单元素养强化(三) 空间向量与立体几何（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

单元素养强化(三)　空间向量与立体几何 [对应学生用书P272] 1．下列各组两个向量中，平行的一组向量是(　　) A．a＝(1，－2，3)，b＝(1，2，1) B．a＝(0，－3，3)，b＝(0，1，－1) C．a＝(0，－3，2)，b＝(0，1，－) D．a＝(1，－，3)，b＝(2，－1，) B　解析：在A中，a＝(1，－2，3)，b＝(1，2，1)，不存在实数λ，使得a＝λb，故A中两个向量不平行，故A错误； 在B中，a＝(0，－3，3)，b＝(0，1，－1)， a＝－3b，故B中两个向量平行，故B正确； 在C中，a＝(0，－3，2)，b＝(0，1，－)， 不存在实数λ，使得a＝λb， 故C中两个向量不平行，故C错误； 在D中，a＝(1，－，3)，b＝(2，－1，)，不存在实数λ，使得a＝λb，故D中两个向量不平行，故D错误． 2．点A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点(　　) A．不共面　　　　　 B．共面 C．不一定共面 D．无法判断 B　解析：∵＋＋＝1，∴P，A，B，C四点共面． 3．已知直线l的一个方向向量a＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z＝(　　) A．0　　　B．1　　　　C．　　　　D．3 A　解析：＝(－1，2－y，z－3).∴＝ka＝(2k，－k，3k). ∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k. 解得k＝－，y＝＝z.∴y－z＝0. 4．已知△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　) A．|b|＝1 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥ D　解析：在△ABC中， 由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2. 又|a|＝1， 所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1， 所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2 ＝4×(－1)＋4＝0， 所以(4a＋b)⊥. 5．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　) A． B． C． D．3 B　解析：两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)， ∴两平面间的距离 d＝＝＝. 6．(多选)若A，B，C，D为空间四个两两不同的点，则下列各式一定为零向量的是(　　) A．＋2＋2＋ B．2＋2＋3＋3＋ C．＋＋ D．－＋－ BD　解析：＋2＋2＋ ＝(＋＋＋)＋(＋)＝＋； 2＋2＋3＋3＋ ＝2(＋＋＋)＋(＋＋)＝0； ＋＋＝＋＝＋＝； －＋－＝＋＋＋＝0. 7．(多选)在三棱柱ABC ­A′B′C′中，M，N分别为BB′和AC的中点，则＝(　　) A．(＋＋) B．(＋＋) C．(＋＋) D．(＋－) BD　解析：＝＋＝＋＋ ＝－－＋ ＝－－(－)＋ ＝－－－， 故选项A与C都错误． ＝＋＋＋ ＝－＋＋－ ＝＋－(－) ＝(＋＋)，故选项B正确． ＝－＋＋AC ＝－＋＋(－) ＝(＋－)，故选项D正确． 8．在空间直角坐标系O­xyz中，已知点P(2cos x＋1，2cos 2x＋2，0)和点Q(cos x，－1，3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________． 或　解析：由OP⊥OQ，得·＝0. 即(2cos x＋1)cos x＋(2cos 2x＋2)(－1)＋0＝0. ∴cos x＝0或cos x＝. ∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝. 9．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________． 　解析：建立坐标系D­xyz如图， 则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)，＝(－1，0，2)，＝(－1，2，1)， ∴cos 〈，〉＝＝. 10．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________． 　解析：取A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则A1(0，0，1)，E(1，0，)，D(0，1，0)， F(，1，0)，D1(0，1，1). 所以＝(1，0，－)，＝(0，1，0). 设平面A1D1E的一个法向量为n＝(x，y，z). 则即 令z＝2，则x＝1. 所以n＝(1，0，2). 又＝(，1，－1)， 所以点F到平面A1D1E的距离 d＝＝＝. 11．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E