第三局甲不当裁判，则第二局甲赢，第一局甲也赢， 或者第一局甲输，则甲第三局必定参加比赛，故所求概率为. （2）由题意可知，的可能取值有、、， 若，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以，， 若，则第二、三局均为丙赢，所以，， 若，则前三局没有人累计胜两局，必须进行第四局，第四局后无论胜负都有人累计获胜两局， 所以，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 【变式3-1】化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有4种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为． (1)求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率； (2)若有4位消费者均抽中三等奖，记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为，求随机变量的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题知甲、乙2位消费者的选择情况共有（种），其中2人最终选择的奖品不一样的情况有（种），进而根据古典概型与独立事件的概率乘法公式求解即可； （2）依次求得离散型随机变量的分布列取值对应的概率，进而求出随机变量的分布列. 【详解】（1）设事件为“甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样”， 由三等奖有4种奖品供选择，故甲、乙2位消费者的选择情况共有（种），其中2人最终选择的奖品不一样的情况有（种）， 因为每位消费者抽中三等奖的概率均为， 所以，． （2）由题，的所有可能取值为0，1，2，3， 由题知，4个人挑选了4种奖品，共有种情况， 表示4个人挑选了4种奖品，所以； 表示4个人挑选了3种奖品，故有2个人选中同一种奖品， 所以； 当表示4个人挑选了2种奖品，从4种奖品中选2种奖品的方法有（种）， 对于被选中的2种奖品，4个人不同的选择方法有（种）， 所以有2种奖品被选中的方法有（种）， 所以，； 当表示4个人挑选了同一种奖品， 所以． 所以的分布列为 0 1 2 3 【变式6-2】高考结束后，甲、乙两同学决定各购置一部手机，经了解，目前市场上销售的主流国产手机有：华为、小米、、等；甲从华为、、中挑选，乙从，中挑选，甲、乙二人选择各类型手机的概率如下表： 华为 甲 乙 0 若甲、乙都选的概率为. (1)求，的值； (2)求甲、乙选择不同手机的概率； (3)某手机市场举办购买手机进行打折活动，活动标准如下表： 手机 华为 补贴金额（百元部） 3 5 4 记甲、乙两人购手机所获得的补贴和为元，求的分布列. 【答案】(1)，； (2)； (3) 700 800 900 1000 【分析】（1）由题意可知，进而求出的值，再根据求出的值即可； （2）利用独立事件的概率乘法公式求解； （3）根据题意，的可能取值为700，800，900，1000，利用独立事件的概率乘法公式求出对应的概率，再得到的分布列即可． 【详解】（1）由题表中数据及题意，得，所以， 又因为，所以； （2）设甲、乙选择不同手机为事件，则； （3）根据题意，的可能取值为700，800，900，1000， 则，，，， 所以的分布列为： 700 800 900 1000 【变式3-3】为服务北京城市副中心三大文化建筑（北京艺术中心，北京城市图书馆和北京大运河博物馆）游客差异化出行需求，北京市交通委于2024年开通三大文化建筑周边自动驾驶微公交接驳服务．无人驾驶微公交每辆车满载可乘坐9名乘客，为预测未来某站点在客流量高峰期乘车人数的规律，收集了以往某个客流量高峰期连续20辆微公交的乘车人数数据．如下： 车次序号 乘车人数 1-10号 8 9 9 9 8 9 9 9 9 7 11-20号 9 9 8 9 9 9 9 9 7 8 用频率估计概率． (1)试估计该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率； (2)假设微公交乘车人数相互独立，记X为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析，答案见解析 【分析】（1）结合数据，20辆微公交的乘车人数为9辆的共有14辆，利用古典概型公式求出概率； （2）结合数据，求出的可能取值，求出概率，列出分布列. 【详解】（1）根据数据可得，20辆微公交的乘车人数为9辆的共有14辆， 所以该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率． （2）根据数据，20辆微公交的乘车人数为7人的共有2辆，8人的共有4辆，9人的共有14辆， 所有乘车人数为7人的概率为，乘车人数为8人的概率为，乘车人数为9人的概率为. 的所有可能取值为：14，15，16，17，18 ，， ，， ． 的分布列如下： 14 15 16 17 18 题型四、二项分布与超几何分布 【例4】在平面直角坐标系中，坐标原点处有一个质点，每次向右或者向上移动一个单位，向上移动的概率为，向右移动的概率为次移动后质点的坐标为. (1)求质点移动到点处的概率； (2)5次移动后质点的横坐标为，求的期望； (3)求质点在经过20次移动以后，最有可能的位置坐标. 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】二项分布的均值、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案. （2）根据二项分布的知识求得的期望 （3）根据独立重复试验概率计算公式列不等式，由此求得最有可能的位置坐标. 【详解】（1） （2）依题意可知，所以. （3）设质点在经过次移动以后，最有可能的位置坐标为， 则， 即， 解得， 故所求位置坐标为或. 【变式4-1】某校心理活动中心计划在周四和周五两天各举行一次活动，分别由张老师和王老师两人负责活动通知．已知该中心共有n位学生成员，每次活动均需该中心的k位学生成员参加．假设张老师和王老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该中心k位学生成员，且所发信息都能收到． (1)当，时，求该中心学生成员小明同学收到张老师或王老师两人所发活动通知信息的概率； (2)记至少收到一个活动通知信息的学生成员人数为X 设，，求随机变量X的分布列和数学期望； 【答案】(1) (2)分布列见解析，； 【分析】（1）先设出“小明收到张老师所发活动通知信息”事件和“小明收到王老师所发活动通知信息”事件，再根据独立事件性质，计算概率即可； （2）先得到X的可能取值为2，3，4，再根据组合公式计算对应概率，最后运用期望公式计算即可； 【详解】（1）设事件A：“小明收到张老师所发活动通知信息”，事件B：“小明收到王老师所发活动通知信息”， 由题意A和B是相互独立的事件，则与相互独立， 而  所以， 因此，小明同学收到张老师或王老师两人所发活动通知信息的概率为． （2）X的可能取值为2，3，4， ，，， 所以X的分布列为： X 2 3 4 P 数学期望． 