1.3.2 函数的极值与导数（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1.3.2　函数的极值与导数 1 | 函数极值的定义 1.极大值与极大值点 设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是区间(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值 都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0)),就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值,此时x0称为 f(x)的一个极大值点. 2.极小值与极小值点 设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是区间(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值 都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0)),就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值,此时x0称为 f(x)的一个极小值点. 3.极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 　　如果函数y=f(x)在某个区间内有导数,就可按下列步骤求它的极值: (1)求导数f'(x). (2)求f(x)的驻点,即求方程f'(x)=0的解. (3)对于方程f'(x)=0的每一个解x0,分析f'(x)在x0左右两侧的符号(即讨论f(x)的单调 性),确定极值点: ①若f'(x)在x0两侧的符号为“左正右负”,则x0为极大值点; ②若f'(x)在x0两侧的符号为“左负右正”,则x0为极小值点. (4)求出各极值点的函数值,就得到函数y=f(x)的全部极值. 2 | 函数极值的求法 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.导数为0的点一定是函数的极值点吗? 不一定.如函数f(x)=x3,其导数为f'(x)=3x2.当x=0时,有f'(0)=0,但x=0不是f(x)的极值点. 2.函数的极大值一定会大于函数的极小值吗? 不一定.如图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,但f(x1)<f(x4). 3.函数y=f(x)一定有极大值和极小值吗? 不一定.在定义域上单调的函数一定没有极值. 知识辨析 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 4.函数的极大(小)值是不是唯一的? 不一定.一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以有一个或多个. 5.若函数f(x)在(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不单调,对吗? 对. 6.在可导函数的极值点处,切线一定与x轴平行或重合吗? 一定.可导函数在极值点处的导数为零,即切线的斜率为0,故切线与x轴平行或重合. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.求可导函数f(x)的极值时可直接按照求极值的步骤进行求解,特别地,由f'(x)=0求 出全部的根后,可通过列表把x, f'(x), f(x)在每个区间内的变化情况表示出来,再求 极值. 2.有关含参数的函数的极值问题 　　求含参数的函数的极值时,要根据f'(x)=0的不同类型对参数进行分类讨论.通 常要考虑以下几个方面: ①方程f'(x)=0有无实数根; ②方程f'(x)=0的实数根是否在定义域内; ③方程f'(x)=0的实数根之间的大小关系. 通过列表得到函数的极值. 1 利用导数解决函数的极值问题 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用  典例    已知函数f(x)=(x2+mx-2m2+3m)·ex(x∈R),当m∈R且m≠ 时,求函数的极 值. 思路点拨　求f'(x) 解方程f'(x)=0 分类讨论,列表 得解. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 解析    由题意得, f'(x)=[x2+(m+2)x-2m2+4m]ex. 令f'(x)=0,得x=-2m或x=m-2. 由m≠ 知,-2m≠m-2. 分以下两种情况讨论: ①若m> ,则-2m<m-2. 当x变化时, f'(x), f(x)的变化情况如表所示. x (-∞,-2m) -2m (-2m,m-2) m-2 (m-2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 得极小值,且极小值为f(m-2)=(4-3m)em-2. ②若m< ,则-2m>m-2. 当x变化时,f '(x), f(x)的变化情况如表所示. ∴函数f(x)在x=m-2处取得极大值,且极大值为f(m-2)=(4-3m)em-2;函数f(x)在x=-2m处 取得极小值,且极小值为f(-2m)=3me-2m. x (-∞,m-2) m-2 (m-2,-2m) -2m (-2m,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴函数f(x)在x=-2m处取得极大值,且极大值为f(-2m)=3me-2m;函数f(x)在x=m-2处取 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 　　由函数的极值求参数的值或范围,解题的切入点是明确极值存在的条件:极 值点处的导数值为0,极值点两侧的导数值异号.解题步骤如下: ①求函数的导函数f'(x); ②由极值点处的导数值为0,列出方程(组),求解参数的值或范围. 注意:求出参数的值后,一定要验证其是否满足题目的条件. 2 利用函数的极值求参数的值或范围 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用  典例    (1)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,求a,b的值; (2)已知函数f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数)在区间(1,+∞)内有两个极 值点,求实数m的取值范围. 思路点拨    (1)求f'(x) 建立关于a,b的方程组 解方程组 求出a,b的值并 检验; (2)由题意知,f'(x)的图象在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,据此列不等式组  解关于m的不等式组 得到m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 解析    (1)由f(x)=x3+ax2+bx+a2得 f'(x)=3x2+2ax+b, 依题意得 整理得  解得 或  当a=-3,b=3时, f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,当且仅当x=1时取等号, 故f(x)在R上单调递增,不可能在x=1处取得极值,所以a=-3,b=3不符合题意,舍去. 当a=4,b=-11时,经检验符合题意,故a,b的值分别为4,-11. (2)由f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x得 f'(x)=x2-(m+3)x+m+6. 因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点, 所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6的图象在(1,+∞)内与x轴有两个交点,如图所示. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 所以  解得m>3.故实数m的取值范围是(3,+∞). 易错警示    解决利用极值求函数中的参数问题时,要注意f'(x0)=0是x0为极值点的 必要不充分条件,(1)中由f'(1)=0及f(1)=10求出a,b的值后,应注意检验极值的存在 条件,防止漏掉检验导致解题错误. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 1.利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函 数的大致图象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个 数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便. 2.利用导数解决函数的零点问题时,可通过极值的正用和逆用,结合分类讨论、数 形结合等思想方法进行有效处理,解题的关键是掌握求单调区间和极值的方法. 3 利用函数极值解决函数零点（方程根）问题 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用  典例　已知函数f(x)=x3-6x2+9x+3,若函数f(x)的图象与y= f'(x)+5x+m的图象有三 个交点,求实数m的取值范围. 思路点拨　根据题意得到f'(x),将函数f(x)的图象与y= f'(x)+5x+m的图象有三个交 点转化为方程f(x)= f'(x)+5x+m有三个不相等的实根,进一步转化为函数g(x)=f(x)-  f'(x)-5x-m的图象与x轴有三个交点,利用导数求g(x)的极值,通过判断极值的符号 得到m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 解析    由f(x)=x3-6x2+9x+3,可得f'(x)=3x2-12x+9,则y=  f'(x)+5x+m= (3x2-12x+9)+5x +m=x2+x+3+m. 函数f(x)的图象与y= f'(x)+5x+m的图象有三个交点等价于方程x3-6x2+9x+3=x2+x+ 3+m有三个不相等的实根,即x3-7x2+8x-m=0有三个不相等的实根. 令g(x)=x3-7x2+8x-m,则g(x)的图象与x轴有三个交点. 易得g'(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4), 令g'(x)=0,得x= 或x=4. 当x变化时,g'(x)与g(x)的变化情况如下表: x  -∞,        ,4  4 (4,+∞) g'(x) + 0 - 0 + g(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 则函数g(x)的极大值为g = -m,极小值为g(4)=-16-m. 由g(x)的图象与x轴有三个交点, 得 解得-16<m< . ∴实数m的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 第一章 导数及其应用 $$