1.1 导数概念及其意义（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

　　若在直线上运动的动点P在任何时刻t的位置均可用f(t)表示,则从时刻a到时 刻b的位移为f(b)-f(a).因为所花时间为b-a,所以在时间段[a,b]内动点P的平均速度 为v[a,b]=  . 一般地,我们把   称为函数y=f(x)在区间[a,b]内的平均变化率,它反映了因变量y随自变量x变化的快慢和变化方向(增减). 1 | 平均速度与函数的平均变化率 1.1　导数概念及其意义 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.定义:运动物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 2.数学表达式:若物体的运动方程为s=f(t),则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t),就 是平均速度v(t,d)=  在d趋近于0时的极限. 2 | 瞬时速度 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.瞬时变化率 一般地,若函数y=f(x)的平均变化率  在d趋近于0时,有确定的极限值,则称这个值为该函数在x=u处的瞬时变化率. 2.导数 (1)导数的定义:设函数y=f(x)在包含x0的某个区间上有定义,在d趋近于0时,如果比 值   趋近于一个确定的极限值,则称此极限值为函数y=f(x)在x=x0 处的导数或微商,记作f '(x0),可简单表述为   →f '(x0)(d→0). (2)导数的几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数就是函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k=f '(x0).相应地,此切线的方程为y-f(x0)=f '(x0)(x-x0). 3 | 函数的瞬时变化率与导数 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.d趋近于0能表示为d=0吗? 不能.d趋近于0表示d无限接近0,但不等于0,否则  无意义. 2.瞬时速度是刻画某物体的位移在时间段[a,b]上变化快慢的物理量吗? 不是.刻画某物体的位移在时间段[a,b]上变化快慢的物理量是平均速度. 3.函数y=f(x)在x=x0处的导数值与d的正负有关吗? 无关.函数y=f(x)在x=x0处的导数值是指  在d趋近于0时的极限值, 与d的正负无关. 4.若直线l与曲线相切,则直线l与曲线只有一个交点吗? 不一定.可以有多个甚至无穷个交点. 知识辨析 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 5.函数y=f(x)的图象在某点处存在切线的充要条件是函数y=f(x)在该点处存在导 数,对吗? 不对.当函数y=f(x)在某点处的导数不存在时,其图象在该点也可能存在切线. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 　　函数的平均变化率实质上是指函数值的增量与自变量的增量之比,其作用是 刻画函数值在区间[a,b]上变化的快慢.它的几何意义是函数f(x)的图象上P1(a,f(a)), P2(b,f(b))两点连线(即割线P1P2)的斜率. 1 函数的平均变化率 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用  典例　汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示,若汽车在时间段[t0,t1], [t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为 , , ,则三者的大小关系为　　　    . 解析    由题意,结合题图易得 = =kOA, = =kAB, = =kBC,由题图 知 > > . 答案     > >  第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 求函数y=f(x)在x=x0处的导数的三个步骤 (1)求函数值的变化量,即 f(x0+d)-f(x0); (2)求函数的平均变化率,即  ; (3)求(2)中的表达式在d趋近于零时的值,即为f'(x0). 2 求函数在某点处的导数 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用  典例　已知f(x)= ,且f '(m)=- ,则m的值等于 (　    ) A.-4　    B.2　     C.-2　    D.±2 解析    因为f(m+d)-f(m)= - = ,所以 = .当d→0 时,  →- ,因此f '(m)=- ,于是有- =- ,即m2=4,解得m=±2. 答案    D 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线方程: (1)点P(x0, f(x0))为切点; (2)切线斜率k=f'(x0); (3)切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). 2.曲线y=f(x)过点P(x0, f(x0))的切线方程: (1)点P可能是切点,也可能不是切点. (2)如果点P不是切点,则切线可能不止一条,切线条数与切点个数有关. (3)求切线方程的一般步骤: ①设出切点(x1, f(x1)); ②求出函数f(x)在点(x1, f(x1))处的导数f'(x1); ③写出切线方程:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),将(x0,f(x0))代入,求得x1; ④将x1代入切线方程,化简得切线方程. 3 曲线在某点处的切线与曲线过某点的切线 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用  典例　已知曲线f(x)= x3+ . (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 解析    (1)  =  =x2+dx+ d2, 当d→0时,  →x2, ∴曲线f(x)在点P(2,4)处的切线的斜率k=f'(2)=4,故切线的方程为y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. (2)设曲线f(x)= x3+ 与其过点P(2,4)的切线相切于点A , 由(1)可知,曲线在点A处的切线的斜率k'=f'(x0)= , ∴所求切线方程为y- = (x-x0), 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 即y= ·x-  + , ∵点P(2,4)在切线上, ∴4=2 -  + ,即 -3 +4=0, ∴ + -4 +4=0, 即 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2)2=0, ∴x0=-1或x0=2, ∴切点为(-1,1)或(2,4), 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 易错警示    求曲线的切线方程时,首先要区分是“在某点处”还是“过某点”. 如果是“过某点”,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求 出切点坐标,进而求出切线方程.求过某点的切线方程时,如果点在已知曲线上,容 易认为该点就是切点,从而造成错误. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 $$