1.1.3 导数的几何意义 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

1.1.3　导数的几何意义 [课时跟踪检测] 1.函数f(x)在x=x0处导数f'(x0)的几何意义是 (　　) A.在点x=x0处的斜率 B.在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角正切值 C.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率 D.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)) 处的切线的斜率 解析:选D　f'(x0)的几何意义是在切点(x0,f(x0))处的切线斜率.故选D. 2.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f'(5)= (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选A　易得切点P(5,3),∴f(5)=3,k=-1,即f'(5)=-1,∴f(5)+f'(5)=3-1=2. 3.已知函数f(x)满足f'(x1)>0,f'(x2)<0,则在x=x1和x=x2附近符合条件的f(x)的图象大致是 (　　) 解析:选D　由f'(x1)>0,f'(x2)<0可知,f(x)的图象在x=x1处切线的斜率为正,在x=x2处切线的斜率为负. 4.在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是 (　　) A.(0,0) B.(2,4) C. D. 解析:选D　==2x+d,当d→0时,2x+d→2x,∴f'(x)=2x.令2x=tan=1,得x=,∴y==,所求点的坐标为. 5.[多选]下列命题正确的是 (　　) A.若f'(x0)=0,则函数f(x)在x0处无切线 B.函数y=f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点 C.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x-y=0,则当d→0时,=1 D.若函数f(x)的导数f'(x)=x2-2,且f(1)=2,则f(x)的图象在x=1处的切线方程为x+y-3=0 解析:选BD　若f'(x0)=0,则函数f(x)在x0处的切线斜率为0,故A错误;函数y=f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点,例如函数f(x)=x3-3x,在x=1处的切线为y=-2,与函数的图象还有一个公共点(-2,-2),故B正确;因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x-y=0,所以f'(1)=2. 又= -·,故当d→0时,→-f'(1)=-1≠1,故C错误;因为函数f(x)的导数f'(x)=x2-2,所以f '(1)=12-2=-1.又f(1)=2,所以切点坐标为(1,2),斜率为-1,所以切线方程为y-2=-(x-1),化简得x+y-3=0,故D正确. 6.已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设=a,则下列不等式正确的是 (　　) A.a<f'(2)<f'(4) B.f'(2)<a<f'(4) C.f'(4)<f'(2)<a D.f'(2)<f'(4)<a 解析:选B　由题图可知,在[2,4]内,函数增长的越来越快,故函数图象的切线斜率越来越大,而(2,f(2)),(4,f(4))两点连线的斜率为,其大小在点(2,f(2))处的切线斜率f'(2)与点(4,f(4))处的切线斜率f'(4)之间,所以f'(2)<a<f'(4). 7.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是,则点P横坐标的取值范围为 (　　) A. 　B.[-1,0] C.[0,1] 　D. 解析:选D　 ==2x+d+2,当d→0时,2x+d+2→2x+2,∴f'(x)=2x+2.∴可设P点横坐标为x0,则曲线C在点P处的切线斜率为2x0+2.由已知得2x0+2≥1,∴x0≥-,∴点P横坐标的取值范围为. 8.已知曲线y=f(x)=2-与y=g(x)=x3-x2+2x 在x=x0处的切线的斜率之积为3,则x0的值为 (　　) A.-2 B.1 C. D.2 解析:选B　由题意知, = =,当d→0时,=. = ==3+3x0d+d2-2x0-d+2,当d→0时,3+3x0d+d2-2x0-d+2→3-2x0+2,所以两曲线在x=x0处的切线的斜率分别为k1=f'(x0)=,k2=g'(x0)=3-2x0+2.由题意可知,k1k2=3,即=3,解得x0=1. 9.(5分)已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则y'|x=2=　　　　.  解析:因为直线3x-y-2=0的斜率为3,所以由导数的几何意义可知y'=3. 答案:3 10.(5分)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则=　 　　.  解析:由导数的概念和几何意义知,=f'(1)=kAB==-2. 答案:-2 11.(5分)已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则=　　　　.  解析:∵f'(1)=2,又==(ad+2a)=2a,∴2a=2, ∴a=1.又f(1)=a+b=3,∴b=2,∴=2. 答案:2 12.(10分)已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1,1),Q(2,-1),且在点Q处与直线y=x-3相切,求实数a,b,c的值. 解:∵曲线y=ax2+bx+c过点P(1,1), ∴a+b+c=1.① ∵y'= = =(2ax+b+ad)=2ax+b, ∴y'|x=2=4a+b,∴4a+b=1.② 又曲线过Q(2,-1)点, ∴4a+2b+c=-1,③ 联立①②③解得a=3,b=-11,c=9. 13.(10分)试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程. 解:设所求切线的切点为A(x0,y0), 则f'(x0)==2x0. ∵点A在曲线y=x2上,∴y0=, 又∵A是切点, ∴过点A的切线的斜率k=2x0, ∵所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点, ∴其斜率为=. ∴2x0=,解得x0=1或x0=5. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2. 当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10. ∴所求的切线有两条,方程分别为y-1=2(x-1)和y-25=10(x-5),即y=2x-1和y=10x-25. 14.(10分)设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0),若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值. 解:= ==3x2+2ax-9+(3x+a)d+d2,当d→0时,3x2+2ax-9+(3x+a)d+d2→3x2+2ax-9, 即f'(x)=3x2+2ax-9, ∴f'(x)=3-9-,当x=-时,f'(x)取最小值-9-.又斜率最小的切线与12x+y=6平行,∴-9-=-12,即a2=9,解得a=±3,又a<0,∴a=-3. 学科网（北京）股份有限公司 $