【变式4-2】襄阳市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答.甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答.已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为.乙组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲小组答对题数的分布列； (2)若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请从答对题数的均值和方差角度，分析说明选择哪个小组更好？ 【答案】(1)答案见解析； (2)甲，答案见解析. 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、二项分布的均值、二项分布的方差、方差的实际应用 【分析】（1）由题意，判断甲答对题数的可能值，并求出对应值的概率，即可得分布列. （2）由（1）所得分布列求出甲小组的期望和方差，由题设乙答对题数，利用二项分布的期望、方差公式求期望和方差，比较它们的大小关系，即可确定选择哪个小组. 【详解】（1）设甲答对题数为，可能取值为1，2，3， 则，，， ∴甲答对题数的分布列为： 1 2 3 （2）由（1）得：，. 设乙答对题数为，则随机变量，故，， ∵，， ∴甲与乙的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，故选择学生甲. 【变式4-3】节日在即，某店家为此购入一批袋装糖果（每袋），现从中随机抽取100袋，将它们进行分级，统计结果如下： 等级 一等品 二等品 三等品 袋数 40 40 20 (1)若将频率视为概率，从这100袋糖果中有放回地随机抽取4袋，求恰好有2袋是三等品的概率； (2)用样本估计总体，该店家制定了两种销售方案： 方案一：将糖果混合后不分类售出，售价为20元； 方案二：按品级出售，售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 售价（元） 24 22 17 为追求更高利润，该店家应采用哪种方案？ (3)用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，再从抽取的10袋糖果中随机抽取3袋，记抽到一等品的袋数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)方案二 (3)分布列见解析，数学期望为 【知识点】独立事件的乘法公式、均值的实际应用、超几何分布的分布列、求超几何分布的概率 【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解， （2）求解方案二中糖果的售价为，即可比较求解， （3）由抽样比求解个数，即可利用超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望. 【详解】（1）设事件“从这100袋糖果中随机抽取1个，抽到三等品”，则．   现有放回地随机抽取4个，设抽到三等品的袋数为，则， 所以恰好有2袋是三等品的概率 （2）设方案二中糖果的售价为，则 （元），     因为，从追求更高利润考虑，该店家应采用方案二． （3）用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，则其中一等品有4袋，非一等品有6袋． 依题意，X服从超几何分布，其可能的取值为0，1，2，3． ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． 题型五、随机变量的期望、方差 【例5】某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛活动，规则如下：①单选题答对得20分，答错得0分；②多选题答对得30分，选对但不全得10分，有错选得0分；③每名竞赛参与者答题3道．学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先回答一道多选题，再回答单选题．现已知某学生单选题答对的概率为0.8；多选题全对的概率为0.4，选对但不全的概率为0.3． (1)若该学生选择方案一，求该学生得分X的分布列及数学期望； (2)如何选择方案，能使得该学生的得分更高？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)选择方案一，能使得该生的得分更高 【知识点】均值的实际应用、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据题意，得到随机变量的取值可能是0，20，40，60，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （2）选择方案二，记得分为变量，可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，求得，结合，即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意知，随机变量的取值可能是0，20，40，60， 可得， ， ， ， 则变量的分布列如下表所示： 0 20 40 60 0.008 0.096 0.384 0.512 所以期望为． （2）解：若该学生选择方案二，记得分为变量，则的取值可能为， 可得，， ， ， ， ， ， 则变量的分布列为： 0 10 20 30 40 50 70 0.012 0.012 0.096 0.112 0.192 0.32 0.256 所以期望为 ． 结合（1）知， 所以选择方案一，能使得该生的得分更高． 【变式5-1】某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为，方差为. 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差. 【详解】（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. （2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 【变式5-2】2024年新高考Ⅰ卷数学卷面分值进行了调整，其中第9题到第11题为多项选择题，每题分值为6分，若正确选项有2个，选对2个得6分，选对1个得3分，有选错的或不选择得0分；若正确选项有3个，选对3个得6分，选对2个得4分，选对1个得2分，有选错的或不选择得0分．已知甲、乙两位同学各自独立作答第11题，设第11题正确答案是2个选项的概率为． (1)已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，求他既选出正确选项也选出错误选项的概率； (2)若乙同学在作答第11题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．