2.2 空间向量及其运算（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2.2　空间向量及其运算 1.空间向量的基本概念 (1)定义:空间中既有大小又有方向的量称为空间向量. (2)向量的模:空间向量a的大小(或长度)称为a的模,记为|a|. (3)表示:从空间中任意一点A出发作有向线段 ,使 的方向与a相同,长度与|a| 相等,则有向线段 表示向量a,记作a= .通常把A称为向量 的起点,B称为向 量 的终点. 1 | 空间向量的基本概念 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 2.几类特殊的空间向量 名称 定义 零向量 长度为0的向量 相等向量 方向相同且长度相等的向量 相反向量 方向相反、长度相等的向量 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.空间向量的加减法法则 　　平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则对空间向量也成立. (1)对于空间任意两个向量a,b,在平面α内任取一点O,作 =a, =b, =b,则a+b=  ,a-b= . (2)对于空间三个或更多的向量的求和,与平面内多个向量的加法类似,可将它们 依次用首尾相接的折线来表示,则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点 所得的向量即为这些向量的和向量. 2 | 空间向量的加减法 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 2.空间向量的加法运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.向量与实数相乘的定义:任何一个向量a都可看作某平面上的向量,它与实数λ相 乘可类比平面向量数乘的法则进行,因而有|λa|=|λ||a|. 当λ>0时,λa与a方向相同;当λ<0时,λa与a方向相反. 空间向量的加法、减法、数乘三种运算统称为空间向量的线性运算. 2.单位向量:长度为1的向量称为单位向量. 对于每个非零向量a,可得到与它方向相同的唯一单位向量e= a. 3.共线向量:对于空间任意两个向量a,b(a≠0),若b=λa,其中λ为实数,则b与a共线或 平行,记作b∥a. 　　零向量与任意向量共线. 3 | 向量与实数相乘 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 4.空间向量与实数的乘法的运算律 (1)对向量加法的分配律:λ(a+b)=λa+λb. (2)对实数加法的分配律:(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.向量的夹角:作 =a, =b,则∠AOB称为向量a,b的夹角,记作<a,b>,其取值范 围为[0,π].两向量同向时,夹角为0;两向量反向时,夹角为π. 2.向量的数量积:定义a·b=|a||b|·cos<a,b>为a与b的数量积. 零向量与任意向量的数量积为0,即0·a=0. 3.向量数量积的性质 (1)向量垂直的关系式: a⊥b⇔a·b=0. 注:零向量与任意向量垂直. (2)模长公式:a·a=|a|2=a2,|a|=  . (3)夹角公式:若a,b均为非零向量,则cos<a,b>= . 4.向量数量积的运算律 (1)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R). 4 | 向量的数量积 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 (2)交换律:a·b=b·a. (3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c. 5.向量数量积的几何意义 (1)投影向量与投影长:   　　如图,将空间任意两个向量a,b平移到同一个平面内,可得 =a, =b,<a,b>= α,过点B作BB1⊥OA,垂足为点B1,则 为 在 方向上的投影向量,投影向量的 模| |=| ||cos α|称为投影长, 称| |cos α为 在 方向上的投影. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 (2)数量积的几何意义:a与b的数量积等于a的模|a|与b在a方向上的投影|b|·cos α的 乘积,也等于b的模|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积. 知识拓展    空间向量的三角不等式 如果a,b都是空间向量,那么||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.相等向量一定是共线向量吗? 是.若a,b相等,则a=b=1×b,符合共线向量的定义,故a与b是共线向量. 2.当a=0或b=0时,a,b的夹角为0,对吗? 不对.因为零向量的方向可以任取,所以当a=0或b=0时,夹角<a,b>可以在[0,π]中任 意选定. 3. 在 方向上的投影一定是非负数吗? 不一定. 在 方向上的投影为| |·cos< , >,当< , >为钝角时,cos< ,  >为负数,此时 在 方向上的投影为负数. 4.对于空间内任意三个向量a,b,c,a·(b·c)=(a·b)·c一定成立吗? 不一定.因为b·c,a·b的结果是实数,所以a·(b·c)是与a共线的向量,(a·b)·c是与c共线 的向量,而a,c不一定共线,所以a·(b·c)与(a·b)·c不一定相等. 知识辨析 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 空间向量的线性表示的步骤 (1)在空间中选三条不在同一个平面内的向量; (2)利用向量的线性运算表示空间中的其他向量. 