2.1.1建立空间直角坐标系（教学课件）数学湘教版选择性必修第二册

2.1.1建立空间直角坐标系 湘教版选择性必修第二册 第2章空间向量与立体几何 学习目标 目标 1 掌握空间直角坐标系的有关概念. 会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何体顶点的有关坐标. 重点 2 难点 3 空间直角坐标系中点的坐标表示 建立空间直角坐标系 x 0 -1 -2 1 2 3 B A 问题1：在数轴上确定一个点的位置需要几个实数？ 在数轴上，一个实数x确定一个点的位置 新课导入 x y P O x y (x,y) 问题2：在平面直角坐标系中确定一个点需要几个实数？ 在平面直角坐标系中，需要一个有序实数对(x，y)才能确定一个点. 问题3：那么如何确定空间中任意一点的位置呢？ 新课导入 如图如何刻画在海面上空飞行的飞机的位置P？ 思考 很自然地，我们会想到先说明飞机在海面上哪 一点P'的上空，再说明飞机在海面上的高度|P'P|． 新课讲授 新课导入 如图，将海面看成一个平面，从飞机在空中所在位置向海平面作垂线 PP'，垂足为P'，则飞机在 P'上空． 为了刻画 P' 在海平面上的位置，在海平面上建立平面直角坐标系，则P' 可以由它在这个坐标系中的坐标(x，y)来刻画． 因而将x，y，z这三个实数组成有序实数组(x，y，z)，它就刻画了飞机的位置 P，称之为点P的坐标． (x，y，z)=(2，3，2)，单位长度为1 km；就说明飞机在海平面坐标为(2，3)的位置上空，高度为2 km． 如图，你能说出飞机所在的位置吗？ 你能说出坐标为(2，3，－0.5)代表的意义吗？ 说明点位于海平面坐标为(2，3)的位置正下方，且在海平面以下0.5 km处． 只要给出空间点的坐标，我们就能确定空间一点的位置，你能类比平面直角坐标系的方法建立空间直角坐标系吗？ 新课讲授 如图，在空间任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线ox,oy,oz,在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. x y z O 坐标原点 x轴 y轴 z轴 通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面. 新课讲授 教学流程 交流与讨论 画空间直角坐标系时，是否任意两坐标轴的夹角都画成90°? 在平面上画空间直角坐标系时，为增强直观性，一般使∠xOy=135°，使x轴、y轴确定的平面水平，∠yOz=90°，以表示z轴竖直. ． 一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面. 它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向. 我们也称这样的坐标系为右手系(如图). 新课讲授 思考：观察前面的空间直角坐标系，其中的x,y,z轴是如何规定的？ 教学流程 交流与讨论 建立了空间直角坐标系，如何确定一个点的坐标？ 新课讲授 如图 ，若点 P不在三个坐标平面内，则过点 P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点A，B，C． 设交点A，B，C分别代表唯一的实x，y，z，将这三个实数按顺序排成(x，y，z)，那么点P就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)． 这就建立了空间中的点 P与有序实数组(x，y，z)之间的一一对应关系． 反过来，给定有序实数组(x，y，z)，我们可以在 x轴、y轴和z轴上依次选取坐标为 x，y，z 的点A，B，C，过这三点分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，则这三个平面的唯一交点就是有序实数组(x，y，z)所确定的点 P． 新课讲授 P↔(x，y，z). 横坐标 纵坐标 竖坐标 空间中点的坐标： 有序实数组(x，y，z)，称为点P的坐标，记作 P(x，y，z)， 其中x称为点 P的横坐标，y称为点 P的纵坐标，z称为点 P的竖坐标． 新课讲授 原点的坐标为O(0，0，0)， x轴上的点的坐标为(x，0，0)， y轴上的点的坐标为(0，y，0)， z轴上的点的坐标为(0，0，z)． 请写出空间直角坐标系中，原点和坐标轴上的点的坐标 新课讲授 xOy平面内的点的坐标为(x，y，0)， yOz平面内的点的坐标为(0，y，z)， xOz平面内的点的坐标为(x，0，z)． 