1.3.4 导数的应用举例（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第1章　导数及其应用 1.3　导数在研究函数中的应用 1.3.4　导数的应用举例 基础过关练 　　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　利用导数研究函数的最值 1.函数f(x)=x+2cos x在上的最大值为(　　) A.2 B.+ C.+1 D.+ 2.已知函数f(x)=x3-3x+2,则函数g(x)=f'(x)ex在区间[0,2]上的最小值为(　　) A.-3e B.-2e C.e D.2e 3.已知函数f(x)=x2-2ln x,若在定义域内存在x0,使得不等式f(x0)-m≤0成立,则实数m的最小值为(　　) A.2 B.-2 C.1 D.-1 4.已知函数f(x)=ex+x3+(a-3)x+1在区间(0,1)上有最小值,则实数a的取值范围为(　　) A.(-e,2) B.(-e,1-e) C.(1,2) D.(-∞,1-e) 5.若直线l:x=a与函数f(x)=x2+1,g(x)=ln x的图象分别交于点P,Q,当P,Q两点距离最近时,a=(　　) A. B. C.1 D. 6.已知函数f(x)=2ln x+ax2-3x在x=2处取得极小值,则f(x)在上的最大值为　　　　.  7.已知函数f(x)=+ln x-1. (1)求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程; (2)求f(x)在区间上的最大值. 题组二　利用导数解决优化问题 8.设底面为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时的底面边长为(　　) A. B. C. D.2 9.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品的零售价定为P(单位:元),则销售量Q(单位:件)与零售价P有如下关系:Q=8 300-170P-P2.则该商品的零售价定为　　　　元时毛利润最大(毛利润=销售收入-进货支出).  10.将一块2 m×6 m 的矩形钢板按如图所示的方式划线,要求①至⑦全为矩形,沿线裁去阴影部分,把剩余部分焊接成一个以⑦为底,⑤⑥为盖的水箱,设水箱的高为x m,容积为y m3. (1)写出y关于x的函数关系式; (2)当x取何值时,水箱的容积最大? 11.某偏远贫困村积极响应国家“扶贫攻坚”政策,在对口帮扶单位的支持下建立了一个工厂,已知该工厂生产每件产品的成本为a元,当每件产品的售价为x(3≤x≤8)元时,年销量为(9-x)2万件.当每件产品的售价定为6元时,年利润为27万元. (1)试求每件产品的成本a的值; (2)求当每件产品的售价定为多少元时,年利润最大,并求出最大年利润. 能力提升练 　　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　函数最值的求解与应用 1.已知定义在[m,n]上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的个数为(　　) ①f(x)的值域为[f(d), f(n)]; ②f(x)在[a,b]上单调递增,在[b,d]上单调递减; ③f(x)的极大值点为x=c,极小值点为x=e; ④f(x)有两个零点. A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知函数f(x)=ln x,若对任意的x1,x2∈(0,+∞),都有[f(x1)-f(x2)](-)≥k(x1x2+)恒成立,则实数k的最大值是(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 3.(多选)已知定义在R上的函数f(x),若存在函数g(x)=ax+b(a,b为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立,则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数,则下列说法中正确的是(　　) A.函数g(x)=-2是函数f(x)=的一个承托函数 B.函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x的一个承托函数 C.若函数g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,则a的取值范围是[0,e] D.值域是R的函数f(x)不存在承托函数 4.已知λ>0,对任意的x∈(0,+∞),不等式e2λx-≥0恒成立,则λ的最小值为　　　　.  5.