2.2 空间向量及其运算（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第2章　空间向量与立体几何 2.2　空间向量及其运算 基础过关练 　　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　空间向量的基本概念 1.下列说法正确的是(　　) A.任一空间向量与它的相反向量都不相等 B.将空间中所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个圆 C.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 2.(多选)下列说法正确的是(　　) A.向量与的长度相等 B.在空间四边形ABCD中,与是相反向量 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量 3.如图所示,在四棱柱的上底面ABCD中,=,则下列向量相等的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 题组二　空间向量的加减法 4.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,+-=(　　) A. B. C. D. 5.已知四边形ABCD,O为空间中任意一点,且+=+,则四边形ABCD是(　　) A.空间四边形 B.平行四边形 C.等腰梯形 D.矩形 6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,则|-|=　　　　.  7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c,则=　　　　.(用a,b,c表示)  题组三　向量与实数相乘 8. 如图,在三棱锥O-ABC中,设= a,=b,=c,若=,=2,则=(　　) A.a+b-c B.-a-b+c C.a-b-c D.-a+b+c 9.光岳楼亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”,位于山东省聊城市,其墩台为砖石砌成的正四棱台,直观图如图所示,其上下底面边长之比约为,则++=　　　　.  10.如图,O是△ABC所在平面外一点,M为BC的中点,若=λ与=++同时成立,则实数λ的值为　　　　.  题组四　数量积的概念及其运算 11.已知a,b,c为空间向量,下列有关说法中正确的是(　　) A.若a·b=b·c,且b≠0,则a=c B.(a-b)2=a2-2a·b+b2 C.(a·b)·c=a·(b·c) D.向量a在向量b方向上的投影一定是正的 12.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设=a,=b,=c,则a·(a+b+c)=(　　) A.1 B. C. D.2 13.如图,正四面体A-BCD的棱长为2,E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,则·的值为(　　) A. B.1 C.2 D.4 题组五　空间向量的数量积的简单应用 14.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则a与b的夹角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 15.已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不一定为零的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 16.如图是棱长为1的正四面体O-ABC,M是棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且MN=ON,AP=AN. (1)用向量,,表示 ; (2)求||. 17.如图,空间四边形OABC的各边及对角线的长均为2,E是AB的中点,F在OC上,且=2,设=a,=b,=c. (1)用a,b,c表示; (2)求向量与向量所成角的余弦值. 能力提升练　　 题组一　利用共线向量解决直线平行、三点共线问题 1.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　　) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 2.设e1,e2是两个不共线的空间向量,若=2e1-e2,=3e1+3e2,=e1+ke2,且A,C,D三点共线,则实数k的值为　　　　.  3.如图,已知M,N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.求证:B,G,N三点共线. 4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段A1B,D1B1上,且BM=BA1,B1N=B1D1,P为棱B1C1的中点.求证:MN∥BP. 题组二　利用空间向量的数量积求两点间的距离(线段的长度) 5.如图,在四面体A-BCD中,M,N分别为AB和CD的中点,AD=2,BC=4,且向量与向量的夹角为120°,则线段MN的长为(　　) A. B. C.或 D.3或3 6.如图所示,在平面角为120°的二面角α-AB-β中,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B,AC=AB=BD=6,则C,D间的距离为　　　　.  7.在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c. (1)试用a,b,c表示向量; (2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=2,求MN的长. 