第2章 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第2章　空间向量与立体几何 本章复习提升 易混易错练 　　　　　　　　　　　　　　　　 易错点1　对空间向量的相关概念理解不清 1.如图,已知空间四边形每条边和对角线的长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是(　　) A.2· B.2· C.2· D.2· 2.已知a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则cos<a,b>等于　　　　 .  3.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量　　　　(填“一定”或“不一定”) 共面.  4.若=λ+μ(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系为　　　　　　　　　　　　.  5.已知a=(5,3,1),b=,若a与b的夹角为钝角,求实数t的取值范围. 易错点2　混淆向量夹角与空间角的范围 6.如图,在三棱锥O-ABC中,∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC,BC=OA,则异面直线OB与AC所成的角是(　　) A.30° B.60° C.90° D.120° 7.在三棱锥C-ABD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若n1与n2的夹角为,则平面ABD与平面BCD的夹角为　　　　.  易错点3　不能正确地建立空间直角坐标系解决立体几何问题 8.如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点. (1)求证:BD∥平面 FGH; (2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成角的大小. 思想方法练　　　　　　　　　　　　　　 一、利用方程思想求值 1.如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PC⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2,AD=CD=1,E是PB上一点. (1)求证:平面EAC⊥平面PBC; (2)若E是PB的中点,且二面角P-AC-E的余弦值是,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值. 二、利用函数思想求最值 2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,M,N分别是棱CC1,B1C1,BB1的中点,动点F在线段MN上运动. (1)证明:A1F∥平面D1AE; (2)求直线EF与平面D1AE所成角的正弦值的最大值. 三、利用转化与化归思想解决空间几何问题 3.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥AC,AB⊥AC,AB=AC=2,PA=4,点M是PA的中点,点D是AC的中点,点N在PB上,且PN=2NB. (1)证明:BD∥平面CMN; (2)求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值. 答案与分层梯度式解析 第2章　空间向量与立体几何 本章复习提升 易混易错练 1.B　由题意易得与,与的夹角均为π-=,与的夹角为π,与的夹角为0,故2·=-a2,2·=-a2,2·=-a2,2·=a2,故选B. 易错警示 　　由于向量具有方向,因此其夹角不同于两直线的夹角.如向量和的夹角不是∠BAC,而是π-∠BAC. 2.答案　 解析　∵a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4, ∴向量a,b,c首尾相连组成三角形,记三角形的顶点分别为A,B,C. 令=c,=b,=a,则BC=2,CA=3,AB=4. 由余弦定理得cos∠BCA===-, 易知向量和的夹角是180°-∠BCA, ∴cos<a,b>=. 3.答案　一定 解析　空间向量均是自由向量,若三个向量中的两个向量共线,则这三个向量一定能平移到同一平面内,所以这三个向量一定共面. 4.答案　AB⊂平面CDE或AB∥平面CDE 解析　由=λ+μ(λ,μ∈R)可知,向量与向量,共面,则直线AB可能在平面CDE内,也可能和平面CDE平行. 易错警示 　　由向量共线得到的相关直线的位置关系有平行和重合两种可能;由向量共面得到的线面关系有平行和线在面内两种可能. 5.解析　由题意得a·b<0且a,b不共线, ∴ 解得t<且t≠-. 故实数t的取值范围为∪. 易错警示 　　两向量a,b的夹角为钝角时,a·b<0,但a·b<0时,a,b的夹角为钝角或平角,故在解题时应注意排除a,b的夹角为180°的情况. 6.B　∵OA=OB=OC,BC=OA,∴∠BOC=90°. ∵OA=OC,∠AOC=60°,∴AC=OA. 又∵·=·(-)=·-·=-·=-||2, ∴cos<,>==-,∴<,>=120°,∴异面直线OB与AC所成的角为60°. 易错警示 　　异面直线所成角的取值范围为. 7.答案　 解析　因为平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,且n1,n2的夹角为,所以平面ABD与平面BCD的夹角为. 易错警示 　　本题易混淆平面与平面的夹角和二面角的平面角,平面与平面的夹角的取值范围为,二面角的取值范围为[0,π]. 8.解析　(1)证明:在三棱台DEF-ABC中,由AB=2DE得BC=2EF,因为H为 BC的中点,所以BH=EF,又因为BH∥EF,所以四边形BHFE为平行四边形,所以BE∥HF. 在△ABC中,G为 AC的中点,H为 BC的中点,所以GH∥AB.又因为GH∩HF=H,AB∩BE=B,所以平面 FGH∥平面ABED,因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH. (2)连接DG,易知DF=AC=GC,DF∥GC,所以四边形DGCF 为平行四边形,因此DG∥CF. 又因为CF⊥平面 ABC,所以DG⊥平面 ABC. 在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC=45°,得AB=BC,连接BG,因为G是AC的中点,所以GB⊥GC. 