求乙在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望． 【答案】(1) (2)乙同学选择双选AC时得分期望最大，最大值为分． 【分析】（1）先设事件为“该题的正确答案是2个选项”，为“甲同学既选出正确选项也选出错误选项”，再求，，再利用全概率公式计算即可； （2）先计算正确答案是两选项、三选项的概率，再分类讨论乙同学做出的决策：单选，双选，三选，分别求其期望值. 【详解】（1）设事件为“该题的正确答案是2个选项”，则为“该题的正确答案是3个选项”， 即，． 设事件为“甲同学既选出正确选项也选出错误选项”， 则，， 所以， 则他既选出正确选项也选出错误选项的概率为. （2）由题知选项B，D不能同时选，则乙同学可以选择单选、双选、三选， 正确答案是两选项的可能情况为AB，AD，BC，AC，CD，每种情况出现的概率均为； 正确答案是三选项的可能情况为ABC，ACD，每种情况出现的概率为． 若乙同学做出的决策是： ①单选，则（分）， （分）； ②双选，则（分）， （分）； ③三选，则（分）． 经比较，乙同学选择双选AC时得分期望最大，最大值为分． 【变式5-3】某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由（）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为（）件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 【答案】(1)答案见解析，2， (2)（i）；（ii）答案见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，即为； （ii）分第原系统中至少有4个元件正常工作；原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作；原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，求得，通过作差判断即可. 【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为，，，， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， . （2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. （ii）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以， 则， 所以当时，， 即增加2个元件设备正常工作的概率变大， 当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率没有变大， 又因为，所以当时，增加2个元件后利润提高；当时，增加2个元件后利润没有提高. 题型六、正态分布的实际应用 【例6】某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似的服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差. （i）利用该正态分布，求； （ii）假设某企业从该汽车公司购买了辆该款新能源汽车，记表示这辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求； 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加，可得出的值； （2）（i）由题意可得出，，则，可得出，即可得解； （ii）分析可知，，利用二项分布的期望公式可求得的值. 【详解】（1）由频率分布直方图可得. （2）（i）由题意可得，，则， 所以，； （ii）由题意可知，，故. 【变式6-1】（多选）在实际生产中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则，若在外，可以认为生产线是不正常的，已知.某生产线上生产的零件长度服从正态分布（单位：厘米），则（    ） A． B． C．若抽检的10个样本的长度均在内，可以认为生产线正常 D．若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修 【答案】BCD 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】由题意可得，根据正态分布的特征逐一判断即可. 【详解】解：由题意可得， 对于A，因为正态分布求得是随机变量在某一区域内的概率（在某一处的概率约为0）， 所以接近于0，或或，故A错误； 对于B，因为服从正态分布，所以关于对称， 所以，故B正确； 对于C，因为，即零件长度在内的是正常的，否则就为不是正常零件，所以C正确； 对于D，由C的分析，可知，所以需要对生产线进行检修，所以D正确. 故选：BCD. 【变式6-2】已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． (1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； (2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 【答案】(1)分布列见解析，期望值为； (2) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、标准正态分布的应用、指定区间的概率 【分析】（1）首先求得乘客体重大于的概率为，再利用二项分布可求得概率得分布列和期望值； （2）根据可得保证该轮渡不超载的概率不低于等价于，解不等式可得. 【详解】（1）由乘客的体重（单位：）服从正态分布可得， 则可得， 即任意一名乘客体重大于的概率为， 则的所有可能取值为， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 期望值为 （2）设为第位乘客的体重，则，其中， 所以， 由可得， 即，可得，即，. 所以保证该轮渡不超载的概率不低于，最多可运载64名乘客. 【变式6-3】为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)51 (2)136家 (3)98家 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、服从二项分布的随机变量概率最大问题、3δ原则、正态分布的实际应用 【分析】（1）利用平均数的定义求解； （2）由（1）知化工企业的得分情况，，再利用正态分布曲线的对称性求解； （3）由（2）可知得分不低于19分的企业数，再利用二项分布的概率公式求解． 【详解】（1）该市被调查的化工企业的污染情况得分的平均值为． （2）由（1）知化工企业的得分情况．