2.4.1-2.4.2（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2.4　空间向量在立体几何中的应用 2.4.1　空间直线的方向向量和平面的法向量 2.4.2　空间线面位置关系的判定 1.位置向量:在空间中,取一定点O作为原点,那么空间中任意一点P的位置就可以 用向量 来表示, 称为点P的位置向量. 2.直线的方向向量:一般地,如果非零向量v与直线l平行,就称v为l的方向向量.由此 可知,在直线l上任取两点A,B,则 (或 )就是直线l的方向向量. 3.平面的法向量:如果非零向量n所在直线与平面α垂直,则称n为平面α的法向量. 1 | 空间直线的方向向量和平面的法向量 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 　　设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为v1=(x1,y1,z1),v2=(x2,y2,z2),两个平面α1,α2 的法向量分别为n1=(a1,b1,c1),n2=(a2,b2,c2),则 2 | 空间线面位置关系的判定 位置关系 向量表示 向量运算 坐标运算 l1⊥l2 v1⊥v2 v1·v2=0 x1x2+y1y2+z1z2=0 l1⊥α1 v1∥n1 n1=kv1 a1=kx1,b1=ky1,c1=kz1,k为非零常数 α1⊥α2 n1⊥n2 n1·n2=0 a1a2+b1b2+c1c2=0 l1∥l2 v1∥v2 v2=kv1 x2=kx1,y2=ky1,z2=kz1,k为非零常数 l1∥α1 v1⊥n1 v1·n1=0 x1a1+y1b1+z1c1=0 α1∥α2 n1∥n2 n2=kn1 a2=ka1,b2=kb1,c2=kc1,k为非零常数 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.点在平面内的射影:过点P作平面α的垂线,则称垂足P0为点P在平面α内的射影. 2.三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂 直,则它和这条斜线也垂直.可简记为:垂直于射影,则垂直于斜线. 3.三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它 和这条斜线在平面内的射影也垂直.可简记为:垂直于斜线,则垂直于射影. 3 | 三垂线定理及其逆定理 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗?若不唯一,直线的方向向量之间 的关系是怎样的?平面的法向量之间的关系是怎样的? 直线的方向向量和平面的法向量不是唯一的,直线的不同的方向向量是共线向 量,平面的不同的法向量也是共线向量. 2.若直线l的方向向量为u,平面α的一个法向量为v,且u⊥v,那么l与α平行吗? 不一定.也可能满足l在α内. 3.若直线l的一个方向向量为a,向量b∥平面α,向量c∥α,且a⊥b,a⊥c,则l与α有怎 样的位置关系? 当b与c不共线时,l⊥α;当b与c共线时,l与α的位置关系不确定. 4.若向量a⊥α,a∥β,则平面α,β有怎样的位置关系? α⊥β. 知识辨析 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.利用向量法证明线线垂直的两种思路 (1)坐标法:建立空间直角坐标系,将两直线的方向向量用坐标表示出来,再证明其 数量积为0. (2)基向量法:利用向量的线性运算,将要证明的两条直线的方向向量用基向量表 示出来,再利用数量积运算证明两方向向量的数量积为0. 2.利用向量法证明线面垂直的两种思路 (1)求平面的法向量,然后证明直线的方向向量与平面的法向量平行. (2)证明直线与平面内不共线的两直线分别垂直,线线垂直则利用向量法证得. 3.利用向量法证明面面垂直的两种思路 (1)证明一个平面过另一个平面的垂线,其实质是转化为利用向量法证明线线 垂直. (2)证明两个平面的法向量互相垂直. 1 利用空间向量证明垂直关系 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何  典例　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面 B1AC. 证明    证法一:设 =a, =b, =c,连接BD,如图, 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 则 = + = ( + ) = ( + )= ( + - )= (b+c-a), = +  =a+b, ∵ · = (-a+b+c)·(a+b)= (b2-a2+c·a+c·b)= (|b|2-|a|2+0+0)=0,∴ ⊥ ,即EF ⊥AB1. 同理可证EF⊥B1C. 又∵AB1∩B1C=B1,AB1,B1C⊂平面B1AC, ∴EF⊥平面B1AC. 证法二:设正方体的棱长为2a,建立如图所示的空间直角坐标系, 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 则A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(2a,2a,2a),E(2a,2a,a),F(a,a,2a), ∴ =(-a,-a,a), =(0,2a,2a), =(-2a,2a,0). ∵ · =(-a,-a,a)·(0,2a,2a)=-a×0+(-a)×2a+a×2a=0,  · =(-a,-a,a)·(-2a,2a,0)=2a2-2a2+0=0, ∴EF⊥AB1,EF⊥AC. 又∵AB1∩AC=A,AB1,AC⊂平面B1AC, ∴EF⊥平面B1AC. 证法三:由证法二,得 =(-a,-a,a),  =(0,2a,2a), =(-2a,2a,0). 