6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（苏教版2019）

6.3　空间向量的应用 6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量　　 6.3.2　空间线面关系的判定 基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　直线的方向向量与平面的法向量 1.(多选题)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则(　　) A. B. C.直线AB的一个方向向量是(-2,-1,0) D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5) 2.在空间直角坐标系O-xyz中,经过点P(x0,y0,z0)且法向量为m=(A,B,C)的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.若平面α的方程为x+2y+z-1=0,则平面α的一个法向量为　　　　.  3.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.在“鳖臑”A-BCD中,AB⊥平面BCD,∠BDC=90°,BD=AB=CD.若建立如图所示的空间直角坐标系,则平面ACD的一个法向量为　　　　.  题组二　利用空间向量解决空间中的平行关系 4.(教材习题改编)已知直线l的方向向量为m=,平面α的法向量为n=(-3,x,2),且l∥α,则实数x等于(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.-2　　　　D.-1 5.(多选题)已知平面α与平面β平行,若平面α的一个法向量为n=(-1,2,-3),则平面β的法向量可以是(　　) A.(1,-2,3) B.(-1,-2,3) C.(2,-4,6) D.(2,-4,-6) 6.若a=是平面α的一个法向量,且向量b=(-1,2,1),c=与平面α都平行,则向量a=　　　　.  题组三　利用空间向量解决空间中的垂直关系 7.(教材习题改编)已知平面α的一个法向量为m=(2,3,-1),平面β的一个法向量为n=(4,k,2),若α⊥β,则k=(　　) A.-2　　　　B.2　　　　C.6　　　　D.-6 8.(多选题)如图,在五面体ABCDFE中,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD与四边形ABEF全等,且AB⊥AD,AB∥CD,AB=2,CD=1,则下列说法正确的是(　　) A.AD⊥BE B.若G为棱CE的中点,则DF⊥平面ABG C.若AD=CD,则平面ADE⊥平面BDE D.若AE=,则平面ADE⊥平面BCE 9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点.求证:BN⊥平面C1MN. 能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　利用空间向量解决空间中的位置关系 1.下列命题正确的是(　　) A.直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量为b=(1,2,1),则l⊥m B.直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则l⊥α C.两个不同的平面α,β的法向量分别为n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),则α∥β D.平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量b=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则t=1 2.如图,在正三棱锥D-ABC中,AB=,DA=2,O为底面ABC的中心,点P在线段DO上,且(0≤λ≤1),若PA⊥平面PBC,则实数λ=(　　) A. B.- C. D. 3.(多选题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=AA1=2,P,Q,R分别是AB,BB1,A1C上的动点,下列结论正确的是(　　) A.对于任意给定的点P,存在点Q使得D1P⊥CQ B.对于任意给定的点Q,存在点R使得D1R⊥CQ C.当AR⊥A1C时,AR⊥D1R D.当A1C=3A1R时,D1R∥平面BDC1 4.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面ADD1A1内(包含边界)一点,若PC1∥平面AEF,则点P的轨迹长度为　　　　.  5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M在线段CC1上,且,点P在平面A1B1C1D1上,且AP⊥平面MBD1,则线段AP的长度为　　　　.  6.在棱长为9的正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E,F分别在棱AB,DD'上,满足=2,P是直线DD'上一点,且PB∥平面CEF,则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为　　　　.  7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1,D为BC的中点.求证: (1)A1B∥平面ADC1; (2)平面ADC1⊥平面BB1C1C. 题组二　利用空间向量解决探索性问题 8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M,N分别为AC,B1C1的中点. (1)求证:MN∥平面ABB1A1; (2)在线段CC1上是否存在点Q,使得A1B⊥平面MNQ?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 9.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,点E在线段PC上(不含端点). (1)是否存在点E,使得PC⊥平面BDE? (2)是否存在点E,使得平面PCD⊥平面AED? 