因为， 所以 ． 可得所求企业大约有家． （3）由（2）得， 所以每家企业得分不低于19分的概率为0.9772， 则得分不低于19分的企业数． 其中恰有家企业得分不低于19分的概率为， 令，， 可得，解得， 故在走访的100家化工企业中，分数不低于19分的企业有98家时概率最大． 1．(多选题)已知A，B是两个随机事件，0<P(A)<1，下列命题正确的是(　　) A．若A，B相互独立，P(B|A)＝P(B) B．若事件A⊆B，则P(B|A)＝1 C．若A，B是对立事件，则P(B|A)＝1 D．若A，B是互斥事件，则P(B|A)＝0 ABD　解析：对于A，随机事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，P(B|A)＝＝P(B)，A正确；对于B，事件A⊆B，P(AB)＝P(A)，P(B|A)＝＝1，B正确；对于C，因A，B是对立事件，则P(AB)＝0，P(B|A)＝＝0，C不正确；对于D，因A，B是互斥事件，则P(AB)＝0，P(B|A)＝＝0，D正确．故选ABD． 2．已知，分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列说法正确的是(　　) A．P(B|A)＋P(|A)＝P(A) B．若P(A)＋P(B)＝1，则 A，B对立 C．若A，B独立，则P(A|B)＝P(A) D．若A，B互斥，则P(A|B)＋ P(B|A)＝1 C　解析：对A，P(B|A)＋P(|A)＝＝＝1，故A错误；对B，若A，B对立，则P(A)＋P(B)＝1，反之不成立，故B错误；对C，根据独立事件定义，故C正确；对D，若A，B互斥，则P(A|B)＋ P(B|A)＝0，故D错误．故选C． 3．已知离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，且P(X≥1)＝，P(X＝3)＝，若X的数学期望E(X)＝，则D(4X－3)＝(　　) A．19 B．16 C． D． A　解析：由题知P(X＝0)＝，设P(X＝1)＝a，则P(X＝2)＝－a，因此E(X)＝0×＋1×a＋2×＋3×＝，解得a＝，因此离散型随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 则D(X)＝×2＋×2＋×2＋×2＝，因此D(4X－3)＝16D(X)＝19.故选A． 4．(多选题)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,5)，a∈R，E(ξ)，D(ξ)分别为随机变量ξ的数学期望与方差，则下列结论正确的是(　　) A．P(0<ξ<3.5)＝ B．E(3ξ＋1)＝7 C．D(ξ)＝2 D．D(3ξ＋1)＝6 ABC　解析：因为随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,5)，a∈R.由分布列的性质可知，P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝5)＝＋＋＝1，解得a＝1，所以P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝，A选项正确；E(ξ)＝1×＋2×＋5×＝2，即有E(3ξ＋1)＝3 E(ξ)＋1＝7，B选项正确；D(ξ)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(5－2)2＝2，C选项正确；D(3ξ＋1)＝9×D(ξ)＝18，D选项不正确．故选ABC． 5．(多选题)已知投资A，B两种项目获得的收益分别为X，Y，分布列如下表，则(　　) X/百万 －1 0 2 P 0.2 m 0.6 Y/百万 0 1 2 P 0.3 0.4 n A．m＋n＝0.5 B．E(2X＋1)＝4 C．投资两种项目的收益期望一样多 D．投资A项目的风险比B项目高 ACD　解析：依题意可得0.2＋m＋0.6＝1，所以m＝0.2,0.3＋0.4＋n＝1，所以n＝0.3，所以m＋n＝0.5，故A正确；所以E(X)＝－1×0.2＋0×0.2＋2×0.6＝1，则E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝3，故B错误；E(Y)＝ 0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，所以E(X)＝E(Y)，故C正确；因为D(X)＝(－1－1)2×0.2＋(0－1)2×0.2＋(2－1)2×0.6＝1.6，D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，即D(X)>D(Y)，所以投资A项目的风险比B项目高，故D正确．故选ACD． 6．甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定五局三胜制(无平局)，已知甲每局获胜的概率都为，且前两局以2∶0领先，则最后甲获胜的概率为(　　) A． B． C． D． D　解：根据题意，甲获胜包括三种情况： ①第三局甲胜利，其概率p1＝； ②第三局乙胜利，第四局甲胜利，其概率p2＝×＝； ③第三、四局乙胜利，第五局甲胜利，其概率p3＝2×＝， 则甲获胜的概率p＝p1＋p2＋p3＝. 7．(多选题)下列结论正确的是(　　) A．若随机变量X服从两点分布，P(X＝1)＝，则D(X)＝ B．若随机变量Y的方差D(Y)＝2，则D(3Y＋2)＝8 C．若随机变量ξ服从二项分布B，则P(ξ＝3)＝ D．若随机变量η服从正态分布N(5，σ2)，P(η<2)＝0.1，则P(2≤η≤8)＝0.8 CD　解析：对A，若随机变量X服从两点分布，P(X＝1)＝，则D(X)＝×＝，故A错误；对B，若随机变量Y的方差D(Y)＝2，则D(3Y＋2)＝9D(Y)＝18，故错误；对C，若随机变量ξ服从二项分布B，则P(ξ＝3)＝C3·1＝，故正确；对D，若随机变量η服从正态分布N(5，σ2)，P(η<2)＝0.1，则P(η>8)＝0.1，故P(2≤η≤8)＝1－ P(η<2)－P(η>8)＝0.8，故正确．故选CD． 8．(多选题)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5 (例如10100)，其中ak (k＝2，3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时(　　) A．X服从二项分布 B．P(X＝1)＝ C．X的均值E(X)＝ D．X的方差D(X)＝ ABC　解析：由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能填0,1且每个数位上的数字互不影响，故X的可能取值有0,1,2,3,4，且X的取值表示1出现的次数，由二项分布的定义可得X～B，故A正确．故P(X＝1)＝C13＝，故B正确；因为X～B，所以E(X)＝4×＝，D(X)＝4××＝，故C正确，D错误．故选ABC． 9．某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.3.