8.如图所示,四边形ABCD是矩形,EF∥AB,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,G是AD上一动点,求FG的长度的范围. 题组三　利用空间向量的数量积求异面直线所成的角 9.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则直线a与b所成的角是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 10.在四面体O-ABC中,OA=OB=OC,∠AOB=∠AOC=60°,∠BOC=90°,则OB与AC所成角的大小为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与AC所成角的余弦值为　　　　.  题组四　数量积的综合应用 12.(多选)如图是一个形状为平行六面体的结晶体ABCD-A1B1C1D1,以顶点A为端点的三条棱的长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,则下列说法中正确的是(　　) A.AC1=6 B.AC1⊥BD C.向量与的夹角是60° D.BD1与AC所成角的余弦值为 13.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为. (1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1; (2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱长. 答案与分层梯度式解析 第2章　空间向量与立体几何 2.2　空间向量及其运算 基础过关练 1.C　对于A,零向量与它的相反向量相等,故说法错误;对于B,将空间中所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个球面,故说法错误;对于C,空间向量与平面向量一样,既有大小又有方向,不能比较大小,故说法正确;对于D,一个非零空间向量与它的相反向量不相等,但它们的模相等,故说法错误.故选C. 2.AD　向量与是相反向量,长度相等,故A正确; 空间四边形ABCD中,与的模不一定相等,方向也不一定相反,故B错误; 空间向量可以用空间中的一条有向线段表示,但不能说空间向量就是有向线段,故C错误; 由空间向量的有关概念与性质易知D正确.故选AD. 3.D　因为=,所以四边形ABCD是平行四边形,结合平行四边形的性质及相等向量的定义知,=,=,=,故选D. 4.B　+-=-=+=.故选B. 5.B　由已知可得=,由相等向量的定义可知,四边形ABCD的一组对边平行且相等,所以四边形ABCD是平行四边形,无法判断其是不是矩形,故选B. 6.答案　 解析　| -|=|-|=||=||==. 7.答案　b-a-c 解析　如图,连接CA1,则=-=--=b-a-c. 8.A　连接OM,ON,则=-=(+)-(+)=(+)--=(+)--(-)=+-=a+b-c.故选A. 小题巧解 　　本题还可应用如下结论:如图,在△ABC中,D为BC边上一点,若=,则=+. 其解法:=-=(+)-=+-=a+b-c. 9.答案　 解析　如图,延长EA,FB,GC,HD相交于一点O,则=,=,=, ∴++=++=++=+=+=. 10.答案　 解析　连接OM.∵=++=+×2=+, ∴G为AM的中点,∴=. 又∵=λ,∴λ=. 11.B　a·b=b·c,且b≠0⇔|a||b|cos<a,b>=|b|·|c|cos<b,c>,|b|≠0,则|a|cos<a,b>=|c|cos<b,c>,得不出a=c,故A错误; 由空间向量数量积的运算性质可知B正确; (a·b)·c=λc,a·(b·c)=μa,其中λ,μ均为实数,但a,c不一定共线,故(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等,故C错误; 向量a在向量b方向上的投影为|a|cos<a,b>,其可以为0,也可以为负数,故D错误.故选B. 易错警示 　　注意向量的投影与投影长的区别,前者可正可负可为0,后者代表投影向量的模,它一定为非负数. 12.A　根据空间向量的加法法则得a+b+c=+=,易知AC'为正方体的体对角线,所以AC'=,所以cos∠BAC'==,所以a·(a+b+c)=·=||||cos∠BAC'=1××=1.故选A. 13.B　设=a,=b,=c, 则a·b=b·c=c·a=2×2×=2. ∵=-=-(+)=a-b-c, ==(-)=a-b, ∴·=·=×(a2-2a·b+b2-a·c+b·c)=1.故选B. 14.D　设a与b的夹角为θ(θ∈[0,π]).由a+b+c=0,得a+b=-c,两边平方,得a2+2a·b+b2=c2,所以4+2×2×3cos θ+9=16,解得cos θ=,故选D. 15.A　由PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,可知DA⊥PB,PD⊥AB,PA⊥CD,故B,C,D选项中两向量的数量积均为零,无法判断PC与BD是否存在垂直关系,故选A. 16.解析　(1)=+=+=+××(+)=-++. (2)=+=+=+(-)=+=+×=+×(+)=++. 因为四面体O-ABC是棱长为1的正四面体, 所以||=||=||=1, ·=·=·=1×1×=, 所以||2==(++)2=(+++2·+2·+2·)=×=,所以||=. 17.解析　(1)由题意可得=-=-(+)=-a-b+c. (2)因为空间四边形OABC的各边及对角线的长均为2, 所以|a|=|b|=|c|=2,且a,b,c三个向量中任意两个向量的夹角都为, 所以a·b=a·c=b·c=2×2×cos =2. 