已知函数f(x)=-m(m∈R),若当x∈(0,+∞)时,函数f(f(x))与f(x)有相同的最小值,则实数m的最小值为　　　　.   6.已知函数f(x)=x(ex+1),g(x)=(x+1)ln x,若f(x1)=g(x2)=m>1,则的最小值为　　　　.  7.已知函数f(x)=x3-ax2+1,a>0. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)是否存在实数a,使得f(x)在[0,2]上的最小值为?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 8.已知函数f(x)=ax-1-ln x(a∈R). (1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数; (2)若函数f(x)在x=1处取得极值,且对任意x∈(0,+∞), f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围; (3)当x>y>e-1时,求证:ex-y>. 题组二　利用导数解决优化问题 9.如图所示,在等腰梯形ABDE中,AE=ED=BD=a,当等腰梯形ABDE的面积最大时,θ=(　　) A. B. C. D. 10.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产1万吨该产品,成本增加100元,已知总营业收入R(元)与年产量x(万吨)的关系是R(x)=则总利润最大时,年产量是(　　) A.100万吨 B.150万吨 C.200万吨 D.300万吨 11.如图是一个帐篷,它下部的形状是高为1 m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥.当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为　　　　 m时,帐篷的体积最大.  12.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶过程中的耗油量y(单位:L/h)关于行驶速度x(单位:km/h)的解析式为y=x3-x+8(0<x≤120),已知甲、乙两地相距100 km. (1)当该种型号的汽车以40 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量为多少? (2)当该种型号的汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少?最少为多少? 答案与分层梯度式解析 第1章　导数及其应用 1.3　导数在研究函数中的应用 1.3.4　导数的应用举例 基础过关练 1. B　易求得f'(x)=1-2sin x,由f'(x)>0得sin x<,∵x∈,∴x∈, ∴当x∈时,函数f(x)单调递增.由f'(x)<0得 sin x>,∵x∈,∴x∈,∴当x∈时,函数f(x)单调递减. ∴x=是函数f(x)在上的极大值点,∴函数的极大值,也是最大值,为f=+2cos =+2×=+,故选B. 2.B　因为f(x)=x3-3x+2,所以f'(x)=x2-3, 则g(x)=f'(x)ex=(x2-3)ex, 则g'(x)=(x2+2x-3)ex,令g'(x)=0,解得x=-3或x=1, 当0≤x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当1<x≤2时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 所以当x=1时,函数g(x)取得极小值,也是最小值,为g(1)=-2e. 故选B. 3.C　由题可知,函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=2x-. 令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍去). 当x∈(0,1)时, f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0, 所以当x=1时, f(x)取得极小值,也是最小值,且最小值为1. 由题意知m≥1,因此实数m的最小值为1.故选C. 4.A　由题意得f'(x)=ex+3x2+a-3,易知f'(x)在区间(0,1)上单调递增,若f(x)在区间(0,1)上有最小值, 则即 解得-e<a<2. 这时存在x0∈(0,1),使得f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,1)上单调递增, 即函数f(x)在(0,1)上有极小值,也是最小值, 所以a的取值范围是(-e,2). 故选A. 5.D　由题意知|PQ|=a2+1-ln a.