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，那么一个被保险人在一年内出事故的概率为________． 0．175　解析：设事件B1表示“谨慎的”被保险人，B2表示“一般的”被保险人，B3表示“冒失的”被保险人，则B1，B2，B3构成了Ω的一个划分，设事件A表示被保险人在一年内出事故，则由全概率公式得P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.05×0.2＋0.15×0.5＋0.3×0.3＝0.175. 10．夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击．回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为________． 　解析：设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可得P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，所以P(B|A)＝＝＝. 11．某商场举行抽奖活动，只要顾客一次性购物满180元就有一次抽奖机会．抽奖方法如下：一个抽奖箱中装有6个形状、大小完全相同的小球(4个红球和2个黄球)．顾客从中随机抽取2个，若2个都是黄球则奖励10元；若只有1个黄球则奖励3元，其余情况都无奖励．则每次抽奖所得奖励的数学期望是________元． 　解析：设一次抽奖所得奖励是X元，随机变量X的可能取值为0,3,10， 则P(X＝0)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝10)＝＝， 所以E(X)＝0×＋3×＋10×＝. 12．在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数，其中恰有1个偶数的概率是________(用数字作答)，记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2)，则E(2ξ＋1)＝________. 　　解析：(1)记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则P(A)＝＝. (2)随机变量ξ的取值为0,1,2， ξ＝2的情况：123、234、345、456、567、678、789，共7种可能， ξ＝1的情况：12(4～9)，89(1～6)，有6×2＝12(种)； 23(5～9)，34(1,6～9)，…，78(1～5)，有5×6＝30(种)； 总共42种， ξ＝0的情况：C－7－42＝35(种)， 故P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 所以ξ的数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 所以E(2ξ＋1)＝2×＋1＝. 13．有9粒种子分种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子的发芽概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，需要补种的坑数为2的概率等于________． 　解析：由题意，单个坑需要补种的概率p＝0.53＝. 用ξ表示需要补种的坑数，则ξ～B，所以需要补种的坑数为2的概率P(ξ＝2)＝C×2×＝. 14．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已深入人心，这将推动新能源汽车产业的发展．某市购置新能源汽车的车主中女性车主所占的比例为，现从该市购置新能源汽车的车主中随机选取5人，则女性车主恰有2人的概率是________． 　解析：女性车主所占的比例为，现从该市购置新能源汽车的车主中随机选取5人， 则女性车主恰有2人的概率是C·2·3＝. 14．某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动． (1)求男生甲被选中的概率； (2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 解：(1)从6名成员中挑选2名成员，共有15种情况，记“男生甲被选中”为事件A，事件A所包含的样本点数为5个，故P(A)＝. (2)记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则P(AB)＝，由(1)知P(A)＝，故P(B|A)＝＝. (3)记“挑选的两人为一男一女”为事件C，则P(C)＝，“女生乙被选中”为事件B，P(BC)＝，故P(B|C)＝＝. 15．在A，B，C三个地区发生了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率． 解：记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区，记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区， 则Ω＝E∪F∪G，且E，F，G彼此互斥． 由题意可得P(E)＝＝0.25，P(F)＝＝0.35，P(G)＝＝0.4. P(D|E)＝0.06，P(D|F)＝0.05，P(D|G)＝0.04. (1)由全概率公式可得P(D)＝P(E)·P(D|E)＋P(F)·P(D|F)＋P(G)·P(D|G)＝0.25×0.06＋0.35×0.05＋0.4×0.04＝0.048 5. (2)由条件概率公式可得P(E|D)＝＝＝＝. 16．甲、乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. (1)求n的值； (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个球的标号是1，求另一个球标号也是1的概率； (3)从两个袋子中各取一个小球，用ξ表示这两个小球的标号之和，求ξ的分布列和E(ξ)． 解：(1)＝＝，解得n＝2或n＝－(舍去)． (2)记“一个标号是1”为事件A，“另一个标号也是1”为事件B， 所以P(B|A)＝＝＝. (3)ξ＝0,1,2,3,4， P(ξ＝0)＝×＝， P(ξ＝1)＝×＋×＝， P(ξ＝2)＝×＋×＋×＝， P(ξ＝3)＝×＋×＝， P(ξ＝4)＝×＝， 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.4. 17．在“低碳生活知识竞赛”第一环节测试中，依次回答A，B，C三道题，且A，B，C三道题的分值分别为30分、20分、20分．竞赛规定：选手累计得分不低于40分即通过测试，并立即停止答题．已知甲选手回答A，B，C三道题正确的概率分别为0.1，0.5，0.5，乙选手回答A，B，C三道题正确的概率分别为0.2,0.4,0.4，且回答各题时相互之间没有影响． (1)求甲通过测试的概率； (2)设Y为本次测试中乙的得分，求Y的分布列以及期望； (3)请根据测试结果来分析，甲、乙两人谁通过测试的概率更大？ 