1 空间向量的线性表示 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何  典例　如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设 =a, =b, =c,M,N,P分别 是AA1,BC,C1D1的中点.试用向量a,b,c表示以下各向量. (1) ;(2) + . 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 解析    (1)∵P是C1D1的中点,∴ =  , ∴ = + + =a+ +  =a+c+  =a+c+ b. (2)∵M是AA1的中点,∴ =  , ∴ = + =  + =- a+ = a+ b+c. ∵N是BC的中点,∴ =  ,∴ = + =  + =  + = c+a. ∴ + = + = a+ b+ c. 技巧点拨    用已知向量表示未知向量时,一定要结合图形,以图形为指导,尤其要 注意利用图形中的三角形或平行四边形进行合理转化. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 　　求解两点间距离问题时,转化为求以两点为端点的有向线段表示的向量的模 的问题,然后将此向量表示为已知的几个向量和或差的形式,求出已知向量两两 之间的夹角以及它们的模,利用公式|a|= (推广公式:|a±b|= =  )求解即可. 2 利用数量积求距离问题 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何  典例　如图,在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,并 且| |=6,求 及线段PC的长. 解析    易知PA⊥AD,PA⊥DC,且 = + + , ∴ =( + + )2= + + +2 · +2 · +2 · =62+42+32+0+ 0+2| || |cos 120°=61-12=49.∴| |=7.线段PC的长即为 的模,即为7. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.求空间两个向量的夹角的方法 (1)结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹角的范围; (2)先求a·b,再利用公式cos<a,b>= 求cos<a,b>,最后确定<a,b>. 2.求两条异面直线所成的角的步骤 (1)根据题设条件在两条异面直线上分别取一个有向线段表示的向量; (2)将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题; (3)利用向量的数量积求向量夹角的余弦值; (4)由于异面直线所成的角为锐角或直角,因此向量夹角的余弦值的绝对值等于 异面直线所成的角的余弦值,进而求出异面直线所成的角的大小. 3 利用数量积求解夹角问题 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何  典例　在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°, 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为　　　    . 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 解析    设三棱柱的底面边长和侧棱长都为1, 因为 = + , = - = + - , 所以| |2=( + )2= +2 · + =2+2cos 60°=3,| |2=( + - )2=  + + +2 · -2 · -2 · =2, 又因为 · =( + )·( + - )= · + · - + · + -  · = + -1+ +1- =1, 所以cos< , >= = = . 所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 答案      第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.由数量积的性质a⊥b⇔a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行 的非零向量,然后证明这两个向量的数量积为0即可. 2.用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题; (2)用已知向量表示所证向量; (3)结合数量积公式和运算律证数量积为0; (4)将向量问题回归到几何问题. 4 利用数量积证明两直线垂直 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何  典例　如图,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,求证:AO,BO,CO两两垂直. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 思路点拨　因为正四面体的各条棱长都相等,且相邻两条棱的夹角为60°,所以可 以用同一起点的向量表示 , , ,从而利用数量积的运算证明垂直关系. 证明    设 =a, =b, =c,正四面体的棱长为1,则 = + = + × ( +  )= + ( - + - )= (a+b+c), = - =  - = (b+c-5a), = -  =  - = (a+c-5b), = - =  - = (a+b-5c), 所以 · = (b+c-5a)·(a+c-5b)= (26a·b-4b·c-4a·c-5a2-5b2+c2)= ×(26×1×1× cos 60°-4×1×1×cos 60°-4×1×1×cos 60°-9)=0, 所以 ⊥ ,即AO⊥BO. 同理,AO⊥CO,BO⊥CO. 所以AO,BO,CO两两垂直. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 $$