设平面B1AC的法向量为n=(x,y,z), 则 得 令y=1,则x=1,z=-1,∴n=(1,1,-1)为平面B1AC的一个 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 法向量, ∵ =-an,∴ ∥n,∴EF⊥平面B1AC. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.利用向量法证明线线平行的两种思路 (1)建立空间直角坐标系,利用向量平行的坐标表示证明两直线的方向向量平行. (2)用空间的一组基表示两直线的方向向量,通过向量的线性运算,结合向量共线 的充要条件证明两直线的方向向量平行. 2.利用向量法证明线面平行的三种思路 (1)设平面α外的直线l的方向向量为v,平面α的法向量为n,要证明l∥α,只需证明v ⊥n,即v·n=0即可. (2)根据线面平行的判定定理,将线面平行转化为线线平行,证明线线平行则可转 化为证明两直线的方向向量平行. (3)根据平面向量基本定理,要证线面平行,则只需证明这条直线的方向向量能够 用平面内的两个不共线的向量线性表示即可. 2 利用空间向量证明平行关系 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 3.利用向量法证明面面平行的两种思路 (1)先分别求出两平面的法向量,再证明两法向量平行. (2)证明一个平面内有两个不共线的向量平行于另一个平面,转化为线面平行问题. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何  典例　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CC1,B1C1的中点.求证:MN∥平面 A1BD. 思路点拨 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 证明    证法一:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,1为单 位长度,建立空间直角坐标系. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),M ,N , ∴ =(1,0,1), =(1,1,0), = . 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z), 则 取x=1,则y=-1,z=-1, ∴平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1). ∵ ·n= ·(1,-1,-1)=0, ∴ ⊥n,又∵MN⊄平面A1BD, ∴MN∥平面A1BD. 证法二: = - =  -  = ( - )=  , 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 ∴ ∥ ,∴MN∥DA1, 又∵MN⊄平面A1BD,∴MN∥平面A1BD. 证法三: = - =  -  =  -  = ( + )- ( + )=  -   . 根据平面向量基本定理可知,MN∥平面A1BD. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 解决探索性问题的基本方法 (1)对于存在型问题,应先假设存在,把要成立的结论当作已知条件,据此列方程或 方程组,把“是否存在”问题转化为“是否有解”或“是否有规定范围内的解” 的问题. (2)对于位置探究型问题,通常是借助向量,引入参数,综合已知条件和结论列方程 或方程组,解出参数,从而确定位置. 3 利用空间向量解决立体几何中的探索性问题 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何  典例　如图,正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直,已 知BC=4,AB=AD=2. (1)求证:AC⊥BF; (2)在线段BE上是否存在一点P,使得平面PAC⊥平面BCEF?若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 解析    (1)证明:∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AF⊥AD, AF⊂平面ADEF,∴AF⊥平面ABCD. ∵AC⊂平面ABCD,∴AF⊥AC. 过A作AH⊥BC于H,则BH=1,AH= ,CH=3,∴AC=2 ,∴AB2+AC2=BC2,∴AC⊥ AB. ∵AB∩AF=A,∴AC⊥平面FAB, ∵BF⊂平面FAB,∴AC⊥BF. (2)由(1)知,AF,AB,AC两两垂直. 以A为坐标原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,1为单位长度, 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2 ,0),E(-1, ,2). 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 假设在线段BE上存在一点P满足题意,则易知点P不与点B,E重合,设 =λ,则λ>0, P . 设平面PAC的法向量为m=(x,y,z). 又因为 = ,  =(0,2 ,0), 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 所以  即 令x=1,则z= , ∴m= 为平面PAC的一个法向量. 同理,可求得n= 为平面BCEF的一个法向量. 当m·n=0,即1+ =0,即λ= 时,平面PAC⊥平面BCEF, 故存在满足题意的点P,此时 = . 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 $$