答案与分层梯度式解析 6.3　空间向量的应用 6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 6.3.2　空间线面关系的判定 基础过关练 1.ACD 4.C 5.AC 7.A 8.ABC 1.ACD　由A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),得=(-3,1,1). 对于A,因为=-2+2+0=0,所以,故A正确; 对于B,cos<,故B错误; 对于C,因为(-2,-1,0)=-,所以向量(-2,-1,0)与平行, 所以直线AB的一个方向向量是(-2,-1,0),故C正确; 对于D,设n=(1,-2,5),则n·=2-2+0=0,n·=-1-4+5=0,所以n⊥,n⊥,又AC∩AB=A,AC,AB⊂平面ABC,所以n⊥平面ABC,即n=(1,-2,5)是平面ABC的一个法向量,故D正确. 故选ACD. 2.答案　(1,2,1)(答案不唯一) 解析　x+2y+z-1=0可化为1×(x-0)+2(y-0)+1×(z-1)=0,所以由题意可得平面α的一个法向量为(1,2,1).(答案不唯一) 3.答案　(0,1,1)(答案不唯一) 解析　设BD=AB=CD=1,则D(0,1,0),C(1,1,0),A(0,0,1),故=(0,1,-1), 设平面ACD的一个法向量为m=(x,y,z), 则则x=0,令y=1,得z=1, 则m=(0,1,1), 所以m=(0,1,1)是平面ACD的一个法向量.(答案不唯一) 4.C　因为l∥α,所以m⊥n,所以m·n=0,即3+2x+1=0,解得x=-2.故选C. 5.AC　因为平面α与平面β平行,所以平面α的法向量与平面β的法向量平行. 对于A,若(1,-2,3)=λ(-1,2,-3),则解得λ=-1,故A正确; 对于B,若(-1,-2,3)=λ(-1,2,-3),则无解,故B错误; 对于C,若(2,-4,6)=λ(-1,2,-3),则解得λ=-2,故C正确; 对于D,若(2,-4,-6)=λ(-1,2,-3),则无解,故D错误. 故选AC. 6.答案　 解析　由题意得 所以 所以a=. 7.A　因为α⊥β,所以m⊥n,所以m·n=8+3k-2=0,解得k=-2.故选A. 8.ABC　因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AD⊂平面ABCD,AB⊥AD,所以AD⊥平面ABEF,又BE⊂平面ABEF,所以AD⊥BE,故A正确. 若CE的中点为G,连接AG,BG.依题意知,AF,AB,AD互相垂直,故以A为原点,AB,AD,AF所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 设AD=AF=a,则A(0,0,0),D(0,a,0),B(2,0,0),F(0,0,a),G,所以. 因为=0, 所以,即DF⊥AB,DF⊥AG, 又AB∩AG=A,AB,AG⊂平面ABG, 所以DF⊥平面ABG,故B正确. 若AD=CD=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),B(2,0,0),E(1,0,1),所以=(-1,0,1), 设平面ADE的一个法向量为m1=(x1,y1,z1), 则 令x1=1,得m1=(1,0,-1). 设平面BDE的一个法向量为n1=(a1,b1,c1), 则 令a1=1,则b1=2,c1=1,所以n1=(1,2,1), 因为m1·n1=0,所以m1⊥n1, 所以平面ADE⊥平面BDE,故C正确. 若AE=,则AF=,则A(0,0,0),D(0,,0),所以), 设平面ADE的一个法向量为m2=(x2,y2,z2), 则 则y2=0,令z2=-1,得x2=,则m2=(,0,-1). 设平面BCE的一个法向量为n2=(a2,b2,c2), 则 令b2=1,得a2=,c2=1,则n2=(,1,1), 因为m2·n2=2+0-1=1,所以m2与n2不垂直, 故平面ADE⊥平面BCE不成立,故D错误. 故选ABC. 9.证明　以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系C-xyz,如图所示: 则B(0,1,0),C1(0,0,2),M,N(1,0,1). 证法一:=(1,-1,1). 设平面C1MN的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令x=1,则y=-1,z=1,∴n=(1,-1,1), ∴∥n,∴BN⊥平面C1MN. 证法二:=(1,-1,1), ∴=1×1+0×(-1)+(-1)×1=0, ∴,即C1M⊥BN,C1N⊥BN, 又C1M∩C1N=C1,C1M⊂平面C1MN,C1N⊂平面C1MN,∴BN⊥平面C1MN. 方法总结　利用空间向量的方法证明线面位置关系时,可应用线面位置关系的判定定理进行证明,也可用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系进行证明. 能力提升练 1.C 2.D 3.ABD 1.C　对于A,因为a·b=1-2+2=1≠0,所以a与b不垂直,所以l与m不垂直,故A错误; 对于B,因为a·n=0-1+1=0,所以a⊥n,所以l∥α或l⊂α,故B错误; 对于C,由题知,n2=-2n1,所以n1∥n2,所以α∥β,故C正确; 对于D,易得=(-2,2,1),因为b=(1,u,t)是平面α的一个法向量, 所以故D错误. 故选C. 2.D　以O为坐标原点,OD所在直线为z轴,过点O且平行于BC的直线为x轴,过点O且垂直于BC的直线为y轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,-1,0),B),所以,0,0),由可得P(0,0,λ), 所以, 设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z), 则 则x=0,令z=1,得y=2λ,则m=(0,2λ,1), 又PA⊥平面PBC,所以=km且k为实数, 则故λ=.故选D. 3.ABD　如图所示,建立空间直角坐标系D-xyz, 则D(0,0,0),D1(0,0,2),A(2,0,0),A1(2,0,2),C(0,2,0). 