解：(1)若甲通过测试，则甲的得分X为40或50， P(X＝40)＝0.9×0.5×0.5＝0.225，P(X＝50)＝0.1×0.5＋0.1×0.5×0.5＝0.075， 所以甲通过测试的概率P＝P(X＝40)＋P(X＝50)＝0.225＋0.075＝0.3. (2)Y的可能取值为0,20,30,40,50. P(Y＝0)＝0.8×0.6×0.6＝0.288，P(Y＝20)＝0.8×0.4×0.6＋0.8×0.6×0.4＝0.384，P(Y＝30)＝0.2×0.6×0.6＝0.072， P(Y＝40)＝0.8×0.4×0.4＝0.128，P(Y＝50)＝0.2×0.6×0.4＋0.2×0.4＝0.128. Y的分布列为 Y 0 20 30 40 50 P 0.288 0.384 0.072 0.128 0.128 则E(Y)＝0×0.288＋20×0.384＋30×0.072＋40×0.128＋50×0.128＝21.36. (3)甲通过测试的概率更大．理由如下： 乙通过测试的概率为P＝P(Y＝40)＋P(Y＝50)＝0.128＋0.128＝0.256， 甲通过测试的概率为0.3，大于乙通过测试的概率． 18．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求： (1)取出的3个球中红球的个数X的分布列； (2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率． 解：(1)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3， 且X服从参数为N＝10，M＝3，n＝3的超几何分布， 因此P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)， 所以P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件A1，“恰好取出2个红球”为事件A2，“恰好取出3个红球”为事件A3，由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1＋A2＋A3， 而P(A1)＝＝， P(A2)＝P(X＝2)＝， P(A3)＝P(X＝3)＝， 所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为 P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝. 即取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为. 4 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 概率 目录 A题型建模・专项突破 题型一、条件概率的计算 题型二、全概率公式的应用 题型三、随机变量的分布列 题型四、二项分布与超几何分布 题型五、随机变量的期望、方差 题型六、正态分布的实际应用 B综合攻坚・能力跃升 题型一、条件概率的计算 【例1】2025年3月14日是星期五.学校数学组于3月10日至3月14日举办为期5天的“数学节”活动，其中有一项抽奖活动.在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”，分别对应得分：.学生从中有放回地任取一个球，记下得分.设事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选题）对于随机事件，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球. (1)求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率. (2)求第二次才取到红球的概率. 【变式1-3】设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 题型二、全概率公式的应用 【例2】某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. 求智能客服的回答被采纳的概率； 【变式2-1】2024年新高考Ⅰ卷数学卷面分值进行了调整，其中第9题到第11题为多项选择题，每题分值为6分，若正确选项有2个，选对2个得6分，选对1个得3分，有选错的或不选择得0分；若正确选项有3个，选对3个得6分，选对2个得4分，选对1个得2分，有选错的或不选择得0分．已知甲、乙两位同学各自独立作答第11题，设第11题正确答案是2个选项的概率为． 已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，求他既选出正确选项也选出错误选项的概率； 【变式2-2】若，，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【变式2-3】已知某高校开展一项课外研学活动，参与活动并提交研学论文可以获得学分，且该高校对论文的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知包括小明与小刚在内共名同学均参加了3次研学活动，且每次研学活动结束后，这名同学排队依次提交研学论文，则（   ） A．若小明第一次评定为不合格，则小明最终获得0.4学分的概率为 B．若小刚第一次评定为合格，则小刚第三次评定为合格的概率为 C．若在某一次研学活动中，小明和小刚既不是最先也不是最后提交研学论文，则有种提交顺序 D．若在某一次研学活动中，小明和小刚提交研学论文的顺序不相邻，则有种提交顺序 题型三、随机变量的分布列 【例3】甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，输的一方在下一局当裁判．已知各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第一局丙当裁判． (1)若比赛进行三局，求第三局甲不当裁判的概率； (2)若有人获胜两局，则比赛结束，用表示比赛结束时比赛的局数，求的分布列． 【变式3-1】化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有4种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为． (1)求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率； (2)若有4位消费者均抽中三等奖，记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为，求随机变量的分布列． 