2.1 空间直角坐标系（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第2章　空间向量与立体几何 2.1　空间直角坐标系 基础过关练 　　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　确定空间点的坐标 1.已知点Q是点P(1,-2,5)在坐标平面xOz内的投影,则点Q的坐标为(　　) A.(1,0,5) B.(0,-2,5) C.(1,-2,0) D.(1,2,5) 2.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点M是点N(3,4,5)在坐标平面xOy内的投影,则点M的坐标是(　　) A.(3,0,5) B.(0,4,5) C.(3,4,0) D.(0,0,5) 3.在空间直角坐标系中,若点A(-2,1,4)关于点B(-2,0,0)的对称点为C,则点C的坐标为(　　) A.(-2,-1,-4) B.(-4,-1,-4) C.(-6,1,4) D. 4.(多选)在空间直角坐标系O-xyz中,已知点P(1,2,3),下列叙述正确的是(　　) A.点P关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,-3) B.点P关于y轴对称的点的坐标为(-1,2,-3) C.点P关于原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3) D.点P关于yOz平面对称的点的坐标为(1,-2,3) 5.在空间直角坐标系O-xyz中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的投影的坐标为　　　　.  6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AD|=2,|DC|=4,|DD1|=3,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. (1)求点B1,C1,D1,A的坐标;(2)若E为C1D1的中点,试求点E的坐标. 题组二　空间两点间的距离公式的应用 7.已知点A(-3,0,-4),点A关于原点对称的点为B,则|AB|等于(　　) A.12 B.9 C.25 D.10 8. 在空间直角坐标系中,已知A(1, -2,1),B(2,2,2),点P在x轴上,且满足|PA|=|PB|,则点P的坐标为(　　) A.(3,0,0) B.(0,3,0) C.(0,0,3) D.(-3,0,0) 9.在空间直角坐标系O-xyz中,点A(1,-2,3)关于平面xOz对称的点为B,则线段AB的长度为　　　　.  10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|BC|=2,|D1D|=3,点M是B1C1的中点,点N是AB的中点.以D为原点建立空间直角坐标系,已知点N的坐标为(2,1,0),则点M的坐标为　　　　　,线段MD,MN的长度分别为　　　　　　.  能力提升练　　　　　 题组　空间两点间的距离公式的综合应用 1.在空间直角坐标系O-xyz中,若点P(1,-3,2)在平面xOz上的投影点为B,则线段OB的长度为(　　) A. B. C. D.3 2.(多选)已知空间直角坐标系中,O为坐标原点,点P的坐标为(1,2,3),则下列说法错误的是(　　) A.点P到原点O的距离是 B.点P到x轴的距离是 C.点P到平面xOy的距离是3 D.点P到平面yOz的距离是3 3.设点A(1,2,2),B(3,4,-8),C(1,2,3),点C关于xOy平面对称的点为D,则线段AB的中点P到点D的距离为(　　) A.2 B. C. D. 4.已知点A(t,3,1),B(3,-t,3),则A,B两点间的距离的最小值为(　　) A.3 B.2 C. D.2 5.一束光线自点P(1,1,1)发出,遇到平面xOy被反射,到达点Q(3,3,6)被吸收,那么光线所走的路程是(　　) A. B. C. D. 6.如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为面BB1C1C内的一个动点,E,F分别为BD1的三等分点,则△PEF的周长的最小值为(　　) A.4 B.+ C.3+ D.+ 7.已知平行四边形ABCD中,A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D的坐标为　　　　.  8.已知点P(1,1,2)是空间直角坐标系O-xyz中的一点,则点P关于x轴对称的点Q的坐标为　　　　.若点P在平面xOy上的投影点为M,则四面体O-PQM的体积为　　　　.  9.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3),试问: (1)在y轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|? (2)在y轴上是否存在点N,使△NAB为等边三角形?若存在,试求出点N的坐标. 10.已知正方形ABCD、正方形ABEF的边长都为1,且平面ABCD与平面ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若|CM|=|BN|=a(0<a<). (1)求MN的长; (2)a为何值时,MN最短? 答案与分层梯度式解析 第2章　空间向量与立体几何 2.1　空间直角坐标系 基础过关练 1.A　 2.C　 3.A　由已知得B为AC的中点,所以由中点坐标公式可求得C(-2,-1,-4).故选A. 4.ABC　 5.