设P(2,a,0),Q(2,2,b),a∈[0,2],b∈[0,2], 则=4-2b,当b=2时,D1P⊥CQ,故A正确; 设,λ∈[0,1],可得R(2-2λ,2λ,2-2λ),则=2(2-2λ)-2λb,取λ=,此时D1R⊥CQ,故B正确; 当AR⊥A1C时,λ,2-2λ)·(-2,2,-2)=4λ+12λ-4+4λ=0,解得λ=, 此时≠0,故C错误; 当A1C=3A1R时,λ=,则R,易知,2),设平面BDC1的一个法向量为n=(x,y,z), 则取y=-1,得x=,∴n=(),故·n=0,又D1R⊄平面BDC1,∴D1R∥平面BDC1,故D正确. 故选ABD. 4.答案　 解析　以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图,分别取AA1,A1D1的中点M,N,连接MN,MC1,NC1, 则M,A(1,0,0), 所以, 故,即MN∥EF, 又MN⊄平面AEF,EF⊂平面AEF, 所以MN∥平面AEF,同理可得NC1∥平面AEF, 又MN∩NC1=N,MN,NC1⊂平面MNC1, 所以平面MNC1∥平面AEF, 因为P是侧面ADD1A1内(包含边界)一点,PC1∥平面AEF, 所以点P必在线段MN上,即点P的轨迹为线段MN, 所以点P的轨迹长度为|. 5.答案　 解析　以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图, 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),C1(0,1,1),所以=(-1,-1,1), 因为,所以M是线段CC1上靠近点C的三等分点,故M,所以, 由点P在平面A1B1C1D1上,可设P(x,y,1)(0≤x≤1,0≤y≤1),则=(x-1,y,1), 由AP⊥平面MBD1,得 解得, 则|. 6.答案　178π 解析　以D为原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),由已知得E(9,6,0),C(0,9,0),F(0,0,3),B(9,9,0),设P(0,0,t),所以=(9,9,-t).设平面CEF的一个法向量为n=(x,y,z),则不妨令z=3,则y=1,x=,所以n=.因为PB∥平面CEF,所以·n=0,即×9+1×9-3t=0,解得t=4,所以P(0,0,4).因为PD⊥平面ABCD,且底面ABCD是正方形,所以四棱锥P-ABCD的外接球的直径就是PB,由=(9,9,-4),得|,所以其外接球的表面积S=4π=178π. 7.证明　(1)由题知,A1B1,A1C1,A1A互相垂直,以A1为原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图, 设AB=AC=AA1=2,则A1(0,0,0),B(2,0,2),A(0,0,2),C(0,2,2),D(1,1,2),C1(0,2,0), ∴=(0,2,-2), 设平面ADC1的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令x=1,得y=-1,z=-1,则n=(1,-1,-1), ∵n·=2+0-2=0,且A1B⊄平面ADC1, ∴A1B∥平面ADC1. (2)由(1)知,=(-1,1,-2), 设平面BB1C1C的一个法向量为m=(a,b,c), 则 令a=1,得b=1,c=0,则m=(1,1,0), 由(1)知,平面ADC1的一个法向量为n=(1,-1,-1), ∵n·m=1-1+0=0,∴n⊥m, ∴平面ADC1⊥平面BB1C1C. 8.解析　(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥CC1,BC⊥CC1,AC⊥BC,所以CB,CC1,CA两两垂直, 故以C为原点,CB,CC1,CA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz, 设AC=2,则M(0,0,1),A(0,0,2),B(2,0,0),N(1,2,0),B1(2,2,0), 所以=(2,2,-2), 设平面ABB1A1的一个法向量是n=(x,y,z), 则 令x=1,得y=0,z=1,则n=(1,0,1), 故·n=1+0-1=0,即⊥n, 又MN⊄平面ABB1A1,所以MN∥平面ABB1A1. (2)假设在线段CC1上存在点Q,使得A1B⊥平面MNQ, 由(1)知,=(1,2,-1), 设CQ=y0,0≤y0≤2,则Q(0,y0,0), 所以=(0,y0,-1), 设平面MNQ的一个法向量是m=(a,b,c), 则 令b=1,得a=y0-2,c=y0,则m=(y0-2,1,y0), 由A1B⊥平面MNQ,得A1B∥m,即存在实数λ,满足m=λ,即(y0-2,1,y0)=λ(2,-2,-2), 即 因此CQ=1,即Q是CC1的中点, 所以在线段CC1上存在点Q,使得A1B⊥平面MNQ,此时. 方法总结　利用向量解决位置关系的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”. 9.解析　∵底面ABCD为正方形, ∴AB⊥AD,又PA⊥平面ABCD, ∴以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=a,AP=c,a>0,c>0,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,c). (1)=(a,0,-c), 设,0<λ<1, 则=λ(a,a,-c)-(a,0,-c)=(λa-a,λa,c-λc). 设平面BDE的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令x=1,则y=1,z=,∴n=. 若PC⊥平面BDE,则∥n, ∴,解得λ=, 易知0<<1, 故存在点E,使得PC⊥平面BDE. (2)=(0,0,-c),设平面PCD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), 则 则x1=0,令y1=c,得z1=a,∴n1=(0,c,a). 设=μ ,0<μ<1, 则=(μa,μa,c-μc), 易知=(0,a,0). 设平面AED的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 则y2=0,令x2=-c,得z2=, ∴n2=. 若平面PCD⊥平面AED, 则n1·n2=0,即=0,此方程无解, ∴不存在点E,使得n1⊥n2, 即不存在点E,使得平面PCD⊥平面AED. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$