1.2.3 简单复合函数的求导（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第1章　导数及其应用 1.2　导数的运算 1.2.3　简单复合函数的求导 基础过关练 　　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　复合函数的求导法则 1.已知f(x)=cos 2x+e2x,则f'(x)=(　　) A.-2sin 2x+2e2x B.sin 2x+e2x C.2sin 2x+2e2x D.-sin 2x+e2x 2.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为(　　) A. B. C. D.1 3.(多选)下列求导结果正确的是(　　) A.(e2x)'=2ex B.(3x+1)'=3 C.()'= D.(xsin x)'=sin x+xcos x 4.若函数f(x)=3x+sin 2x,则f'(x)=　　　　　　　　　　.   5.已知函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)=f'·sin 3x+cos 3x,则f'=　　　　.  6.求下列函数的导数: (1)y=;(2)y=esin(ax+b); (3)y=sin2;(4)y=5log2(2x+1). 题组二　复合函数求导的综合应用 7.已知a∈R,函数f(x)=aex-1-xln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为(　　) A.-2 B.-1 C.2 D.1 8.某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=,则在40 min时的降雨强度为(　　) A.20 mm/min B.400 mm/min C. mm/min D. mm/min 9.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-2-x,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为　　　　　　.  10.已知定义域都是R的两个不同的函数f(x),g(x)满足f'(x)=g(x),f(x)=g'(x),写出一个符合条件的函数f(x)的解析式:　　　　　　　　.   11.曲线y=esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程. 能力提升练 　　　　　　　　　　　　　　　　 题组　复合函数的导数及其应用 1.设点P,Q分别是曲线y=xe-x(e是自然对数的底数)和直线y=x+3上的动点,则P,Q两点间距离的最小值为(　　) A. B. C. D. 2.(多选)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的值可以是　(　　) A. B. C. D. 3.定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0为函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)=x2+1,h(x)=ln(x+2),φ(x)=cos x(x∈(0,π))的“新驻点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 4.(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示,令g(x)=f(x)+f'(x),则下列关于函数g(x)的说法中正确的是(　　) A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-(k∈Z) B.函数g(x)的最大值为2 C.函数g(x)的图象上存在点P,使得其在点P处的切线与直线l:y=3x-1平行 D.若方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1,x2,则|x1-x2|的最小值为 5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,设g(x)=e-xf(x),若函数g(x)的导函数g'(x)的图象如图所示,则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.>1,b=c D.<1,b=c 6.已知函数f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,f'(x)是f(x)的导函数,且a=f',则曲线y=x3过其上一点P(a,b)的切线方程为　　　　　　　.  7.设函数f(x)=aexln x+. (1)求导函数f'(x); (2)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值. 答案与分层梯度式解析 第1章　导数及其应用 1.2　导数的运算 1.2.3　简单复合函数的求导 基础过关练 1.A　∵f(x)=cos 2x+e2x,∴f'(x)=-2sin 2x+2e2x.故选A. 2.B　由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)=, 由f'(2)=2,可得=2,解得a=.故选B. 3.BCD　选项A,因为(e2x)'=2e2x,所以A错误; 选项B,因为(3x+1)'=3+0=3,所以B正确; 选项C,因为()'=[]'=×=,所以C正确; 选项D,因为(xsin x)'=x'sin x+x(sin x)'=sin x+xcos x,所以D正确. 故选BCD. 4.答案　3xln 3+2cos 2x 解析　f'(x)=(3x)'+(sin 2x)'=3xln 3+(2x)'·cos 2x=3xln 3+2cos 2x. 5.答案　3 解析　∵f(x)=f'·sin 3x+cos 3x, ∴f'(x)=f'·3cos 3x-3sin 3x, 令x=,得f'=f'×3cos -3sin = f'-3×, 解得f'=3. 6.