答案　(-4,0,-6) 解析　设点M关于y轴对称的点是M',则M'(-4,7,-6),点M'在xOz平面上的投影的坐标为(-4,0,-6). 6.解析　(1)设B1(x1,y1,z1).过点B1向三个坐标平面yDz,xDz,xDy作垂线,分别交平面yDz,xDz,xDy于点C1,A1,B,故|x1|=|B1C1|=2,|y1|=|B1A1|=4,|z1|=|B1B|=3,由图可知x1,y1,z1均为正数,故点B1的坐标是(2,4,3).同理可求得C1(0,4,3),D1(0,0,3),A(2,0,0). (2)因为E是C1D1的中点,C1(0,4,3),D1(0,0,3),所以由中点坐标公式得点E的坐标为(0,2,3). 7.D　 8.A　由题意可设P(x,0,0),由|PA|=|PB|,可得=,解得x=3.故点P的坐标为(3,0,0).故选A. 方法技巧 　　若已知两线段间的数量关系求点的坐标,则往往设出点的坐标,利用空间两点间的距离公式列方程求解. 9.答案　4 解析　易得点A(1,-2,3)关于平面xOz对称的点为B(1,2,3),所以|AB|=|-2-2|=4. 10.答案　(1,2,3);, 解析　因为D是原点,且N(2,1,0). 所以可得M(1,2,3). 由空间两点间的距离公式,得 |MD|==, |MN|==. 能力提升练 1.A　易得点P(1,-3,2)在平面xOz上的投影点为B(1,0,2),所以|OB|==.故选A. 2.AD　由题可知,|OP|==,A中说法错误;由点P的坐标可知,点P到x轴的距离为=,点P到平面xOy、平面yOz的距离分别为3,1,故B、C中说法正确,D中说法错误.故选AD. 规律总结 　　已知空间直角坐标系O-xyz中一点P(x0,y0,z0),则点P到x轴、y轴、z轴的距离分别为,,,点P到原点的距离为,点P到平面xOy、平面yOz、平面xOz的距离分别是|z0|,|x0|,|y0|. 3.C　由题意得D(1,2,-3),由中点坐标公式得点P的坐标为(2,3,-3),所以|PD|==.故选C. 4.C　|AB|==≥. 5.D　设点P(1,1,1)关于平面xOy对称的点为R,则R(1,1,-1),故光线所走的路程是|RQ|==.故选D. 6.D　作点E关于面BCC1B1的对称点E',连接E'F,交面BCC1B1于点P0,连接P0E. 任取面BCC1B1内的点P1(不含P0),此时|P1E|+|P1F|=|P1F|+|P1E'|>|FE'|=|P0E|+|P0F|,所以当点P在点P0的位置时,|PE|+|PF|最小. 以D为坐标原点,1为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系, 则D1(0,0,3),B(3,3,0),因为E,F分别为BD1的三等分点,所以E(2,2,1),F(1,1,2), 易知点E到面BCC1B1的距离为1, 所以E'(2,4,1), 所以|E'F|==. 又因为|EF|=|BD1|=×=, 所以△PEF的周长的最小值为+.故选D. 7.答案　(5,13,-3) 解析　设平行四边形ABCD的两条对角线的交点为点P,则P为AC,BD的中点.由A(4,1,3),C(3,7,-5),得点P的坐标为.又因为点B(2,-5,1),所以点D的坐标为(5,13,-3). 易错警示 　　要注意平行四边形ABCD和以A,B,C,D为顶点的平行四边形的区别,前者只有一解,后者有一解或多解. 8.答案　(1,-1,-2); 解析　易知点P(1,1,2)关于x轴对称的点Q的坐标为(1,-1,-2),点P在平面xOy上的投影点为M(1,1,0),设点Q在平面xOy上的投影点为Q',则Q'(1,-1,0),易知点Q到平面OPM的距离即为点Q'到平面OPM的距离,即为点Q'到直线OM的距离,即为|OQ'|=,因为S△OPM=|OM|×|PM|=,所以VO-PQM=××=. 9.解析　(1)假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|. 因为点M在y轴上,所以可设M(0,y,0), 由|MA|=|MB|, 可得=, 显然,此式对任意y∈R恒成立. 所以在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|. (2)假设在y轴上存在点N,使△NAB为等边三角形. 由(1)可知,|NA|=|NB|, 所以只要|NA|=|AB|,就可以使△NAB是等边三角形.设N(0,y',0), 因为|NA|==, |AB|==2, 所以=2,解得y'=±. 故在y轴上存在点N,使△NAB为等边三角形,且点N的坐标为(0,,0)或(0, -,0). 方法技巧 　　判断某点的存在性问题的求解方法是假设该点存在,设出该点坐标,然后列方程求解,若方程有解则说明假设成立,否则说明假设不成立. 10.解析　(1)因为四边形ABCD、四边形ABEF均为正方形,所以AB⊥BE,AB⊥BC,因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,BE⊂平面ABEF, 所以BE⊥平面ABCD,所以AB,BC,BE两两垂直. 以B为原点,BA,BE,BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,1为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系. 则M,N, 所以|MN|= = =. (2)因为|MN|=,0<a<, 所以当a=时,|MN|min=. 技巧点拨 　　空间中的最值问题往往与某动点或动直线有关,此时往往将动点的坐标或动线段的长用参数表示,并建立关于该参数的函数关系式,从而转化为函数的最值问题,借助函数思想巧妙求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$