2.4.2 第1课时 向量与垂直-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦空间线面垂直关系的判定，先以三垂线定理及其逆定理构建几何基础，再过渡到向量语言表述线线、线面、面面垂直的条件，形成从几何直观到代数工具的学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学，通过正方体、四棱锥等实例设计基础训练与题型示例，结合思维建模总结向量法证明步骤，培养数学思维的推理能力和数学语言的模型观念。课中助力教师系统授课，课后学生可借实例巩固，查漏补缺。

2.4.2　空间线面位置关系的判定 第1课时　向量与垂直 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解三垂线定理,能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.三垂线定理 (1)三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,则它和这条斜线也垂直. (2)三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它和这条斜线在平面内的射影也垂直. 2.空间中垂直关系的向量表示 (1)线线垂直 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0. (2)线面垂直 设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R,使得u=λn. (3)面面垂直 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0. |微|点|助|解| (1)用向量刻画空间中直线与平面间的平行、垂直等位置关系时,要注意线面关系与向量关系的异同,可简记为“同类同性,异类相反”,即线线平行(垂直)、面面平行(垂直)中向量仍平行(垂直),但线面平行(垂直)中向量变为垂直(平行); (2)由于直线的方向向量与平面的法向量都不是唯一的,所以运用时应以运算简便为标准进行选择. 基础落实训练 1.若直线l的一个方向向量为μ=(1,-2,3),平面α的一个法向量为n=(-2,4,-6),则 (　　) A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α相交 答案:B 2.已知平面α的一个法向量为a=(2,3,-1),平面β的一个法向量为b=(1,0,k),若α⊥β,则k等于 (　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案:C 3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D与BD1的位置关系为 (　　) A.相交 　　　B.平行 C.垂直 　　　D.无法判断 解析:选C　因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以AB⊥平面ADD1A1,故BD1在平面ADD1A1内的投影为AD1.又因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D,因此根据三垂线定理可得A1D⊥BD1. 题型(一)　证明直线与直线垂直 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF. 证明: 法一:坐标法　以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AD=a, 则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),于是F. ∵E在BC上,∴设E(m,1,0), ∴=(m,1,-1),=. ∵·=0,∴PE⊥AF. ∴无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF. 法二:基向量法　因为点E在边BC上,可设=λ,于是·=(++)·(+)=(++λ)·(+)=(·+·+·+·+λ·+λ·)=(0-1+1+0+0+0)=0, 因此⊥.故无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF. |思|维|建|模| 向量法证明线线垂直的思路方法 　　用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要思路是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可,具体方法有以下两种: 坐标法 用坐标表示出两条直线的方向向量,计算出两向量的数量积为0 基向 量法 将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来,计算出两向量的数量积为0 　 　　[针对训练] 1.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=,BC=1,AD=AA1=3.求证:AC⊥B1D. 证明:因为在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 又AB,AD⊂平面ABCD, 所以AA1⊥AB,AA1⊥AD. 又因为∠BAD=90°, 所以AB⊥AD,即AA1,AB,AD两两垂直,故以,,分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),C(,1,0),B1(,0,3),D(0,3,0), 所以=(,1,0),=(-,3,-3), 所以·=-3+3+0=0,所以AC⊥B1D. 题型(二)　证明直线与平面垂直 [例2]　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别为线段AB,A1A的中点,A1A=AC=BC,∠ACB=90°.求证:EF⊥平面B1CE. 证明: 由直三棱柱ABC-A1B1C1可知CC1⊥平面ABC,因为CA,CB⊂平面ABC,所以CC1⊥CA,CC1⊥CB,又因为CA⊥CB. 所以以{,,}为正交基建立如图所示的空间直角坐标系, 设A1A=AC=BC=2,则C(0,0,0),B1(0,2,2),E(1,1,0),F(2,0,1), 所以=(1,-1,1),=(0,2,2), =(-1,1,2), 设平面B1CE的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令z=-1,则y=1,x=-1,即n=(-1,1,-1), 所以=-n,即∥n, 所以EF⊥平面B1CE. |思|维|建|模| 用向量法证明线面垂直的两种思路 (1)证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行. 　　[针对训练] 2.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:A1C⊥平面BDC1. 证明:以点C为原点,分别以,,为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,则A1(1,1,1),C(0,0,0),B(0,1,0),D(1,0,0),C1(0,0,1), 所以=(-1,-1,-1),=(1,-1,0),=(0,-1,1),有·=-1+1+0=0且·=0+1-1=0,所以A1C⊥BD且A1C⊥BC1.又BD∩BC1=B,BD,BC1⊂平面BDC1, 所以A1C⊥平面BDC1. 题型(三)　证明平面与平面垂直 [例3]　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,如图,E,F分别是BB1,CD的中点.求证:平面AD1F⊥平面ADE. 证明:设棱长为2,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),D1(0,0,2),所以=(2,0,0), =(2,2,1),=(-2,0,2),=(-2,1,0),设平面ADE的法向量n=(x,y,z), 则 取y=1,得n=(0,1,-2).设平面AD1F的法向量m=(a,b,c),则取a=1,得m=(1,2,1),所以n·m=0+2-2=0,所以n⊥m,即平面AD1F⊥平面ADE. |思|维|建|模| 向量法证明面面垂直的两种思路 (1)证明两个平面的法向量垂直. (2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面. 　　[针对训练] 3.如图,△ABC是一个正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD.求证:平面DEA⊥平面ECA. 证明:建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设CA=2,则CE=2,BD=1, 则C(0,0,0),A(,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1),所以=(,1,-2),=(0,0,2),=(0,2,-1),设平面ECA的法向量n1=(x1,y1,z1), 则 取x1=1,则y1=-,z1=0,即n1=(1,-,0). 设平面DEA的法向量n2=(x2,y2,z2), 则取x2=, 则y2=1,z2=2,即n2=(,1,2), 因为n1·n2=1×+(-)×1+0×2=0, 所以n1⊥n2,所以平面DEA⊥平面ECA. 学科网（北京）股份有限公司 $