1.3.3-1.3.4（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1.3.3　三次函数的性质:单调区间和极值 1.3.4　导数的应用举例 1 | 利用导数研究函数的最大（小）值问题 1.一般地,如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么该 函数在[a,b]上必有最大值和最小值,且必在极值点或区间端点处取得. 2.已知函数f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最值的步 骤如下: (1)求函数f(x)在(a,b)内的极值; (2)求函数f(x)在端点处的函数值f(a),f(b); (3)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大者是最大值,最小者是最小值. 注意:不要忽略将所求极值与区间端点处的函数值进行比较的过程. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 　　利用导数解决优化问题的基本思路: 2 | 利用导数研究生活中的优化问题 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.如果在(a,b)上单调递增的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么f(x)有最值吗? 没有.f(x)的值域是(f(a),f(b)),无最值. 2.函数的极值和最值有何差别?函数的最值是否唯一? 函数的极值是一个局部概念,只是描述在某个点附近的函数值的特征,并不意味 着函数在整个定义域内存在最值;函数的最值是唯一的. 3.已知函数f(x)的定义域为[a,b],则它的最大(小)值点一定是极值点吗? 不一定.也有可能是a,b两个端点,如y=x2在区间[1,2]上的最大值为4,最小值为1,但 其在区间[1,2]上并不存在极大值和极小值. 4.在实际问题中,如果建立的函数模型在定义域内只有一个极值点,怎样求函数的 最值? 可以根据函数的变化趋势判断,函数在该极值点处取得最值. 知识辨析 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 　　含有参数的函数的最值问题一般有两类: 一类是求含有参数的函数的最值,对于此类问题,参数的取值范围不同会导致函 数的单调性变化,从而导致最值变化,因此求解时常常需要分类讨论,在分类讨论 解决函数的单调性的基础上,比较极值与端点值的大小,进而得到最值. 另一类是由最值求参数的值或取值范围,此类问题是根据导数求函数最值问题的 逆向运用,求解此类问题的步骤如下: (1)求导数f'(x),并求极值; (2)利用单调性,将极值与端点处的函数值进行比较,确定函数的最值,若参数的变 化影响着函数的单调性,则要对参数进行分类讨论; (3)利用最值列出关于参数的关系式,求解即可. 1 含参数的函数的最值问题 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用  典例1　已知函数f(x)=x3-ax2-a2x,求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值. 思路点拨　求f'(x) 令f'(x)=0 对a进行分类讨论 得出f(x)的单调性  求函数的最值. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 解析    由题意得, f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a). 令f'(x)=0,得x=- 或x=a. ①当a>0时, f(x)在[0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=a处取得极 小值,也是最小值,即f(x)min=f(a)=-a3; ②当a=0时, f'(x)=3x2≥0,当且仅当x=0时取等号,故f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以 f(x)min=f(0)=0; ③当a<0时, f(x)在 上单调递减,在 上单调递增,所以f(x)在x=- 处取 得极小值,也是最小值,即f(x)min=f  = a3. 综上所述,当a>0时, f(x)的最小值为-a3; 当a=0时, f(x)的最小值为0; 当a<0时, f(x)的最小值为 a3. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 解题模板    对参数进行讨论,其实质是讨论导函数f'(x)与0的关系.若导函数f'(x)≥ 0或f'(x)≤0恒成立,且等号不恒成立,则函数在已知区间上是单调函数,最值在区间 端点处取得,否则需分类讨论求出极值,再与区间端点值比较后确定最大(小)值. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用  典例2　已知函数f(x)=ln x+ . (1)当a<0时,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是 ,求a的值. 思路点拨    (1)求f'(x) 求函数的单调区间. (2)对a进行分类讨论,分别求出各种情况下的函数f(x)在[1,e]上的最小值 根据 最小值是 列方程 求出a的值. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 解析    (1)函数f(x)=ln x+ 的定义域为(0,+∞), f'(x)= - = , ∵x>0,a<0,∴f'(x)>0, ∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. ∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间. (2)分如下情况讨论: ①当a<1时, f'(x)>0,函数f(x)在[1,e]上单调递增,其最小值为f(1)=a<1,与最小值是  矛盾; ②当a=1时,f'(x)≥0,函数f(x)在[1,e]上单调递增,其最小值为f(1)=1,与最小值是 矛 盾; ③当1<a<e时,若x∈[1,a),则f'(x)<0,若x∈(a,e],则f'(x)>0,∴函数f(x)在[1,a)上单调递 减,在(a,e]上单调递增, 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 ∴函数f(x)的极小值,也是最小值,为f(a)=ln a+1,由ln a+1= ,得a= ; ④当a=e时,f'(x)≤0,函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为f(e)=2,与最小值是 矛 盾; ⑤当a>e时,f'(x)<0,函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为f(e)=1+ >2,与最小值是  矛盾. 综上所述,a的值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.解决不等式恒成立问题的方法 (1)取主元(给定范围内任意取值的变量),结合参数分类,利用最值或数形结合解决 有关不等式恒成立问题. (2)将主元与参数分离变量,将不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解决. 在定义域内,对于任意的x,都有f(x)≥a成立,可转化为f(x)min≥a;对于任意的x,都有 f(x)≤a成立,可转化为f(x)max≤a. 2.证明不等式问题,可以将不等式问题转化为函数最值问题来证明. 2 利用函数的最值解决与不等式有关的问题 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用  典例　设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0). (1)求f(x)的最小值h(t); (2)在(1)的基础上,若h(t)<-2t+m对任意t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围; (3)在(1)的基础上,若对任意的t1,t2∈(0,2),都有h(t1)<-2t2+n,求实数n的取值范围. 