2.3.1 空间向量的分解与坐标表示（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第2章　空间向量与立体几何 2.3　空间向量基本定理及坐标表示 2.3.1　空间向量的分解与坐标表示 　　　　　　　　　　　　　　基础过关练 　　 题组一　空间向量共面问题 1.在下列等式中,使点M与点A,B,C一定共面的是(　　) A.=-- B.=++ C.++=0 D.+++=0 2.在四面体A-BCD中,P在面ABC内,Q在面BCD内,且满足=x+y,=s+t+u,若=(y,t均不为0),则下面有关线段AQ与DP的关系的表述中,正确的是(　　) A.AQ与DP所在直线是异面直线 B.AQ与DP所在直线平行 C.线段AQ与DP必相交 D.线段AQ与DP延长后相交 3.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于　　　　.  4.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1. (1)求证:A,E,C1,F四点共面; (2)若=x+y+z,求x+y+z的值. 题组二　空间向量基本定理及相关概念的理解 5.已知{a,b,c}能构成空间的一组基,则下面的各组向量中,不能构成一组基的是(　　) A.a+b,b,c B.a,a-b,c C.a-c,b-c,a-b D.a,b,a+b+c 6.已知空间中四个点O,A,B,C,{,,}为空间的一组基,则下列说法正确的是(　　) A.O,A,B,C四点共线 B.O,A,B,C四点共面,但不共线 C.O,A,B,C四点不共面 D.||=||=||=1 7.已知{a,b,c}是空间的一组基,则下列向量中能与a+b,a-b构成一组基的是(　　) A.a B.b C.c D.a+2b 题组三　空间向量基本定理的应用 8.如图,在四面体O-ABC中,设=a,=b,=c,=3,若F为BC的中点,P为EF的中点,则=(　　) A.a+b+c B.a+b+c C.a+b+c D.a+b+c 9.在三棱柱ABC-A1B1C1中,=a,=b,=c,若=2,则=(　　) A.a+b+c B.a+b+c C.-a+b+c D.a-b+c 10.如图,在四面体O-ABC中,D,E分别在AB,OC上,且AD=DB,OE=2EC,若=α+β+γ,则α+β+γ=　　　　.  11.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AD=AB=1,AA1=2,∠A1AB=∠DAA1=60°,=3,=2,设=a,=b,=c. (1)试用a,b,c表示; (2)求MN的长度. 题组四　空间向量的坐标表示 12.在空间直角坐标系中,若M(0,1,3),N(2,1,1),则=(　　) A.(-2,0,2) B.(2,0,-2) C.(2,2,0) D.(2,2,-1) 13.若向量p在标准正交基{a,b,c}下的坐标是(1,3,2),则p在基{a+b,a-b,c}下的坐标是(　　) A.(4,-2,2) B.(2,1,2) C.(2,-1,2) D.(1,3,2) 14.在标准正交基{i,j,k}下,已知向量a=-2i+8j+3k,b=-5i+2k,则向量a+2b在i上的投影为　　　　,在j,k上的投影之积为　　　　.  15.如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,1为单位长度,建立空间直角坐标系,若的坐标为(4,3,2),则的坐标为　　　　.  16.如图,在空间直角坐标系O-xyz中有一长方体OABC-O'A'B'C',且OA=6,OC=8,OO'=5. (1)写出点B'的坐标,并将用标准正交基{i,j,k}表示; (2)求的坐标. 17.设正四棱锥S-P1P2P3P4的所有棱长均为2,建立适当的空间直角坐标系,求,的坐标. 