因此GB,GC,GD两两垂直. 以G为坐标原点,BG,GC,GD所在直线分别为x轴、y轴、z轴,1为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系, 设AB=2,则CF=DE=1,BG=CG=, 所以G(0,0,0),B(,0,0),H,F(0,,1),故=,=(0,,1),=(,0,0). 设n=(x,y,z)是平面FGH的法向量, 则 即 取x=1,得y=-1,z=, 所以平面FGH 的一个法向量为n=(1,-1,). 易知=(,0,0)是平面ACFD 的一个法向量, 所以|cos<,n>|===, 所以平面FGH与平面ACFD所成角的大小为60°. 易错警示 　　运用“坐标法”解答空间几何问题时,正确建立空间直角坐标系是解题的关键.解题时,要依据空间几何体的结构特征,充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系建立空间直角坐标系. 思想方法练 1.解析　(1)证明:因为PC⊥底面ABCD,AC⊂底面ABCD,所以AC⊥PC,又因为AD=CD=1,AB⊥AD,AB∥CD,所以在Rt△ADC中,AC=, 取AB的中点G,连接CG,则四边形ADCG是边长为1的正方形, 所以CG⊥AB,且BC=, 则AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC, 又因为BC∩PC=C,BC,PC⊂平面PBC, 所以AC⊥平面PBC,又因为AC⊂平面EAC, 所以平面EAC⊥平面PBC. (2)由(1)可建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0), 所以=(1,1,0), 设P(0,0,a),a>0,则 E, 故=,=(1,1,-a), 引入未知数a,将点P及与点P相关的向量用a表示. 因为PC⊥底面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PC⊥BC, 又因为BC⊥AC,AC∩PC=C,AC,PC⊂平面PAC, 所以BC⊥平面PAC,则=(1,-1,0)为平面 PAC的一个法向量,记m=. 设平面EAC的法向量为 n=(x,y,z), 则则 令x=a,则y=-a,z=-2,则 n=(a,-a,-2)为平面EAC的一个法向量, 根据二面角P-AC-E的余弦值为得到关于未知数a的方程,并求解. 所以|cos<m,n>|===, 解得a=2,则 n=(2,-2,-2),=(1,1,-2), 设直线PA与平面EAC所成的角为 θ, 则sin θ=|cos<,n>|==,所以直线PA与平面EAC所成角的正弦值为. 思想方法 　　方程思想在本章中的应用常体现在确定线段长度及“存在”型问题中.通过设参变量,结合空间向量的坐标关系建立方程(组),求方程(组)的解,从而解决问题. 2.解析　(1)证明:如图,连接BC1,A1N,NE,A1M, ∵M,N分别是B1C1,BB1的中点, ∴MN∥BC1, 又∵BC1∥AD1,∴MN∥AD1, ∵MN⊄平面D1AE,AD1⊂平面D1AE, ∴MN∥平面D1AE. ∵N,E分别是BB1,CC1的中点,B1B∥C1C, ∴NE∥B1C1,B1N∥C1E, ∴四边形NEC1B1为平行四边形,∴NE=B1C1, 又∵B1C1∥A1D1,B1C1=A1D1,∴NE∥A1D1,NE=A1D1, ∴四边形A1NED1是平行四边形, ∴A1N∥D1E, ∵A1N⊄平面D1AE,D1E⊂平面D1AE, ∴A1N∥平面D1AE. ∵A1N∩MN=N,A1N,MN⊂平面A1MN, ∴平面A1MN∥平面D1AE. 又∵A1F⊂平面A1MN,∴A1F∥平面D1AE. (2)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,1为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2, 则A(2,0,0),E(0,2,1),D1(0,0,2),M(1,2,2),N(2,2,1), ∴=(0,2,-1),=(-2,0,2),=(-1,0,1), ∵F在线段MN上,∴设=λ(0≤λ≤1),则F(2-λ,2,1+λ),∴=(2-λ,0,λ). 由点在线段上,根据共线向量定理引入变量λ. 设n=(x,y,z)是平面D1AE的法向量, 则即 取z=2,得y=1,x=2, ∴n=(2,1,2)是平面D1AE的一个法向量. 设直线EF与平面D1AE所成的角为θ, 则sin θ=|cos<n,>|===, ∵λ∈[0,1],∴当λ=1时,(sin θ)max=. 由向量的夹角公式,得到含变量λ的关系式,结合二次函数和反比例函数的性质,求sin θ的最大值,体现函数思想.  ∴直线EF与平面D1AE所成角的正弦值的最大值为. 思想方法 　　函数思想在本章中的应用常体现在立体几何中的“运动问题”和“最值问题”,构造函数后一定要注意函数的定义域,应当在定义域的约束下去求最值,利用基本不等式求最值时还要注意满足其适用的条件. 3.解析　(1)证明:由题意,以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,1为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),M(0,0,2),P(0,0,4),N,D(0,1,0), 则=(0,-2,2),=,=(-2,1,0), 设平面CMN的法向量为n=(x0,y0,z0), 由得 令z0=-2,得 ∴n=(-1,-2,-2)为平面CMN的一个法向量, ∵·n=(-2,1,0)·(-1,-2,-2)=0, ∴⊥n. 将线面平行问题的证明转化为空间向量的数量积的运算. 又∵BD⊄平面CMN, ∴BD∥平面CMN. (2)∵PA⊥AB,PA⊥AC,AB∩AC=A, ∴PA⊥平面ABC, ∴平面ABC的一个法向量为 =(0,0,4), 易知与n的夹角的补角就是平面ABC与平面MNC所成的角,记为θ, 则cos θ=-cos<,n>=-=-=. 将求两个平面所成角的问题转化为空间向量的运算问题. ∴平面MNC与平面ABC所成角的余弦值为. 思想方法 　　转化与化归思想在本章中的应用体现在以下方面:(1)将立体几何中的一种位置关系转化为空间中两向量的数量关系(线性表示或数量积表示);(2)将空间角与空间距离的计算转化为空间中两向量的相关运算. 学科网（北京）股份有限公司 $$