2.2 第1课时 空间向量及其线性运算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

2．2　空间向量及其运算 第一课时　空间向量及其线性运算 [学习目标]　1.体会由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.体会由平面向量的线性运算及其运算律推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算及其运算律.3.了解共线向量、共面向量的意义，掌握其表示方法，理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论． 知识点一　空间向量的基本概念 [问题导引]　刘力同学放学回家，先从学校大门口出发向北行走600米，再向东行走500米，最后乘电梯上行45米到达住处．刘力同学放学回家的三个位移在同一平面内吗？ 提示：　不在同一个平面内． 　空间向量的基本概念 (1)定义：在空间中既有大小又有方向的量称为空间向量，如力、速度、位移等，用黑斜体小写字母a，b或带箭头的小写字母，或者有向线段表示． (2)长度或模：向量a的大小(或长度)称为向量的模，记作|a|或者||. 零向量：长度为0的向量是零向量，也即模等于零的向量，记作0. (3)单位向量：单位向量是指模等于1的向量．由于是非零向量，单位向量具有确定的方向．单位向量有无数个． (4)相反向量：方向相反、长度相等的向量称为相反向量． (5)相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫作相等向量． (6)共线向量或平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量．因为任一组平行向量都可移到同一直线上，所以平行向量又叫作共线向量． 点拨：　注意零向量的方向是任意的、无法确定的．但我们规定：零向量与任意向量平行，与任意向量共线，与任意向量垂直．零向量的方向不确定，但模的大小确定．平行向量一定是共线向量，共线向量一定是平行向量，两者概念是相同的． 学生用书第44页 如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中： (1)向量，，与向量相等吗？ (2)向量，，与向量是相反向量吗？ 解析：　(1)由于，，均与的方向相同、长度相等，因而它们均与相等． (2)由于，，的长度均与的长度相等，但方向相反，因而它们均是的相反向量． 相等向量与相反向量在空间几何体中的区分：方向是否相反，长度是否相等．　　 即时练1.如图，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，设＝a，＝b，＝c，则下列与向量相等的表达式是(　　 ) A．－a＋b＋c B．－a－b＋c C．a－b－c D．a＋b－c D　[由题意：＝＋＋＝－＋＋＝－c＋a＋b＝a＋b－c.故选D．] 知识点二　空间向量的线性运算 [问题导引]　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，过同一个顶点A的三条棱所在的向量、、. (1)三条棱所在的向量在同一个平面内吗？这三个向量是相等向量吗？ (2)＋＋1能运算吗？为什么？如何运算？ 提示：　(1)不在；不是，方向不同． (2)能，任意两个向量都共面，所以空间中任意两个向量的运算都可以转化为同一个平面内平面向量的运算，借助于平行四边形法则或三角形法则求解． 1．空间向量的加法、减法及数乘运算 (1)类似于平面向量，定义空间向量的加法、减法运算： ①＝＋＝a＋b ； ②＝－＝a－b. (2)空间向量的数乘运算： 与平面向量一样，实数λ 与空间向量a的乘积λa仍然是一个 向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下： ① |λa|＝|λ||a|； ②当λ>0 时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0 时，λa与向量a方向 相反；当λ＝0时，λa＝0． 点拨：　类比平面向量，空间向量仍然满足平行四边形法则或三角形法则，空间向量的数乘运算可类比平面向量数乘运算的法则进行． 2．空间向量线性运算的运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.(其中λ，μ∈R)． 点拨：　空间向量的加法、减法、数乘的结果仍然是向量，进行运算的运算律是重要的依据． 学生用书第45页 已知平行六面体ABCD­A′B′C′D′，化简下列各式： (1)＋＋； (2)－＋. 解析：　(1)因为＝，＝， 所以＋＋＝＋＋＝. (2)因为＝， 所以－＋＝－＋＝＋＝. 把空间向量的运算转化为平面向量的运算，运用平行四边形法则或三角形法则，注意三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量．　　 即时练2.如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下向量： (1)； (2)； (3)＋. 解析：　(1)因为P是C1D1的中点， 所以＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋b＋c. (2)因为 N 是BC的中点， 所以＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. (3)因为 M 是AA1的中点， 所以＝＋＝