设h(x)=x2+1-ln x(x>0),则h'(x)=2x-=(x>0),令h'(x)=0,得4x2-1=0,解得x=(负值舍去). 当x在(0,+∞)上变化时,h'(x)与h(x)的变化情况如下表: x h'(x) - 0 + h(x) ↘ 极小值 ↗ 由表可知,当x=时,h(x)取得极小值,也是最小值, 因此,当|PQ|最小,即P,Q两点距离最近时,a的值为,故选D. 6.答案　2ln3- 解析　因为f(x)=2ln x+ax2-3x,所以f'(x)=+2ax-3, 由题意可得f'(2)=4a-2=0,解得a=,则f(x)=2ln x+x2-3x,f'(x)=+x-3=, 令f'(x)=0,可得x=1或x=2,当x在上变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表: x 1 (1,2) 2 (2,3] f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数f(x)的极大值为f(1)=-,极小值为f(2)=2ln 2-4, 又因为 f(3)=2ln 3-, 且f(3)-f(1)=2ln 3-+=2ln 3-2=2(ln 3-1)>0,所以f(1)<f(3), 所以 f(x)max=f(3)=2ln 3-. 7.解析　(1)易得f'(x)=-+=, 因此f'(2)==,即曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线的斜率为. 又因为f(2)=ln 2-, 所以曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y-=(x-2),即x-4y+4ln 2-4=0. (2)由(1)知,f'(x)=, 当x∈时, f'(x)<0, f(x)单调递减; 当x∈(1,e]时, f'(x)>0, f(x)单调递增. 因为f=e-2, f(e)=,且e-2>, 所以f(x)在区间上的最大值为f=e-2. 8.C　设底面边长为x(x>0),则直三棱柱的表面积S=x2+V,∴S'=(x3-4V),当0<x<时,S'<0,当x>时,S'>0,故当x=时,S取得极小值,也是最小值.因此,当x=时,该直三棱柱的表面积最小. 9.答案　30 解析　设毛利润为L(P)元.由题意知L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)=(8 300-170P-P2)(P-20)=-P3-150P2+11 700P-166 000,则L'(P)=-3P2-300P+11 700, 令L'(P)=0,解得P=30或P=-130(舍去). 因为在P=30附近的左侧L'(P)>0,右侧L'(P)<0. 所以L(30)是L(P)的极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是毛利润L(P)的最大值,且L(30)=23 000. 故答案为30. 10.解析　(1)由水箱的高为x m,得水箱底面的宽为(2-2x)m,长为=(3-x)m, 故y=(2-2x)(3-x)x=2x3-8x2+6x(0<x<1). (2)由(1)得y'=6x2-16x+6, 令y'=0, 解得x=(舍去)或x=, 所以y=2x3-8x2+6x(0<x<1)在上单调递增,在上单调递减,所以当x=时,y取得极大值,也是最大值. 所以当x=时,水箱的容积最大. 11.解析　(1)设该产品的年利润为y万元,则y=(x-a)(9-x)2(3≤x≤8), 当x=6时,y=9×(6-a)=27,解得a=3. (2)由(1)知y=(x-3)(9-x)2(3≤x≤8), 则y'=(x-9)2+2(x-3)(x-9)=(x-9)(3x-15), 由y'=0,得x=5或x=9(舍去). 当x∈[3,5)时,y'>0;当x∈(5,8]时,y'<0. 所以当x=5时,y取得极大值,也是最大值,为32. 故当每件产品的售价定为5元时,年利润最大,最大年利润为32万元. 能力提升练 1.B　根据题中导函数f'(x)的图象可知, 当x∈[m,c)时, f'(x)>0,∴函数f(x)在[m,c)上单调递增, 当x=c时, f'(x)=0, 当x∈(c,e)时, f'(x)<0,∴函数f(x)在(c,e)上单调递减, 当x=e时, f'(x)=0, 当x∈(e,n]时, f'(x)>0,∴函数f(x)在(e,n]上单调递增,∴函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值,故②错误,③正确; 根据上述f(x)的单调性可知,函数f(x)的最小值为f(m)或f(e),最大值为f(c)或f(n),故①错误; 当f(m)>0且f(e)>0时,函数无零点,故④错误.