2.4.3-2.4.4（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2.4.3　向量与夹角 2.4.4　向量与距离 空间角 向量求法 范围 异面直线所成的角 设两条异面直线所成的角为θ,它们的方向向量分别为v1,v2,则 cos θ=|cos<v1,v2>|= (θ与<v1,v2>相等或互补)   直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ,l的方向向量为v,平面α的法向量 为n,则sin θ=|cos<v,n>|=     两个平面所成的角 设平面α,β所成的角为θ,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则cos θ= |cos<n1,n2>|= (θ与<n1,n2>相等或互补)   1 | 向量与夹角 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 说明    (1)当直线与平面平行或直线在平面内时,直线与平面所成的角为0; (2)两个平面相交会形成四个二面角,二面角的取值范围为[0,π],一般规定较小的 二面角为两个平面所成的角.两个平面平行时,它们所成的角为0. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 空间距离 向量求法 点到直线的距离 设直线l的方向向量为v,点P为l外一点,点A为l上任一点,则点P到l的距离d= 点到平面的距离 设n为平面α的法向量,点A为平面α内任一点,则平面α外任一点P到平面α的距离d=  两平行线间的距离 在平行直线m,n上分别任取一点A,P,设直线m的方向向量为v,则两平行线m,n间的距离d= (也可转化为点线距求解) 两平行平面间的距离 在平行平面α,β上各取一点A,B,设平面α的法向量为n,则两平行平面α,β之间的距离d= (也可转化为点面距求解) 2 | 向量与距离 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.当一条直线l与一个平面α的夹角为0°时,这条直线一定在平面内吗? 不一定.这条直线可能与平面平行. 2.为什么求空间角的公式中都带有绝对值? 因为两异面直线所成的角的范围是 ,直线与平面所成的角、两个平面所成 的角的范围均是 ,而两个向量的夹角的范围是[0,π],所以用向量计算空间角 时应加绝对值. 3.直线与平面所成的角α和该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β一定互余吗? 不一定.当直线的方向向量与平面的法向量的夹角β是钝角时,α和β不互余,而是α =β- . 知识辨析 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 4.当直线与平面相交时,直线到平面的距离为0吗? 只有当直线与平面平行时,才有直线到平面的距离. 5.若一条直线在某一平面外,则该直线上任一点到平面的距离d一定是一个正数吗? 不一定.直线在平面外时也可能与平面相交,当直线与平面相交时,该说法不成立. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 　　利用空间向量求空间角时,要注意空间角的范围与向量夹角的范围的区别. 1.两异面直线所成角的向量求法 (1)基向量法:在一些不容易建立空间直角坐标系的题中,我们经常用基向量法求 解.求向量v1,v2的夹角时,先把v1,v2用同一组基向量表示出来,再利用向量的夹角公 式求解. (2)坐标法:找出或作两条异面直线的方向向量,再利用向量夹角的坐标公式计算 两直线的方向向量的夹角. 2.直线与平面所成角的向量求法 法向量法:利用直线的方向向量和平面的法向量求直线与平面所成的角. 1 利用空间向量求空间角 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 3.求二面角的两种方法 (1)基向量法:在图形中找到与二面角的棱都垂直的两条异面直线,利用向量的线 性运算法则对两条直线的方向向量进行转化,求出两方向向量的夹角,进而求得 二面角的大小. (2)法向量法:找出或作两个半平面的法向量,应用向量的夹角公式求解. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何  典例　如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1 = ,∠BAD=120°. (1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值; (2)求二面角B-A1D-A的正弦值; (3)求直线AC1与平面BA1D所成角的正弦值. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 解析    在平面ABCD内,过点A作AE⊥AD,交BC于点E. 因为AA1⊥平面ABCD,AE,AD⊂平面ABCD,所以AA1⊥AE,AA1⊥AD,故AA1,AE,AD 两两垂直. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 如图,以A为原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,1为单位长度, 建立空间直角坐标系A-xyz. 因为AB=AD=2,AA1= ,∠BAD=120°, 所以AE= ,BE=1. 则A(0,0,0),B( ,-1,0),D(0,2,0),E( ,0,0),A1(0,0, ),C1( ,1, ). (1) =( ,-1,- ), =( ,1, ). 则cos< , >= = =- . 因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为 . (2)可知平面A1DA的一个法向量为 =( ,0,0). 设m=(x,y,z)为平面BA1D的法向量, 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 所以  又因为 =( ,-1,- ), =(- ,3,0), 所以  不妨取x=3,则y= ,z=2,所以m=(3, ,2)为平面BA1D的一个法向量, 从而cos< ,m>= = = .设二面角B-A1D-A的大小为θ,则|cos θ|= . 因为θ∈[0,π],所以sin θ= = .因此二面角B-A1D-A的正弦值为 . (3)易知直线AC1的一个方向向量为 =( ,1, ), 设直线AC1与平面BA1D所成的角为φ, 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 则sin φ=|cos< ,m>|= = = ,因此直线AC1与平面BA1D所成角的 正弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.