又因为·=a·=-a2-a·b+a·c=-×22-×2+×2=-, ||2==a2+b2+c2+a·b-a·c-b·c=×22+×22+×22+×2-×2-×2=,即||=, 所以cos<,>===-, 所以向量与向量所成角的余弦值为-. 能力提升练 1.A　因为=+=2a+4b=2(a+2b)=2,所以与共线,又因为与有公共点B,所以A,B,D三点共线.故选A. 2.答案　 解析　因为A,C,D三点共线,所以∥, 因为=+=2e1-e2+3e1+3e2=5e1+2e2, =e1+ke2, 所以5∶2=1∶k, 所以k=. 技巧点拨 　　对于由空间中三点共线求参数的问题,往往先将其转化为由这三点确定的两个向量共线,再利用两个非零向量共线的充要条件确定参数的值. 3.证明　设 =a,=b,=c, 则=+×(+)=+(+)=+(-+-)=(++)=(a+b+c), 则=+=+=-a+(a+b+c)=-a+b+c, ∵=+=+(+)=-a+b+c, ∴=.由两个非零向量平行的充要条件,可知∥.又∵BN∩BG=B,∴B,G,N三点共线. 技巧点拨 　　要证明空间中三点共线,可转化为证明这三点确定的两个向量共线. 4.证明　易得=++, 又因为BM=BA1,B1N=B1D1, 所以=-++ =-(+)++(+) =+=+. 又因为P为棱B1C1的中点, 所以=+=+==, 从而与为共线向量. 因为直线MN与BP不重合, 所以MN∥BP. 方法总结 　　证明两直线平行时,先分别从两直线上取有向线段来表示两个向量,然后利用向量的线性运算结合向量共线的充要条件证明两向量共线,再根据两有向线段不在同一条直线上得到两直线平行. 5.A　取AC的中点E,连接ME,EN,又∵M,N分别为AB和CD的中点, ∴ME∥BC,EN∥AD,且ME=BC=2,EN=AD=1, ∵向量与向量的夹角为120°, ∴向量与向量的夹角为120°, 又∵=+, ∴||2=(+)2=+2·+=22+2×2×1×+12=3, ∴||=,即线段MN的长为.故选A. 6.答案　12 解析　因为AC⊥AB,BD⊥AB,所以·=0,·=0,因为二面角α-AB-β的平面角为120°,所以<,>=180°-120°=60°,又因为||2=(++)2=+++2·+2·+2·=3×62+2×62×cos 60°=144, 所以||=12. 7.解析　(1)易得=++=++, 因为=-=c-a,=-=-=b-a, 所以=(c-a)+a+(b-a)=a+b+c. (2)由∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=2, 得a·b=0,a·c=b·c=2,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=20,即|a+b+c|=2, 由(1)知=a+b+c,故||=|a+b+c|=,即MN的长为. 8.解析　连接AF,过E作EH∥BF,交AB于点H,如图,易得四边形EFBH为平行四边形, ∵EF=2,AB=4,∴AH=2, 又∵AE=2,EH=2,∴∠EAH=60°, 设=x(0≤x≤1),则=-=x-(+)=x--, ∴||= = ==2, 当x=时,||取得最小值,为;当x=0或x=1时,||取得最大值,为2, ∴FG的长度的范围是[,2]. 9.C　易得=++,∴·=(++)·=·++·=0+12+0=1,又∵||=2,||=1,∴cos< ,>===,∴直线a与b所成的角是60°.故选C. 10.B　在四面体O-ABC中,,,不共面,且=-,令OA=OB=OC=1, 依题意,·=(-)·=·-·=1×1×cos 90°-1×1×cos 60°=-. 设OB与AC所成角的大小为θ,因为OB与AC是异面直线,所以0°<θ≤90°,则cos θ=|cos<,>|==,解得θ=60°,所以OB与AC所成角的大小为60°.故选B. 11.答案　 解析　设正方体的棱长为1,则||=,||=. ·=(+)·(+)=(+)·(+)=·++·+·=0+12+0+0=1. 因为cos<,>===, 所以直线BC1与AC所成角的余弦值为. 12.BD　A选项,由题意可知=++,则==+++2·+2·+2·=62+62+62+2×6×6×cos 60°+2×6×6×cos 60°+2×6×6×cos 60°=216, ∴||=6,∴选项A不正确. B选项,=-,=++,所以·=(++)·(-)=·++·--·-·=6×6×cos 60°+62+6×6× cos 60°-62-6×6×cos 60°-6×6×cos 60°=0,∴⊥,即AC1⊥BD,∴选项B正确. C选项,∵==-,∴||2=|-|2=-2·+=62-2×6×6×cos 60°+62=36,即||=6,又∵·=(-)· =·-=6×6×cos 60°-62=-18, ∴cos<,>===-,∴向量与的夹角是120°,∴选项C不正确. D选项,∵=+=-+,=+,∴||2=|-+|2=++-2·+2·-2·=62+62+62-2×6×6×cos 60°+2×6×6×cos 60°-2×6×6×cos 60°=72,即||=6, ||2=|+|2=++2·=62+62+2×6×6×cos 60°=108,即||=6, ·=(-+)·(+)=·+--·+·+·=6×6×cos 60°+62-62-6×6×cos 60°+6×6× cos 60°+6×6×cos 60°=36. 设BD1与AC所成的角为θ,由BD1与AC为异面直线可知θ∈,则cos θ=|cos<,>|===,∴选项D正确.故选BD. 13.解析　(1)证明:=+,=+. 在正三棱柱中,BB1⊥平面ABC,△ABC为正三角形, 所以·=0,·=0, <,>=π-<,>=π -=. 因为·=(+)·(+) =·+·++· =||·||·cos<,>+ =-1+1=0, 所以⊥,即AB1⊥BC1. (2)由(1)知·=||·||·cos<,>+=-1. 又因为||====||, 所以cos<,>==, 所以||=2, 即侧棱长为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$