故选B. 2.B　∵f(x)=ln x,∴f(x1)-f(x2)=ln x1-ln x2=ln . ∵[f(x1)-f(x2)](-)≥k(x1x2+)恒成立,且x1,x2∈(0,+∞), ∴k≤ln -ln 恒成立, 令t=(t>0),g(t)=tln t-ln t(t>0), 则g'(t)=ln t+1-(t>0), 易知g'(t)在(0,+∞)上单调递增,且g'(1)=0, ∴当t∈(0,1)时,g'(t)<0,g(t)单调递减, 当t∈(1,+∞)时,g'(t)>0,g(t)单调递增, ∴g(t)min=g(1)=0,∴k≤0. 故实数k的最大值是0.故选B. 3.BC　对于A,∵当x>0时, f(x)=ln x∈(-∞,+∞),∴f(x)≥g(x)=-2不能对一切实数x都成立,故A错误. 对于B,令t(x)=f(x)-g(x),则t(x)=x+sin x-(x-1)=sin x+1,∵t(x)≥0对一切实数x恒成立, ∴函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x的一个承托函数,故B正确. 对于C,令h(x)=ex-ax,则h'(x)=ex-a, 若a=0,由题意知,结论成立; 若a>0,令h'(x)=0,得x=ln a, 易知函数h(x)在(-∞,ln a)上为减函数,在(ln a,+∞)上为增函数, ∴当x=ln a时,函数h(x)取得极小值,也是最小值,为a-aln a, ∵g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,∴a-aln a≥0,∴ln a≤1,∴0<a≤e; 若a<0,则当x→-∞时,h(x)→-∞,故不成立, 综上,当0≤a≤e时,函数g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,故C正确. 对于D,不妨令f(x)=2x,g(x)=2x-1,则f(x)-g(x)=1≥0恒成立, 故g(x)=2x-1是f(x)=2x的一个承托函数,故D错误.故选BC. 4.答案　 解析　原不等式可变形为2λe2λx-ln x≥0. 令f(x)=2λe2λx-ln x,x>0, 则f'(x)=4λ2e2λx-,易知f'(x)在(0,+∞)上单调递增, 且存在唯一零点x0>0,满足4λ2-=0, 则=,该式左右两边同时取对数,得ln(4λ2)+2λx0=-ln x0, ∴f(x0)=2λ-ln x0=2λ×+ln(4λ2)+2λx0≥0,即ln(4λ2)+2λx0+≥0,∵x0>0,λ>0, ∴2λx0+≥2=2,当且仅当λx0=时取等号, ∴ln(4λ2)+2≥0,∴λ≥. 故答案为. 5.答案　e-1 解析　易得f'(x)=.当x∈(0,+∞)时,令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得0<x<1, 则函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,即f(x)min=f(1)=e-m. 对于函数f(f(x)),设t=f(x),则f(f(x))=f(t), 当且仅当t=1时f(t)取到最小值e-m, 所以1=-m,x>0有解, 所以m=-1,x>0有解,令g(x)=-1,x>0, 则g'(x)=,则函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以g(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,即g(x)min=g(1)=e-1,即m的最小值为e-1. 6.答案　e 解析　g(x)=(x+1)ln x=(eln x+1)ln x=f(ln x), 则f(x1)=f(ln x2)=m(m>1), 易知f(x1)=x1(+1)>1,所以x1>0, 当x>0时,函数f(x)的导函数 f'(x)=(x+1)ex+1>0恒成立, 所以f(x)=x(ex+1)在(0,+∞)上单调递增,所以x1=ln x2, 则====, 令h(x)=(x>1),则h'(x)=(x>1), 当x∈(1,e)时,h'(x)<0; 当x∈(e,+∞)时, h'(x)>0, 所以h(x)在x=e处取得极小值,也是最小值, 又h(e)==e, 所以的最小值为e. 7.解析　(1)当a=1时, f(x)=x3-x2+1, f'(x)=x2-2x, f'(1)=-1,又因为f(1)=,所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-=-(x-1),即3x+3y-4=0. 直线3x+3y-4=0在x轴、y轴上的截距均为, 因此,所求三角形的面积为××=. (2)存在实数a,使得f(x)在[0,2]上的最小值为. 易得f'(x)=x2-2ax=x(x-2a),令f'(x)=0得x=2a或x=0. 当0<2a<2,即0<a<1时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表: x (0,2a) 2a (2a,2) f'(x) - 0 + f(x) 单调递减 1- 单调递增 则f(x)在[0,2]上的极小值,也是最小值,为f(2a)=1-=,解得a=; 当2a≥2,即a≥1时, f'(x)≤0在[0,2]上恒成立,且f'(x)=0仅在有限个点处成立,此时f(x)单调递减, 故f(x)min=f(2)=-4a=,解得a=<1,舍去. 综上,存在a=,使得f(x)在[0,2]上的最小值为. 8.解析　(1)易知函数的定义域为(0,+∞), 且f'(x)=a-=. 当a≤0时, f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立, ∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,没有极值点; 当a>0时,令f'(x)<0,得0<x<,令f'(x)>0,得x>, ∴f(x)在上单调递减,在上单调递增,即f(x)在x=处取得极小值,无极大值. 综上,当a≤0时, f(x)在(0,+∞)上没有极值点;当a>0时, f(x)在(0,+∞)上有一个极值点. (2)由(1)知,f'(x)=. ∵函数f(x)在x=1处取得极值, ∴f'(1)=0,∴a=1, ∴f(x)≥bx-2⇒1+-≥b, 令g(x)=1+-, 则g'(x)=--=, 令g'(x)=0,得x=e2, 易知g(x)在(0,e2]上单调递减,在[e2,+∞)上单调递增, ∴g(x)在x=e2处取得极小值,也是最小值,即g(x)min=g(e2)=1-,∴b≤1-. (3)证明:当x>y>e-1时,不等式ex-y>等价于>, 令H(x)=,x>e-1,则只需证明H(x)在(e-1,+∞)上单调递增. 易得H'(x)=,x>e-1, 令h(x)=ln(x+1)-,x>e-1,易知h(x)在(e-1,+∞)上单调递增, ∴h(x)>h(e-1)=1->0,即H'(x)>0, ∴H(x)在(e-1,+∞)上单调递增, 即>, ∴当x>y>e-1时,ex-y>. 9.B　如图,过点D作DC⊥AB于点C, 设等腰梯形ABDE的面积为S, 则S=(AB+ED)·CD, 因为AB=a+2acos θ,CD=asin θ, 所以S=(a+2acos θ+a)·asin θ=a2sin θ(1+cos θ),则S'=a2·(2cos2θ+cos θ-1),令S'=0,得cos θ=或cos θ=-1,由于0<θ<,所以cos θ≠-1,所以cos θ=,此时θ=.当θ∈时,S'>0;当θ∈时,S'<0.故当θ=时,S取得极大值,也是最大值.故选B. 10.D　当年产量为x万吨时,总成本为(20 000+100x)元,设总利润为f(x)元, 则f(x)= 即f(x)= ∴f'(x)= ①当0≤x≤400时,令f'(x)=0,得x=300, 由f'(x)<0得300<x≤400,此时f(x)是减函数, 由f'(x)>0得0≤x<300,此时f(x)是增函数, ∴当0≤x≤400时,f(x)的极大值,也是最大值,为f(300)=300×300-×3002-20 000=25 000; ②当x>400时, f(x)是减函数, ∴f(x)<60 000-100×400=20 000. 综上可知,当x=300时, f(x)有最大值.故选D. 11.答案　2 解析　设OO1=x m,则1<x<4, 由题意可得正六棱锥的底面边长为= m, 于是底面正六边形的面积为6××()2=(8+2x-x2)m2. 设帐篷的体积为V(x)m3 ,则V(x)=(8+2x-x2)×1+×(8+2x-x2)×(x-1)=(16+12x-x3), 则V'(x)=(12-3x2). 令V'(x)=0,解得x=-2(不符合题意,舍去)或x=2. 当1<x<2时,V'(x)>0,V(x)单调递增; 当2<x<4时,V'(x)<0,V(x)单调递减, 所以当x=2时,V(x)取得极大值,也是最大值. 综上所述,当x=2时,V(x)最大. 12.解析　(1)该种型号的汽车以40 km/h的速度从甲地匀速行驶到乙地需=2.5 h, 故耗油量为×2.5=17.5 L. (2)当该种型号的汽车匀速行驶的速度为x km/h时,从甲地到乙地需 h,设耗油量为H(x)L, 依题意得H(x)==-+(0<x≤120), 则H'(x)=-=(0<x≤120). 令H'(x)=0,得x=80. 当x∈(0,80)时,H'(x)<0;当x∈(80,120]时,H'(x)>0.所以当x=80时,H(x)取得极小值,也是最小值,为11.25. 故当该种型号的汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少,最少为11.25 L. 学科网（北京）股份有限公司 $$