用向量法求点到直线的距离的两种思路 (1)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题,过已知点作直线的垂线段, 利用待定系数法求出垂足的坐标,然后求出向量的模,这是求各种距离的通法. (2)直接套用点线距公式求解. 2.用向量法求点面距的步骤 (1)求出平面的一个法向量; (2)找出从已知点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; (3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值,再除以法向量的模,即可求 得点到平面的距离. 2 利用空间向量求空间距离 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 3.用向量法求线线距、线面距、面面距 (1)求线面距、面面距都可转化为求点面距,求两直线间的距离可转化为求一条 直线上任一点到另一条直线的距离; (2)求线线距、线面距、面面距的前提分别是线线、线面、面面平行. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何  典例　已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC 的中点. (1)求点D到平面PEF的距离; (2)求直线AC到平面PEF的距离. 思路点拨　思路一:求相关点到平面PEF的垂线段对应的向量的模. 思路二:求出平面PEF的法向量,利用点到平面的距离公式求解. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 解析    解法一:(1)建立如图所示的空间直角坐标系, 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),E ,F , ∴ = , = , =(0,0,1), = , = . 作DH⊥平面PEF,垂足为H,连接DE,DF,则 =x +y +z =  ,其中x+y+z=1.① 易知 · =x+ y+  -z= x+y-z=0,②  · =  + x+y-z=x+ y-z=0,③ 由①②③解得x=y= ,z= . ∴ = ,∴| |= . 因此,点D到平面PEF的距离为 . 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 (2)易知AC∥平面PEF,∴直线AC到平面PEF的距离即点A到平面PEF的距离.作 AH'⊥平面PEF,垂足为H',则 ∥ . 由(1)知 = , ∴设 =λ(2,2,3)=(2λ,2λ,3λ)(λ≠0),连接EH',则 = + = +(2λ,2λ, 3λ)= . 易知 · =4λ2+4λ2-λ+9λ2=0,∴λ= . ∴ = ,| |= . ∴直线AC到平面PEF的距离为 . 解法二:同解法一中建立的空间直角坐标系. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 (1)易知 = , = , = . 设平面PEF的法向量为n=(x,y,z), 则 ⇒ 解得  令x=2,则y=2,z=3,则n=(2,2,3)为平面PEF的一个法向量, ∴点D到平面PEF的距离d= = = . (2)易知AC∥平面PEF, ∴直线AC到平面PEF的距离即点A到平面PEF的距离. 又∵ = , 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 ∴点A到平面PEF的距离d= = = . ∴直线AC到平面PEF的距离为 . 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 利用空间向量解决与夹角、距离有关的探索性问题的解题步骤 (1)假设存在(或结论成立); (2)建立空间直角坐标系,得到相关点的坐标; (3)得到有关向量的坐标; (4)利用空间角、空间距离的计算公式列关系式求解; (5)根据解的情况做出判断. 3 利用空间向理解决与夹角、距离有关的探索性问题 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何  典例1　如图,在三棱锥P-ABC中,底面ABC是正三角形,AB=2PA=4,PA⊥底面 ABC,点E,F分别为AC,PC的中点.   (1)求证:平面BEF⊥平面PAC; (2)在线段PB(不含端点)上是否存在点G,使得平面EFG与平面PBC夹角的正弦值 为 ?若存在,确定点G的位置;若不存在,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 思路点拨    (1)利用面面垂直的判定定理证明. (2)建系,利用点G在线段PB上设出点G的坐标,求出两个平面的法向量,根据已知 条件求解方程,方程有解则存在,无解则不存在. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 解析    (1)证明:∵底面ABC是正三角形,∴AB=BC,又∵E为AC的中点,∴BE⊥AC. ∵PA⊥平面ABC,BE⊂平面ABC, ∴PA⊥BE. ∵PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC, ∴BE⊥平面PAC, 又∵BE⊂平面BEF,∴平面BEF⊥平面PAC. (2)不存在.理由如下: 易知PA⊥BE,PA⊥AC. ∵点E,F分别为AC,PC的中点, ∴EF∥PA, ∴EF⊥BE,EF⊥AC,又∵BE⊥AC, ∴EB,EC,EF两两垂直,以E为原点, , , 的方向分别为x,y,z轴的正方向,1为 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系,   则A(0,-2,0),P(0,-2,2),B(2 ,0,0),C(0,2,0),E(0,0,0),F(0,0,1), ∴ =(-2 ,-2,2), =(0,0,1), =(-2 ,2,0), =(0,4,-2), 设 =λ =(-2 λ,-2λ,2λ)(0<λ<1), ∴G(2 -2 λ,-2λ,2λ), ∴ =(2 -2 λ,-2λ,2λ). 设平面EFG的法向量为m=(a,b,c), 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 则 即  令a=λ,则b= (1-λ),∴m=(λ, - λ,0)是平面EFG的一个法向量. 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 则 即 令x=1,则y= ,z=2 ,∴n=(1, ,2 )是平面PBC 的一个法向量. 由|cos<m,n>|= =  = = ,得λ=1, 又∵λ∈(0,1), ∴在线段PB(不含端点)上不存在点G,使得平面EFG与平面PBC夹角的正弦值为  . 