解析　(1)设y=,u=1-2x2,则y'x =y'u·u'x =()'(1-2x2)'=·(-4x)=-(1-2x2(-4x)=2x(1-2x2. (2)设y=eu,u=sin v,v=ax+b, 则y'x =y'u·u'v·v'x =eu·cos v·a=acos(ax+b)esin(ax+b). (3)设y=u2,u=sin v,v=2x+, 则y'x =y'u·u'v·v'x =2u·cos v·2=4sin vcos v =2sin 2v=2sin. (4)设y=5log2u,u=2x+1,则y'x =y'u·u'x =5(log2u)'(2x+1)'==. 7.D　由题意得f'(x)=aex-1-ln x-1,故切线l的斜率k=f'(1)=a-1,又因为f(1)=a,故切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1), 令x=0,得l在y轴上的截距为1. 8.D　由f(t)=, 得f'(t)=·(10t)'=, 所以f'(40)==. 9.答案　y=2x-1 解析　设x>0,则-x<0,∴f(-x)=ex-2+x, ∵f(x)为偶函数,∴x>0时, f(x)=f(-x)=ex-2+x, ∴x>0时,f'(x)=ex-2+1,∴f'(2)=2, 又∵f(2)=3,∴曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y-3=2(x-2),即y=2x-1. 10.答案　f(x)=ex+e-x(答案不唯一) 解析　根据题意,可知f″(x)=f(x),则满足条件的函数可以是f(x)=ex+e-x(答案不唯一). 11.解析　∵y=esin x,∴y'=esin xcos x, ∴曲线y=esin x在点(0,1)处的切线的斜率为esin 0cos 0=1,其方程为y-1=x,即x-y+1=0. 又∵直线l与x-y+1=0平行, ∴直线l的方程可设为x-y+m=0(m≠1). 由=得m=-1或m=3. ∴直线l的方程为x-y-1=0或x-y+3=0. 能力提升练 1.C　由题意知,求P,Q两点间距离的最小值,就是求曲线y=xe-x在其上一点处的与直线y=x+3平行的切线和直线y=x+3之间的距离. 由y=xe-x得y'=(1-x)e-x, 令y'=(1-x)e-x=1,解得x=0, 当x=0时,y=0, 故P,Q两点间距离的最小值即为点(0,0)到直线y=x+3的距离, ∴P,Q两点间距离的最小值为=.故选C. 2.CD　因为y=, 所以y'===. 因为ex >0, 所以ex +≥2=2当且仅当ex=,即x=0时取等号, 所以y'∈[-1,0),所以tan α∈[-1,0). 又因为α∈[0,π),所以α∈. 结合选项知选CD. 3.C　由g(x)=x2+1可得g'(x)=2x, 令x2+1=2x,解得x1=x2=1,即a=1. 由h(x)=ln(x+2)可得h'(x)=, 设F(x)=h(x)-h'(x)=ln(x+2)-, 易知F(x)在(-2,+∞)上单调递增且其图象是连续的, 当x=-1时,F(-1)=-1<0, 当x=0时,F(0)=ln 2-=ln -ln >0, 故-1<b<0. 由φ(x)=cos x(x∈(0,π))可得φ'(x)=-sin x(x∈(0,π)), 令cos x=-sin x,得sin x+cos x=0, 则sin=0, 又因为x∈(0,π),所以x+=π,解得x=,即c=. 综上可知,b<a<c.故选C. 4.AD　根据题中函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知A=2,=-=,∴T=2π,ω==1. 当x=时,ωx+φ=+φ=+2kπ,k∈Z, ∴φ=+2kπ,k∈Z, ∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin, ∴f'(x)=2cos, ∴g(x)=f(x)+f'(x)=2sin+2cos=2sin=2sin, 令x+=+kπ,k∈Z,解得x=-+kπ,k∈Z, ∴函数g(x)图象的对称轴方程为x=-+kπ,k∈Z,A正确; 由g(x)=2sin,x∈R可知函数g(x)的最大值为2,B错误; 易得g'(x)=2cos, ∵g'(x)≤2<3, ∴不存在点P,使得g(x)的图象在点P处的切线与直线l:y=3x-1平行,C错误; 方程g(x)=2即2sin=2, ∴sin=, ∴x+=+2kπ,k∈Z或x+=+2kπ,k∈Z, ∴方程的两个不同的解分别为x1,x2时,|x1-x2|的最小值为,D正确.故选AD. 5.D　易得a≠0,g(x)=e-xf(x)=e-x(ax2+bx+c), ∴g'(x)=-e-x[ax2+(b-2a)x+c-b], 令g'(x)=0,即ax2+(b-2a)x+c-b=0, 设g'(x)=0的两个根分别为x1,x2,且x1<x2, 由根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=, 由题图可知,x1=0,x2>1, 则x1+x2==2->1,解得<1, x1x2==0,解得b=c,故C错误,D正确; 由于a,b的正负未知,因此无法确定a与b的大小关系,故A、B均错误. 故选D. 6.答案　3x-y-2=0或3x-4y+1=0 解析　由f(x)=3x+cos 2x+sin 2x, 得f'(x)=3-2sin 2x+2cos 2x, 则a=f'=3-2sin +2cos =1. 又∵b=a3,∴b=1, ∴点P的坐标为(1,1). 由y=x3得y'=3x2. 当P点为切点时,切线的斜率k=3a2=3×12=3, 此时切线的方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0. 当P点不是切点时,设切点坐标为(x0,), 此时切线的斜率k'=3, ∴切线的方程为y-=3(x-x0). 将P(1,1)的坐标代入切线方程, 得1-=3(1-x0), ∴2-3+1=0,即2-2-+1=0, 即(x0-1)2(2x0+1)=0, 解得x0=-(x0=1舍去), ∴切点坐标为, 又∵切线的斜率为3×=, ∴切线方程为y+=, 即3x-4y+1=0. 综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0. 7.解析　(1)由f(x)=aexln x+, 得f'(x)=(aexln x)'+' =aexln x++. (2)易知切点既在曲线y=f(x)上,又在切线y=e(x-1)+2上, 将x=1代入切线方程,得y=2, 将x=1代入函数f(x)的方程,得f(1)=b, 所以b=2. 将x=1代入导函数f'(x)的方程中, 得f'(1)=ae=e,所以a=1. 学科网（北京）股份有限公司 $$