思路点拨    (1)将f(x)配方 利用二次函数的性质求最小值h(t). (2)构造函数g(t)=h(t)-(-2t+m),t∈(0,2) 求g(t)的最大值 根据恒成立列不等 式 解得实数m的取值范围. (3)求h'(t) 求h(t)在区间(0,2)上的最大值 令φ(t)=-2t+n 根据恒成立列不 等式 解得实数n的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 解析    (1)由题意得f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0), ∴当x=-t时, f(x)取得最小值,为f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1. (2)记g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,t∈(0,2),则g'(t)=-3t2+3, 令g'(t)=0,得t=1或t=-1(舍去). 当t变化时,g'(t)与g(t)的变化情况如表所示. ∴当t=1时,g(t)取得极大值,也是最大值,为g(1)=1-m. ∵h(t)<-2t+m对任意t∈(0,2)恒成立, ∴g(t)<0对任意t∈(0,2)恒成立, 即g(t)在(0,2)内的最大值小于0, t (0,1) 1 (1,2) g'(t) + 0 - g(t) ↗ 极大值 ↘ 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 ∴1-m<0, ∴m>1. ∴m的取值范围为(1,+∞). (3)由(1)知h(t)=-t3+t-1, ∴h'(t)=-3t2+1, 令h'(t)=0,得t= 或t=- (舍负). 当0<t< 时,h'(t)>0, 当 <t<2时,h'(t)<0, 当t= 时,h(t)取得极大值,也是最大值, ∴当x∈(0,2)时,h(t)max=h =- + -1= . 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 令φ(t)=-2t+n,t∈(0,2), 则φ(t)>n-4. 由题意可知 ≤n-4, 解得n≥ . ∴实数n的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.利用导数解决实际问题时,常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、 效率最高等问题,求解时需要分析问题中各个变量之间的关系,抓主元,找主线,把 “问题情境”翻译为数学语言,抽象成数学问题,再选择合适的数学方法求解,最 后经过检验得到实际问题的解. 2.解决优化问题的方法并不单一,运用导数求最值是解决这类问题的有效方法,有 时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合,多举并用,达到最佳效果. 3 导数在解决实际问题中的应用 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用  典例　已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件 需另投入2.7万元.设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件 的销售收入为R(x)万元,且 R(x)=  (1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的利润最大? (注:年利润=年销售收入-年总成本) 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 思路点拨    (1)利用函数值与自变量之间的关系,分段得出函数解析式. (2)根据(1)中得到的函数解析式的特点,利用导数和基本不等式,求出函数的最大 值及此时自变量的值. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 解析    (1)当0<x≤10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x- -10; 当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98- -2.7x. ∴W=  (2)①当0<x≤10时,由W'=8.1- =0,得x=9, 且当x∈(0,9)时,W'>0;当x∈(9,10]时,W'<0, ∴当x=9时,W取得极大值,也是最大值,且Wmax=8.1×9- -10=38.6. ②当x>10时,W=98- ≤98-2 =38, 当且仅当 =2.7x,即x= 时,等号成立, 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 故当x= 时,Wmax=38. 综合①②知,当x=9时,W取得最大值38.6. 故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的利润最大. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 素养　通过导数及其应用发展逻辑推理和数学运算的素养  素养解读  　　一直以来,以函数与导数为背景的题目都是高考题中的压轴题,着重考查 “四能”以及逻辑推理和数学运算的核心素养,发展探究、创新意识.这类题的 命制一般包含两个方面,一方面是求含参函数的有关性质,解题时需要对参数进 行分类讨论,主要运用分类讨论思想,通过掌握基本形式和规则,探索和表述解题 过程;另一方面是综合考查函数的单调性、极值、最值、零点等知识,求解时需 要结合转化与化归思想、函数与方程思想等,通过理解运算对象、掌握运算法 则、探究运算思路求得运算结果. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用  典例呈现   例题　已知函数f(x)=ex+ax2-x. (1)当a=1时,讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时, f(x)≥ x3+1,求a的取值范围. 解题思路    (1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1. 当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0; 当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0. 所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)f(x)≥ x3+1等价于 e-x≤1. 设函数g(x)= e-x(x≥0), 则g'(x)=- e-x 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 =- x[x2-(2a+3)x+4a+2]e-x =- x(x-2a-1)(x-2)e-x. 由g'(x)=0,得x1=2a+1,x2=2,x3=0,而定义域是[0,+∞),故g'(x)的正负与0,2,2a+1的大小 有关,故需进行分类讨论. (i)若2a+1≤0,即a≤- ,则当x∈(0,2)时,g'(x)>0. 所以g(x)在(0,2)上单调递增, 而g(0)=1, 故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不符合题意. (ii)若0<2a+1<2,即- <a< ,则当x∈(0,2a+1)∪(2,+∞)时,g'(x)<0; 当x∈(2a+1,2)时,g'(x)>0. 所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)上单调递减,在(2a+1,2)上单调递增. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 由于g(0)=1,所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7-4a)e-2≤1,即a≥ . 所以当 ≤a< 时,g(x)≤1. (iii)若2a+1≥2,即a≥ ,则g(x)≤ e-x. 由于0∈ ,故由(ii)可得 e-x≤1. 故当a≥ 时,g(x)≤1. 综上,a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用  思维升华  　　与导数相关的题目主要以压轴题的形式出现,相对比较综合,难度较大.不要 错误地认为完成了解题思路就理解了此类问题,应该勤下笔、勤反思、多计算、 多思考,增强数学运算、逻辑推理能力以及创新能力,争取做到举一反三,灵活解 决问题. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 $$