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何  典例2　如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥ CD,且PA=2,E为PD的中点.   (1)求证:PA⊥平面ABCD; (2)求PC与平面ACE所成角的正弦值; (3)在线段BC上是否存在点F,使得点E到平面PAF的距离为 ?若存在,确定点F 的位置;若不存在,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 思路点拨 (1)分别证明BC⊥平面PAB,CD⊥平面PAD,可得出PA⊥BC,PA⊥CD,再利用线面 垂直的判定定理可证得结论成立. (2)结合(1)中结论建立空间直角坐标系,利用向量法可求得结果. (3)假设存在满足题意的点F,且F(2,t,0)(0≤t≤2),利用向量法得出关于t的方程,解 方程即可得出结论. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 解析    (1)证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴BC⊥AB,CD⊥AD. ∵PB⊥BC,BC⊥AB,PB∩AB=B, ∴BC⊥平面PAB. ∵PA⊂平面PAB, ∴PA⊥BC. ∵PD⊥CD,CD⊥AD,PD∩AD=D, ∴CD⊥平面PAD. ∵PA⊂平面PAD,∴PA⊥CD. ∵BC∩CD=C,∴PA⊥平面ABCD. (2)由(1)知PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分 别为x轴、y轴、z轴,1为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系, 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何   则A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),∴ =(2,2,0), =(0,1,1), =(2,2,-2). 设平面ACE的法向量为m=(x,y,z), 则 取y=1,则x=-1,z=-1,∴m=(-1,1,-1)是平面ACE的一个法向量. cos<m, >= = = , ∴PC与平面ACE所成角的正弦值为 . (3)假设存在满足题意的点F,且F(2,t,0)(0≤t≤2). 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 易得 =(2,t,0), =(0,0,2), =(0,1,1). 设平面PAF的法向量为n=(a,b,c), 则  取a=t,则b=-2,c=0, ∴n=(t,-2,0). ∴点E到平面PAF的距离为 = = ,∴t=1. ∴当点F为线段BC的中点时,点E到平面PAF的距离为 . 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 素养　通过对空间向量与立体几何的研究发展直观想象和数学运算素养  素养解读  　　在立体几何的学习中,要逐步建立空间观念,能借助几何直观和空间想象感 知图形的特征和变化,对空间图形进行分解和组合,能够判断并证明空间中点、 线、面的位置关系. 在立体几何的综合题目中,会涉及线面平行与垂直、空间角、空间距离等,求解 思路一般是把这些立体几何问题通过向量转化为代数计算,所以熟练准确地运算 是解题的基本要求,在平时的学习中要加强运算能力的训练,养成良好的运算习 惯.  第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何  例题　《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1 000 多年.在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为 堑堵(qiàn dǔ);将底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马;将四个面均 为直角三角形的四面体称为鳖臑(biē nào).如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,AB⊥AC.   (1)求证:四棱锥B-A1ACC1为阳马; (2)若C1C=BC=2,当鳖臑C1-ABC的体积最大时,求平面A1BC与平面A1BC1夹角的余 弦值. 主编点评    此题背景取自我国古代数学典籍,彰显了我国古代数学文化,但这并 不意味着试题难度增加.题目对“堑堵”“阳马”“鳖臑”这三个生僻词进行了 典例呈现 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 定义解释,可以通过定义掌握空间几何体的结构特点,再结合不等式及空间角的 求解公式解决问题,注重培养信息整理、应用的能力. 解题思路    (1)证明:易知A1A⊥平面ABC,AB⊂平面ABC, ∴A1A⊥AB. 又∵AB⊥AC,A1A∩AC=A, ∴AB⊥平面ACC1A1. 又易知四边形ACC1A1为矩形, ∴四棱锥B-A1ACC1为阳马. (2)∵AB⊥AC,BC=2,∴AB2+AC2=4. 易知C1C⊥底面ABC,且C1C=2, ∴ = ·C1C· AB·AC= ·AB·AC≤ · = ,当且仅当AB=AC= 时,等 号成立. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,   则B( ,0,0),C(0, ,0),A1(0,0,2),C1(0, ,2),∴ =( ,0,-2), =(- , ,0), = (0, ,0). 设平面A1BC的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则 即  令x1= ,则y1= ,z1=1, 故平面A1BC的一个法向量为n1=( , ,1). 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 同理,平面A1BC1的一个法向量为n2=( ,0,1). ∵|cos<n1,n2>|= = = , ∴平面A1BC与平面A1BC1夹角的余弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何  思维升华  　　我们可以通过对实物进行观察、动手画立体图形的直观图、制作一些几何 模型来感受空间中点、线、面的位置关系,也可以借助多媒体等观察立体图形的 动态变化过程,培养空间感,从而提高空间想象能力. 实际解题过程中,当图形垂直特征明显,坐标易求时,优先选择用坐标法解决立体 几何问题,此种方法思路简单,解法固定,操作方便.特别是在处理探索性问题时,坐 标法更具备优势,需要熟练掌握. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 $$