【变式6-2】高考结束后，甲、乙两同学决定各购置一部手机，经了解，目前市场上销售的主流国产手机有：华为、小米、、等；甲从华为、、中挑选，乙从，中挑选，甲、乙二人选择各类型手机的概率如下表： 华为 甲 乙 0 若甲、乙都选的概率为. (1)求，的值； (2)求甲、乙选择不同手机的概率； (3)某手机市场举办购买手机进行打折活动，活动标准如下表： 手机 华为 补贴金额（百元部） 3 5 4 记甲、乙两人购手机所获得的补贴和为元，求的分布列. 【变式3-3】为服务北京城市副中心三大文化建筑（北京艺术中心，北京城市图书馆和北京大运河博物馆）游客差异化出行需求，北京市交通委于2024年开通三大文化建筑周边自动驾驶微公交接驳服务．无人驾驶微公交每辆车满载可乘坐9名乘客，为预测未来某站点在客流量高峰期乘车人数的规律，收集了以往某个客流量高峰期连续20辆微公交的乘车人数数据．如下： 车次序号 乘车人数 1-10号 8 9 9 9 8 9 9 9 9 7 11-20号 9 9 8 9 9 9 9 9 7 8 用频率估计概率． (1)试估计该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率； (2)假设微公交乘车人数相互独立，记X为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，求X的分布列． 题型四、二项分布与超几何分布 【例4】在平面直角坐标系中，坐标原点处有一个质点，每次向右或者向上移动一个单位，向上移动的概率为，向右移动的概率为次移动后质点的坐标为. (1)求质点移动到点处的概率； (2)5次移动后质点的横坐标为，求的期望； (3)求质点在经过20次移动以后，最有可能的位置坐标. 【变式4-1】某校心理活动中心计划在周四和周五两天各举行一次活动，分别由张老师和王老师两人负责活动通知．已知该中心共有n位学生成员，每次活动均需该中心的k位学生成员参加．假设张老师和王老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该中心k位学生成员，且所发信息都能收到． (1)当，时，求该中心学生成员小明同学收到张老师或王老师两人所发活动通知信息的概率； (2)记至少收到一个活动通知信息的学生成员人数为X 设，，求随机变量X的分布列和数学期望； 【变式4-2】襄阳市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答.甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答.已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为.乙组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲小组答对题数的分布列； (2)若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请从答对题数的均值和方差角度，分析说明选择哪个小组更好？ 【变式4-3】节日在即，某店家为此购入一批袋装糖果（每袋），现从中随机抽取100袋，将它们进行分级，统计结果如下： 等级 一等品 二等品 三等品 袋数 40 40 20 (1)若将频率视为概率，从这100袋糖果中有放回地随机抽取4袋，求恰好有2袋是三等品的概率； (2)用样本估计总体，该店家制定了两种销售方案： 方案一：将糖果混合后不分类售出，售价为20元； 方案二：按品级出售，售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 售价（元） 24 22 17 为追求更高利润，该店家应采用哪种方案？ (3)用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，再从抽取的10袋糖果中随机抽取3袋，记抽到一等品的袋数为，求的分布列与数学期望． 题型五、随机变量的期望、方差 【例5】某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛活动，规则如下：①单选题答对得20分，答错得0分；②多选题答对得30分，选对但不全得10分，有错选得0分；③每名竞赛参与者答题3道．学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先回答一道多选题，再回答单选题．现已知某学生单选题答对的概率为0.8；多选题全对的概率为0.4，选对但不全的概率为0.3． (1)若该学生选择方案一，求该学生得分X的分布列及数学期望； (2)如何选择方案，能使得该学生的得分更高？ 【变式5-1】某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【变式5-2】2024年新高考Ⅰ卷数学卷面分值进行了调整，其中第9题到第11题为多项选择题，每题分值为6分，若正确选项有2个，选对2个得6分，选对1个得3分，有选错的或不选择得0分；若正确选项有3个，选对3个得6分，选对2个得4分，选对1个得2分，有选错的或不选择得0分．已知甲、乙两位同学各自独立作答第11题，设第11题正确答案是2个选项的概率为． (1)已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，求他既选出正确选项也选出错误选项的概率； (2)若乙同学在作答第11题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．求乙在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望． 【变式5-3】某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由（）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为（）件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 题型六、正态分布的实际应用 【例6】某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似的服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差. （i）利用该正态分布，求； （ii）假设某企业从该汽车公司购买了辆该款新能源汽车，记表示这辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求； 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【变式6-1】（多选）在实际生产中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则，若在外，可以认为生产线是不正常的，已知.某生产线上生产的零件长度服从正态分布（单位：厘米），则（    ） A． B． C．若抽检的10个样本的长度均在内，可以认为生产线正常 D．