答案与分层梯度式解析 第2章　空间向量与立体几何 2.3　空间向量基本定理及坐标表示 2.3.1　空间向量的分解与坐标表示 基础过关练 1.C　对于A、B、D,均不满足=x+y+z,且x+y+z=1,故A、B、D均错误; 对于C,++=0⇒=--,因此,,共面,又因为,,有公共点M,所以M,A,B,C四点共面,故C正确. 2.C　若x=s=0,则=y,=t+u,所以=+u,所以,,共面,又因为,,有公共点A,所以A,P,D,Q四点共面;若x≠0,且s≠0,则由=得=,令==m,则=m+u,所以,,共面,又因为,,有公共点A,故A,P,D,Q四点共面,又因为AQ与DP所在直线不平行,所以AQ与DP必相交.故选C. 3.答案　 解析　若向量a,b,c共面,则存在x,y∈R,使得a=xb+yc, ∴2i-j+3k=x(-i+4j-2k)+y(7i+5j+λk), ∴ 解得λ=. 4.解析　(1)证明:=++=+++=+++=(+)+(+)=+,∴,,共面, 又∵,,有公共点A, ∴A,E,C1,F四点共面. (2)∵=-=+-(+) =+-- =-++, ∴x=-1,y=1,z=,∴x+y+z=. 5.C　如图,可知a-c,b-c,a-b三个向量共面,不能构成空间的一组基,故选C. 方法归纳 　　判断给出的三个向量是不是空间的一组基,关键是判断它们是否共面,若从正面判断难以入手,则常用反证法或借助一些常见的几何图形进行判断. 6.C　∵{,,}为空间的一组基, ∴,,三个向量不共面,即O,A,B,C四点不共面.,,不一定为单位向量,故选C. 7.C　因为a=(a+b)+(a-b),b=(a+b)-(a-b),a+2b=(a+b)-(a-b),所以由空间向量基本定理可知a,b,a+2b均与a+b,a-b共面,不能构成一组基,故A、B、D错误,故选C. 8.A　如图,连接OF, 因为P为EF的中点,=3,F为BC的中点, 所以=(+)= =++ =a+b+c,故选A. 9.A　由题意得=++=++=++=++(-)=++=a+b+c.故选A. 10.答案　- 解析　连接OD,∵AD=DB,OE=2EC, ∴=-=-(+)=--+, ∴ ∴α+β+γ=-. 11.解析　(1)由题意得=+=+=+(+)=+(+)=a+b+c. (2)由题意得=++=+-=(++)+-(+)=-+++--=++=a+b+c. 因为∠A1AB=∠DAA1=60°,且底面ABCD是正方形,AD=AB=1,AA1=2, 所以·=a·b=0,·=b·c=|b||c|·cos 60°=1,·=a·c=|a||c|cos 60°=1. 因此,||==×=, 所以MN的长度是. 12.B　 13.C　由已知得p=a+3b+2c, 设p在基{a+b,a-b,c}下的坐标是(x,y,z), 则p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以(x+y)a+(x-y)b+zc=a+3b+2c, 则所以 所以p在基{a+b,a-b,c}下的坐标是(2,-1,2). 14.答案　-12;56 解析　易得a+2b=-12i+8j+7k,所以a+2b在i,j,k上的投影分别为-12,8,7,其在j,k上的投影之积为8×7=56. 15.答案　(-4,3,2) 解析　由D(0,0,0),=(4,3,2),可得B1(4,3,2),即AD=4,CD=3,DD1=2,所以A(4,0,0),C1(0,3,2),因此=(-4,3,2). 16.解析　(1)因为OA=6,OC=8,OO'=5, 所以点B'的坐标为(6,8,5), 从而=(6,8,5)=6i+8j+5k. (2)易得点C'的坐标为(0,8,5),所以=(0,8,5). 17.解析　如图所示,建立空间直角坐标系,其中O为底面正方形的中心,P1P2⊥Oy,P1P4⊥Ox,SO在Oz轴上. ∵P1P2=2,而P1,P2均在xOy平面内,∴P1(1,1,0),P2(-1,1,0). 在xOy平面内,P3与P1关于原点O对称, ∴P3(-1,-1,0), 又∵SP1=2,OP1=, ∴在Rt△SOP1中,SO=,∴S(0,0,). ∴=(1,1,-),=(0,-2,0). 学科网（北京）股份有限公司 $$