2.3.2 空间向量运算的坐标表示（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第2章　空间向量与立体几何 2.3　空间向量基本定理及坐标表示 2.3.2　空间向量运算的坐标表示 基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　空间向量线性运算的坐标表示 1.已知向量a=(3,0,1),b=(-2,4,0),则3a+2b等于(　　) A.(5,8,3) B.(5,-6,4) C.(8,16,4) D.(16,0,4) 2.已知点M(1,2,3),N(2,3,4),P(-1,2,3),若=3,则Q的坐标是(　　) A.(-3,-2,-5) B.(3,4,1) C.(-4,-1,0) D.(2,5,6) 3.若向量a=(1,-2,2),b=(x,3,0),c=(1,3,3)是共面向量,则实数x的值是(　　) A.- B.- C. D. 题组二　空间向量数量积的坐标表示 4.已知向量a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),则a·(a+3b)=(　　) A.(0,34,10) B.(-3,19,7) C.44 D.23 5.若a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则a·b等于(　　) A.5 B.-5 C.7 D.-1 6.如图,已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1,则·的值为　(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 7.已知空间向量a=(1,0,1),b=(2,-1,2),则向量a在向量b上的投影向量是　　　　.  题组三　利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题 8.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka-b与2a+b互相平行,则k=(　　) A.1 B.-2 C.-1 D.2 9.在△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为(　　) A. B.- C.2 D.± 10.已知向量=(1,2,3),=(2,λ,3),=(4,2,k),若OA⊥平面ABC,则λ+k的值是(　　) A. B. C. D. 11.已知a=(x,-4,2),b=(3,y,-5),若a⊥b,则x2+y2的取值范围为(　　) A.[2,+∞) B.[3,+∞) C.[4,+∞) D.[5,+∞) 题组四　利用空间向量的坐标运算解决夹角和模的相关问题 12.若向量a=(2,2,0),b=(1,3,z),<a,b>=,则z等于(　　) A. B.- C.± D.± 13.若空间向量=(1,2,-2),=(-1,-1,5),则||=　(　　) A. B.3 C.2 D. 14.若a=(3x,-5,4)与b=(x,2x,-2)(x≠0)的夹角为钝角,则x的取值不可能为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 15.在空间直角坐标系O-xyz中,O为原点,已知点A(2,1,0),B(3,2,2),C(-1,1,4),设向量=a,=b. (1)求a与b夹角的余弦值; (2)若a与a-kb互相垂直,求实数k的值. 16.如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系O-xyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上. (1)当=2,且点P关于y轴的对称点为M时,求||; (2)当点P是面对角线AB的中点,点Q在面对角线DC上运动时,探究||的最小值. 能力提升练　　　　　　　　　 题组一　利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题 1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是　(　　) A.平行 B.相交 C.异面垂直 D.异面不垂直 2.(多选)已知空间中四点A(1,1,0),B(0,1,2),C(0,3,2),D(-1,3,4),则下列说法正确的有(　　) A.AB⊥BC B.AB∥CD C.A,B,C三点共线 D.A,B,C,D四点共面 3.(多选)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P为线段AB的中点,Q,R分别为线段BC,A1C上的动点(含端点),下列结论正确的是(　　) A.存在点Q,使得A1P⊥C1Q B.存在点R,使得A1P⊥D1R C.当Q为BC的中点时,存在点R使得,,共面 D.当Q为BC的中点时,存在点R使得C1,Q,D1,R四点共面 4.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,点E在线段A1D上,且A1E=2ED. (1)证明:BD1⊥AC; (2)证明:BD1∥平面ACE. 题组二　利用空间向量的坐标运算解决长度和夹角问题 5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,点E为PA的中点,AB=BC=1,AD=2,PA=,则异面直线BE与CD所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 6.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,点P在侧面ABB1A1内,若D1P垂直于CM,则△PBC的面积的最小值为(　　) A. B. C. D.1 7.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AB=BC=BB'=2,AB⊥BC,D为AB的中点,点E在线段C'D上,点F在线段BB'上,求线段EF长的最小值. 8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,AA1=2,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1A的中点. (1)求的模; (2)求cos<,>的值; (3)求证:A1B⊥C1M. 答案与分层梯度式解析 第2章　空间向量与立体几何 2.3　空间向量基本定理及坐标表示 2.3.2　空间向量运算的坐标表示 基础过关练 1.A　 2.D　设O为坐标原点,则=+=+3=(-1,2,3)+3(1,1,1)=(2,5,6).故选D. 3.B　由题意,可知存在实数u,v,使得b=ua+vc, 即(x,3,0)=u(1,-2,2)+v(1,3,3), 所以解得故选B. 4.C　 5.B　∵a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2), ∴两式相加得2a=(2,-4,0), ∴a=(1,-2,0),∴b=(-3,1,2), ∴a·b=1×(-3)+(-2)×1+0×2=-5,故选B. 6.D　建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,0,0),O1,C1(0,1,1), ∴=,=(-1,1,1), ∴·=·(-1,1,1)=++1=2.故选D. 方法总结 　　求空间几何体中两向量的数量积时,可先建立适当的空间直角坐标系,再将各向量用坐标表示出来,之后便可利用数量积的坐标运算轻松求解. 7.答案　 解析　向量a在向量b上的投影向量是·=×=. 8.B　根据题意,得ka-b=k(1,1,0)-(-1,0,2)=(k+1,k,-2),2a+b=2(1,1,0)+(-1,0,2)=(1,2,2), 根据ka-b与2a+b平行,得==,解得 k=-2.故选B. 9.D　由题意得=(-6,1,2k),=(-3,2,-k), 又∵∠C=90°,∴·=(-6)×(-3)+1×2+2k×(-k)=-2k2+20=0, ∴k=±. 故选D. 10.D　易得=(1,λ-2,0),=(3,0,k-3). 若OA⊥平面ABC,则⊥,⊥, 即·=1+2(λ-2)=0,·=3+3(k-3)=0,所以λ=,k=2,故λ+k=. 故选D. 11.C　∵a=(x,-4,2),b=(3,y,-5),a⊥b, ∴a·b=3x-4y-10=0,∴y=x-, ∴x2+y2=x2+=+4≥4, ∴x2+y2的取值范围为[4,+∞). 故选C. 12.C　由题意得a·b=|a||b|cos =8, 又∵|a|=2,|b|=, ∴·=8,可得z=±.故选C. 13.D　=+=(0,1,3), ∴||==.故选D. 14.D　由题意得a·b=3x2-10x-8<0,解得-<x<4, 若a与b共线,则==,无解,所以a与b不共线,所以-<x<4,结合选项可知选D. 15.解析　(1)由题意得a=(1,1,2),b=(-3,0,4), 故a·b=1×(-3)+1×0+2×4=5,|a|=,|b|=5, 所以cos<a,b>==, 故a与b夹角的余弦值为. (2)由a与a-kb互相垂直知,a·(a-kb)=a2-ka·b=0, 由(1)知|a|2=6,a·b=5,故k===. 16.解析　由题意知A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(1,1,1). (1)由=2得P, 所以M,所以||=. (2)当点P是面对角线AB的中点时,P,点Q在面对角线DC上运动,设点Q(a,1,a),a∈[0,1], 则||= ==,a∈[0,1], 所以当a=时,||取得最小值,为,此时点Q. 方法归纳 　　利用空间向量的坐标运算求线段长度的一般步骤:(1)建立适当的空间直角坐标系;(2)求出线段端点的坐标(或线段对应向量的坐标);(3)利用两点间的距离公式求出线段的长(或利用向量模的坐标公式求出对应向量的模). 能力提升练 1.C　由题图易知,NO,AM为异面直线.建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2), ∴=(-1,0,-2),=(-2,0,1). ∵·=0,∴直线NO,AM的位置关系是异面垂直.故选C. 2.ABD　易知=(-1,0,2),=(0,2,0),=(-2,2,4),=(-1,0,2),=(-1,2,2). 因为·=0,所以 ⊥,即AB⊥BC,所以A正确; 因为=,且A,B,C,D四点不共线,所以AB∥CD,故B正确; 因为不存在实数λ,使=λ,所以 A,B,C三点不共线,故C错误; 易知当=λ+μ(λ,μ∈R)时,A,B,C,D四点共面,即(-1,2,2)=λ(-1,0,2)+μ(-2,2,4), 所以(-1,2,2)=(-λ-2μ,2μ,2λ+4μ), 所以　解得 所以=-+,又因为,,有公共点A,所以A,B,C,D四点共面,故D正确. 故选ABD. 3.BD　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(0,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),B(2,2,0),P(2,1,0), 令=m(0≤m≤1),=n(0≤n≤1),则Q(2m,2,0),R(2n,2-2n,2n). 因为=(0,1,-2),=(2m,0,-2),所以·=4≠0,即与不垂直,A不正确; 又因为=(2n,2-2n,2n-2),所以·=6-6n,当n=1时,·=0,即存在点R,使得A1P⊥D1R,B正确; 当Q为BC的中点时,Q(1,2,0),=(1,0,-2),若存在点R使得,,共面,则=x+y,x,y∈R, 即(2n,2-2n,2n-2)=x(0,1,-2)+y(1,0,-2), 故解得n=-1∉[0,1],C不正确; 当Q为BC的中点时,Q(1,2,0),若C1,Q,D1,R四点共面,则=λ+μ,λ,μ∈R,而=(1,2,-2),则(2n,2-2n,2n-2)=λ(0,2,0)+μ(1,2,-2),即解得n=∈[0,1],D正确. 故选BD. 4.证明　(1)连接A1C1,B1D1,BD,设AC与BD交于点O,A1C1与B1D1交于点O1,连接OO1,设AB=a,AA1=b.如图,建立空间直角坐标系, 则A,B,C,D,A1,D1, ∴=(-a,0,b),=(0,a,0), ∴·=0,∴⊥,即BD1⊥AC. (2)设E(x,y,z),∵A1E=2ED,∴=2,即=2, 解得x=-a,y=-a,z=, 即E, ∴=. 设=λ+μ(λ,μ∈R),则(-a,0,b)=λ(0,a,0)+μ, 即解得 即=-+3, ∴,,共面. 又∵BD1⊄平面ACE,∴BD1∥平面ACE. 5.A　由题意可知,AB,AD,AP所在直线两两垂直.以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,1为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E, 故=(-1,1,0),=, 故|cos<,>|===, 则异面直线BE与CD所成角的余弦值为.故选A. 解后反思 　　用坐标法求解立体几何问题的关键是建立适当的空间直角坐标系.建系时,关键是寻找线面垂直、线线垂直的条件,找到两两相互垂直的三条直线,将这三条直线分别作为x轴、y轴和z轴,进而得到有关点的坐标并求解. 6.A　以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,1为单位长度,建立空间直角坐标系,如图, 依题意有M(2,0,1),C(0,2,0),D1(0,0,2), 设P(2,a,b),0≤a≤2,0≤b≤2, 则=(-2,2,-1),=(2,a,b-2), 由于CM⊥D1P,故·=0,故-4+2a-b+2=0, 解得b=2a-2. 根据正方体的性质可知,BC⊥BP, 故△PBC为直角三角形, 而B(2,2,0),故=(0,2-a,-b),=(-2,0,0),所以||=,||=2, 所以△PBC的面积为||||==, 当a==时,面积取得最小值,为=,故选A. 7.解析　依题意,BA,BC,BB'两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系, 则B(0,0,0),D(0,1,0),B'(0,0,2),C'(2,0,2),=(2,-1,2),=(0,0,2), 设=λ,λ∈[0,1],则E(2λ,1-λ,2λ), 设F(0,0,z),0≤z≤2,则=(-2λ,λ-1,z-2λ). 若线段EF的长最小,则必满足EF⊥BB',则有·=0,可得z=2λ,即= (-2λ,λ-1,0), 因此,||===≤,当且仅当λ=时等号成立,所以线段EF长的最小值为. 8.解析　由题意可知,CA,CB,CC1两两垂直,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,1为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)依题意,B(0,1,0),N(1,0,1), ∴=(1,-1,1),∴||=. (2)依题意,A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2), ∴=(1,-1,2),=(0,1,2),·=1×0-1×1+2×2=3,||=,||=, ∴cos<,>==. (3)证明:依题意,C1(0,0,2),M, ∴=, 又由(2)可得=(-1,1,-2), ∴·=-++0=0, ∴⊥,∴A1B⊥C1M. 学科网（北京）股份有限公司 $$