若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修 【变式6-2】已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． (1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； (2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 【变式6-3】为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 1．(多选题)已知A，B是两个随机事件，0<P(A)<1，下列命题正确的是(　　) A．若A，B相互独立，P(B|A)＝P(B) B．若事件A⊆B，则P(B|A)＝1 C．若A，B是对立事件，则P(B|A)＝1 D．若A，B是互斥事件，则P(B|A)＝0 2．已知，分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列说法正确的是(　　) A．P(B|A)＋P(|A)＝P(A) B．若P(A)＋P(B)＝1，则 A，B对立 C．若A，B独立，则P(A|B)＝P(A) D．若A，B互斥，则P(A|B)＋ P(B|A)＝1 3．已知离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，且P(X≥1)＝，P(X＝3)＝，若X的数学期望E(X)＝，则D(4X－3)＝(　　) A．19 B．16 C． D． 4．(多选题)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,5)，a∈R，E(ξ)，D(ξ)分别为随机变量ξ的数学期望与方差，则下列结论正确的是(　　) A．P(0<ξ<3.5)＝ B．E(3ξ＋1)＝7 C．D(ξ)＝2 D．D(3ξ＋1)＝6 5．(多选题)已知投资A，B两种项目获得的收益分别为X，Y，分布列如下表，则(　　) X/百万 －1 0 2 P 0.2 m 0.6 Y/百万 0 1 2 P 0.3 0.4 n A．m＋n＝0.5 B．E(2X＋1)＝4 C．投资两种项目的收益期望一样多 D．投资A项目的风险比B项目高 6．甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定五局三胜制(无平局)，已知甲每局获胜的概率都为，且前两局以2∶0领先，则最后甲获胜的概率为(　　) A． B． C． D． 7．(多选题)下列结论正确的是(　　) A．若随机变量X服从两点分布，P(X＝1)＝，则D(X)＝ B．若随机变量Y的方差D(Y)＝2，则D(3Y＋2)＝8 C．若随机变量ξ服从二项分布B，则P(ξ＝3)＝ D．若随机变量η服从正态分布N(5，σ2)，P(η<2)＝0.1，则P(2≤η≤8)＝0.8 8．(多选题)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5 (例如10100)，其中ak (k＝2，3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时(　　) A．X服从二项分布 B．P(X＝1)＝ C．X的均值E(X)＝ D．X的方差D(X)＝ 9．某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.3.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，那么一个被保险人在一年内出事故的概率为________． 10．夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击．回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为________． 11．某商场举行抽奖活动，只要顾客一次性购物满180元就有一次抽奖机会．抽奖方法如下：一个抽奖箱中装有6个形状、大小完全相同的小球(4个红球和2个黄球)．顾客从中随机抽取2个，若2个都是黄球则奖励10元；若只有1个黄球则奖励3元，其余情况都无奖励．则每次抽奖所得奖励的数学期望是________元． 12．在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数，其中恰有1个偶数的概率是________(用数字作答)，记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2)，则E(2ξ＋1)＝________. 13．有9粒种子分种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子的发芽概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，需要补种的坑数为2的概率等于________． 14．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已深入人心，这将推动新能源汽车产业的发展．某市购置新能源汽车的车主中女性车主所占的比例为，现从该市购置新能源汽车的车主中随机选取5人，则女性车主恰有2人的概率是________． 14．某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动． (1)求男生甲被选中的概率； (2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 15．在A，B，C三个地区发生了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率． 16．甲、乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. (1)求n的值； (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个球的标号是1，求另一个球标号也是1的概率； (3)从两个袋子中各取一个小球，用ξ表示这两个小球的标号之和，求ξ的分布列和E(ξ)． 17．在“低碳生活知识竞赛”第一环节测试中，依次回答A，B，C三道题，且A，B，C三道题的分值分别为30分、20分、20分．竞赛规定：选手累计得分不低于40分即通过测试，并立即停止答题．已知甲选手回答A，B，C三道题正确的概率分别为0.1，0.5，0.5，乙选手回答A，B，C三道题正确的概率分别为0.2,0.4,0.4，且回答各题时相互之间没有影响． (1)求甲通过测试的概率； (2)设Y为本次测试中乙的得分，求Y的分布列以及期望； (3)请根据测试结果来分析，甲、乙两人谁通过测试的概率更大？ 18．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求： (1)取出的3个球中红球的个数X的分布列； (2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率． 16 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $