1.3.3 三次函数的性质单调区间和极值（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第1章　导数及其应用 1.3　导数在研究函数中的应用 1.3.3　三次函数的性质:单调区间和极值 基础过关练 　　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　三次函数的单调性 1.已知函数f(x)=x3+bx2+(b+2)x+3在R上单调递增,则实数b的取值范围是(　　) A.(-1,2) B.[-1,2] C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 2.(多选)下列图象中,可以作为函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数f'(x)的图象的是(　　) A B C D 3.已知函数f(x)=2x3-mx2+2(m>0)的单调递减区间为(a,b),若b-a≤2,则m的最大值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.6 4.函数f(x)=x3-x2+ax-5在区间[-1,2]上不单调,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-3] B.(-3,1) C.[1,+∞) D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 5.设函数f(x)=x3-3ax2+b. (1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值; (2)讨论函数f(x)的单调性. 6.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1. (1)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值; (2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围. 题组二　三次函数的极值和最值 7.函数f(x)=x3-3x(-1<x<1)(　　) A.有最大(小)值,但无极值 B.有最大(小)值,也有极值 C.既无最大(小)值,也无极值 D.无最大(小)值,但有极值 8.若函数f(x)=-x3+mx2+1(m≠0)在区间(0,2)上的极大值为最大值,则m的取值范围是 (　　) A.(0,3) B.(-3,0) C.(-∞,-3) D.(3,+∞) 9.已知x=1是函数f(x)=ax3-3x2的极小值点,则函数f(x)的极小值为(　　) A.0 B.-1 C.2 D.4 10.已知函数f(x)=x3-12x+a,若f(x)在区间[-1,3]上的最大值为10,则f(x)在该区间上的最小值为　　　　.  11.若函数f(x)=3x-x3在区间(a-1,a)上有最小值,则实数a的取值范围是　　　　.  12.设函数f(x)=x3-x2-mx. (1)若f(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,求m的取值范围; (2)若x=-1是函数的极值点,求函数f(x)在[0,5]上的最小值. 13.已知a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值. 题组三　三次函数的极值与最值的综合应用 14.已知函数f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数g(x)=f(x)-m在[-2,5]上有3个零点,则m的取值范围为　(　　) A.(-24,8) B.(-24,1] C.[1,8] D.[1,8) 15.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在定义域[-2,2]上的图象过原点,且其图象在x=±1处的切线的斜率均为-1.有以下结论: ①f(x)是奇函数; ②若f(x)在[s,t]内单调递减,则|t-s|的最大值为4; ③若f(x)的最大值为M,最小值为m,则M+m=0; ④若∀x∈[-2,2],k≤f'(x)恒成立,则k的最大值为2. 其中正确结论的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案与分层梯度式解析 第1章　导数及其应用 1.3　导数在研究函数中的应用 1.3.3　三次函数的性质:单调区间和极值 基础过关练 1.B　由题意得f'(x)=x2+2bx+b+2, ∵f(x)在R上单调递增, ∴x2+2bx+b+2≥0在R上恒成立, ∴Δ≤0,即b2-b-2≤0, 解得-1≤b≤2. 2.AC　由题意得f'(x)=x2+2ax+a2-1,则f'(x)的图象开口向上.当a=0时, f'(x)=x2-1,为偶函数,其图象可以为A中的图象.当a≠0时, f'(x)不是偶函数,其图象不关于y轴对称,∴f'(x)的图象可以为C中的图象.故选AC. 3.D　由题意可得f'(x)=6x2-2mx(m>0), 令f'(x)<0,解得0<x<, 即函数f(x)的单调递减区间为, ∴b-a=≤2, ∴m≤6,即m的最大值为6. 故选D. 4.B　f'(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1, 如果函数f(x)在区间[-1,2]上单调, 那么a-1≥0或即a≥1或 所以a≥1或a≤-3, 所以当函数f(x)在区间[-1,2]上不单调时,-3<a<1.故选B. 5.解析　(1)由题意知f'(x)=3x2-6ax, 则解得 (2)由(1)知f'(x)=3x2-6ax, 令f'(x)=0,得x=0或x=2a. 当a=0时, f'(x)≥0恒成立,当且仅当x=0时取等号,此时函数f(x)在R上单调递增; 当a>0时,若x∈(-∞,0)或x∈(2a,+∞),则 f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 若x∈(0,2a),则 f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当a<0时,若x∈(-∞,2a)或x∈(0,+∞),则 f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 若x∈(2a,0),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减. 综上,当a=0时,函数f(x)在R上单调递增;当a>0时,函数f(x)在 (-∞,0),(2a,+∞)上单调递增,在(0,2a)上单调递减;当a<0时,函数f(x)在 (-∞,2a),(0,+∞)上单调递增,在(2a,0)上单调递减. 6.解析　f'(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3). (1)∵f(x)的单调递减区间为(-1,1), ∴-1和1是方程f'(x)=0的两个根, ∴=1,∴a=0. (2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减, ∴f'(x)≤0在(-1,1)内恒成立. 又∵二次函数y=f'(x)的图象开口向上,方程f'(x)=0的一个根为-1, ∴≥1,∴a≤0. ∴实数a的取值范围是{a|a≤0}. 7.C　f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时, f'(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上单调递减,因此函数f(x)无最大值和最小值,也无极值,故选C. 8.A　由题得f'(x)=-3x2+2mx,令f'(x)=0,得x=或x=0,因为f(x)在区间(0,2)上的极大值为最大值,所以0<<2,所以0<m<3. 9.B　由题意可得f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2), 因为x=1是函数f(x)=ax3-3x2的极小值点, 所以f'(1)=0,即3×1×(a-2)=0,解得a=2,故f'(x)=6x(x-1), 当x<0或x>1时, f'(x)>0, 当0<x<1时, f'(x)<0, 所以x=1是函数f(x)=2x3-3x2的极小值点,满足题意, 所以函数的极小值为f(1)=2×13-3×12=-1.故选B. 10.答案　-17 解析　由题得f'(x)=3x2-12. 由f'(x)=0可得x=2或x=-2. 由f(2)=8-24+a=a-16, f(-1)=-1+12+a=a+11, f(3)=27-36+a=a-9, 可得f(2)<f(3)<f(-1),故f(x)在区间[-1,3]上的最大值为f(-1)=a+11=10,所以a=-1, 则f(x)在区间[-1,3]上的最小值为f(2)=a-16=-1-16=-17. 11.答案　(-1,0) 解析　∵f(x)=3x-x3,∴f'(x)=3-3x2, 令f'(x)=0,得3-3x2=0,解得x=±1, 当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如表所示: x (-∞, -1) -1 (-1, 1) 1 (1, +∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ∵f(x)在(a-1,a)上有最小值, ∴-1∈(a-1,a), ∴解得-1<a<0,① 易得f(-1)=-3-(-1)=-2, 令f(x)=-2,得x3-3x-2=0, 即(x+1)2(x-2)=0,解得x=-1(二重根)或x=2, 因此a≤2.② 由①②知a的取值范围是(-1,0). 易错警示 　　由函数的最大(小)值确定参数的取值范围时不仅要考虑极值点,还要考虑端点处的函数值. 12.解析　(1)由题意得f'(x)=x2-2x-m<0在(0,+∞)上有解, 故m>x2-2x在(0,+∞)上有解. 易知二次函数y=x2-2x在(0,+∞)上的最小值为-1,所以m>-1, 因此m的取值范围是(-1,+∞). (2)由题意得f'(-1)=1+2-m=0,解得m=3, 故f'(x)=x2-2x-3,令f'(x)=0,解得x=-1或x=3, 当x∈(0,3)时, f'(x)<0,函数f(x)递减. 当x∈(3,5)时, f'(x)>0,函数f(x)递增. 故f(x)在[0,5]上的极小值,也是最小值,为f(3)=-9. 13.解析　f'(x)=-3x2+3a=-3(x2-a). 若a≤0,则f'(x)≤0,且f'(x)=0仅在个别点处成立,故函数f(x)在[0,1]上单调递减,所以当x=0时, f(x)取得最大值,为f(0)=0. 若a>0,令f'(x)=0,解得x=±. 因为x∈[0,1],所以只考虑x=的情况. ①若0<<1,即0<a<1, 则当0≤x<时, f'(x)>0, f(x)单调递增,当<x≤1时, f'(x)<0, f(x)单调递减,故当x=时, f(x)取得最大值,为f()=2a. ②若≥1,即a≥1, 则当0≤x≤1时, f'(x)≥0,且f'(x)=0仅在个别点处成立,故函数f(x)在[0,1]上单调递增, 所以当x=1时, f(x)取得最大值,为f(1)=3a-1. 综上可知,当a≤0时, f(x)的最大值为f(0)=0;当0<a<1时, f(x)的最大值为f()=2a;当a≥1时, f(x)的最大值为f(1)=3a-1. 14.D　f'(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x-3)(x+1),令f'(x)=0,解得x=-1或x=3. 当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如表所示: x [-2,-1) -1 (-1,3) 3 (3,5] f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 故当x=3时,函数f(x)取得极小值,为f(3)=33-3×32-9×3+3=-24, 又因为f(-2)=(-2)3-3×(-2)2-9×(-2)+3=1,所以f(x)的最小值为f(3),即-24. 当x=-1时,函数f(x)取得极大值,为 f(-1)=(-1)3-3×(-1)2-9×(-1)+3=8, 又因为f(5)=53-3×52-9×5+3=8,所以函数f(x)的最大值为f(5)或f(-1),即8. 作函数f(x)在[-2,5]上的大致图象如图所示: 由图象可知,当m∈[1,8)时,函数f(x)的图象与直线y=m有三个交点.因此当m∈[1,8)时,函数g(x)=f(x)-m在x∈[-2,5]上有3个零点. 故m的取值范围为[1,8). 15.B　∵f(x)=x3+ax2+bx+c在定义域[-2,2]上的图象过原点,∴f(0)=0,∴c=0. 易得f'(x)=3x2+2ax+b, ∵f(x)的图象在x=±1处的切线斜率均为-1, ∴f'(1)=f'(-1)=-1, 即解得 ∴f(x)=x3-4x, f'(x)=3x2-4,x∈[-2,2]. ①中,∵f(-x)=-x3+4x=-f(x),且定义域为[-2,2],关于原点对称,∴f(x)是奇函数,①正确; ②中,由f'(x)≤0得-≤x≤,则f(x)在内单调递减,若f(x)在[s,t]内单调递减,则tmax=,smin=-,故|t-s|的最大值为,②错误; ③中,由奇函数的图象关于原点对称可知,最大值与最小值互为相反数,则M+m=0,③正确; ④中,当x∈[-2,2]时, f'(x)=3x2-4∈[-4,8],则k≤-4,则k的最大值为-4,④错误. 综上可知,正确结论的序号为①③. 故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$