请写出空间直角坐标系中，坐标平面上的点的坐标 新课讲授 例1 在空间直角坐标系中，描出下列各点： （1）A(0，0，4)； （2）B(3，－3，0)； （3）C(1，2，3)． 典例分析 例2 长方体ABCD-A'B'C'D'的长、宽、高分别为|AB|=8，|AD|=3，|AA'|=5． 建立适当的空间直角坐标系，并求顶点A，B，C，D，A'，B'，C'，D'的坐标． 解：如图，以A为原点，分别以有向直线AB，AD，AA'为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系A-xyz，则点A，B，C，D 都在平面xAy内，因而其竖坐标z都为0，因此 A，B，C，D的坐 标分别是 A(0，0，0)，B(8，0，0)，C(8，3，0)，D(0，3，0)． 典例分析 由于点A'，B'，C'，DF'都在一个垂直于z轴的平面 A'B'C'D'内，又|AA' |=5，所以这四点的竖坐标z都是5． 又过A'，B'，C'，D'分别作xAy平面的垂线，垂足 分别为A，B，C，D，因此A'，B'，C'，D'的横坐标x、 纵坐标y分别与A，B，C，D的横坐标x、纵坐标 y相同． 因此A'，B'，C'，D'的坐标分别是 A' (0，0，5)，B' (8，0，5)，C' (8，3，5)，D' (0，3，5)． 典例分析 (1)先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置； (2)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点． 根据点的坐标确定点位置的方法： 新课讲授 练习1. 在空间直角坐标系中，描出下列各点： （1）A(1，1，1);（2）B(1，1，-1);（3）C(1，-1，1);（4）E(-1，1，1) 观察点A,B,C,E请指出B,C,E与点A的位置关系 学以致用 空间直角坐标系中，点 (x，y，z)关于坐标平面的对称点： 关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(x，y，－z)； 关于坐标平面xOz的对称点的坐标为(x，－y，z)； 关于坐标平面yOz的对称点的坐标为(－x，y，z)； 新课讲授 练习1. 在空间直角坐标系中，描出下列各点： (5)D(1，-1，-1);（6）F(-1，1，-1);（7）G(-1，-1，1);（8）H(-1，-1，-1) 观察点A,D,G,F,H请指出D,G,F,H分别与点A的位置关系 学以致用 空间直角坐标系中，点(x，y，z)关于坐标轴及原点的对称点： 关于x轴的对称点的坐标为(x，－y，－z)； 关于y轴的对称点的坐标为(－x，y，－z)； 关于z轴的对称点的坐标为(－x，－y，z)； 关于原点轴的对称点的坐标为(－x，－y，－z)． 新课讲授 练习2.分别求出点A(2，3，4)，B(1，－2，3)关于各个坐标平面、坐标轴、原点对称的点的坐标． 解：点A(2，3，4)， 关于坐标平面xOy的对称点的坐标为A1(2，3，－4)； 关于坐标平面xOz的对称点的坐标为A2(2，－3，4)； 关于坐标平面yOz的对称点的坐标为A3(－2，3，4)． 新课讲授 解：点A(2，3，4)， 关于x轴的对称点的坐标为A4(2，－3，－4)； 关于y轴的对称点的坐标为A5(－2，3，－4)； 关于z轴的对称点的坐标为A6(－2，－3，4)； 关于原点轴的对称点的坐标为A7(－2，－3，－4)． 新课讲授 解：点B(1，－2，3)， 关于坐标平面xOy的对称点的坐标为B1(1，－2，－3)； 关于坐标平面xOz的对称点的坐标为B2(1，2，3)； 关于坐标平面yOz的对称点的坐标为B3(－1，－2，3)． 新课讲授 解：点B(1，－2，3)， 关于坐标平面xOy的对称点的坐标为B1(1，－2，－3)； 关于坐标平面xOz的对称点的坐标为B2(1，2，3)； 关于坐标平面yOz的对称点的坐标为B3(－1，－2，3)． 新课讲授 解：点B(1，－2，3)， 关于坐标平面xOy的对称点的坐标为B1(1，－2，－3)； 关于坐标平面xOz的对称点的坐标为B2(1，2，3)； 关于坐标平面yOz的对称点的坐标为B3(－1，－2，3)． 新课讲授 回顾所学内容，回答下列问题： 1.如何建立空间直角坐标系？ 2.如何表示空间直角坐标系中点的坐标. 3.如何根据点的坐标确定点的位置？ 4.点关于坐标平面，坐标轴和坐标原点的对称点的坐标分别是什么？ 总结反思 湘教版选择性必修第二册 感谢聆听 $$