2.3 绝对值和相反数 学案 2025--2026学年苏科版七年级数学上册

第二章 有理数 2.3 绝对值与相反数 【学习目标】 1. 借助数轴，使学生认识相反数 2. 会求一个有理数的相反数 3. 了解互为相反数的两个数在数轴上的位置关系 4. 借助数轴引出绝对值的概念，了解绝对值的性质，特征 5. 会求一个数的绝对值和相反数，利用绝对值来比较两个负数的大小 6. 通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用 7. 在学习绝对值和相反数的过程中，理解数形结合等思想方法，培养概括能力 重点：理解绝对值的含义；理解相反数的含义； 难点：求一个数的绝对值；比较两个负数的大小；理解相反数的意义。 【要点梳理】 要点一、绝对值 定义： 一般地，数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。 例如+5的绝对值等于5，记作|+5|=5；-2的绝对值等于2，记作|-2|=2 ① 一个正数的绝对值等于它本身 ② 一个负数的绝对值等于它的相反数 ③ 0 的绝对值是0 (1) 当 a 是正数时，|a|= a (2) 当 a 是负数时，|a|= -a (3) 当 a 是 0 时，|a|=0 综上，即对于任何有理数a都有： 绝对值在数轴上的几何意义：离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．绝对值永远大于等于0，不可能为负。 要点二、相反数 1．定义：符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数。如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0． （1）互为相反数的两个数分别在原点的两旁，且到原点的距离相等（这两个点关于原点对称） （2）0的相反数是0 （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数 （4）在一个数的前面添上“ - ”号，就表示这个数的相反数，如：-5是5的相反 数，-a是a的相反数。当a是负数时，-a是一个正数 （5）互为相反数的两数和为0 要点三、多重符号的化简 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ． （1） 在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋2＝2，＋（－2）＝－2． （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－2）就是－2的相反数，因此，－（－2）＝2 要点四、有理数的大小比较 1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小．如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2．法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数字就大 同为负号：绝对值大的数字反而小 用绝对值比较两个负数大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值； （2）比较绝对值的大小： （3）负数绝对值大的，数字反而小 两数异号 正数大于负数 非零与零 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 3．作差法：设a、b为任意数 若a-b＞0，则a＞b 若a-b＝0，则a＝b 若a-b＜0，a＜b；反之成立 4． 求商法：设a、b为任意正数 若，则 若，则 若，则 反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反． 5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小． 【典型例题】 1．若m与n互为相反数，则|m+n+5|=　 　． 【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知，代入上式可得：|m+n+5|=|0+5|=5 【答案】5 【总结升华】若互为相反数，则或． 2．若|x+2|与0互为相反数，则x=　 　． 【答案】-2. ∵|x+2|与0互为相反数， ∴|x+2|=0， ∴x+2=0 解得x=-2 3．化简下列各数． ①； ②； ③ ；④；⑤ 【解析】①表示-3的相反数，所以； ②表示+3的相反数，所以； ③ 前面共有2个“-”号，为偶数个，而“+”可以省略，所以； ④中共有3个“-”号，即奇数个，而“+”可以省略，所以 =-3； ⑤中共有4个“-”号，即偶数个，而 “+”可以省略，所以 【答案】①3； ②；③3；④-3；⑤3 【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负． 4．如果|x|＝5，|y|＝3，且x＜y．试求x、y的值． 【解析】5和-5的绝对值都等于5，3和-3的绝对值都等于3，所以要注意分类讨论． 【答案】因为|x|＝5，所以x＝5或x＝-5 因为|y|＝3，所以y＝3或y＝-3 由于x＜y，故x只能是-5，因此x＝-5，y＝±3或x＝-5，y＝3或-3． 【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数． 5．|x-1|+|x-2|+|x-3| 的最小值为 ( ) A、1 B、2 C、3 D、4 【解析】根据题意，将数轴分成4个区域： X<1; 原式=1-x+2-x+3-x=6-3x>3 1≤X<2； 原式=x-1+2-x+3-x=4-x>2 2≤X<3； 原式=x-1+x-2+3-x=x≥2 3≤X； 原式=x-1+x-2+x-3=3x-6≥3 【答案】B 6．如果数轴上的点A到原点的距离是3，则点A表示的数为 ． 如果｜x+2｜＝1，那么x＝ ； 如果｜x｜< 3，那么x的范围是 ． 【答案】3或-3；-1或-3； 7．比较下列每组数的大小： (1)-(-2)与-|-2|；(2)-(+5)与0；(3)与；(4)与． 【答案与解析】 (1)化简：-(-2)＝2，-|-2|＝-2． 因为正数大于一切负数，所以-(-2)＞-|-2|． (2)化简：-(+5)＝-5．因为负数小于零，所以-(+5)＜0． (3)化简：=-，这是两个负数比较大小，因为，，且．所以． (4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|． 【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断． 8．若﹣2＜x＜6，则|x+2|﹣|x﹣6|=　 ． 【解析】根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； 当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+2|=x+2，|x﹣6|=﹣x+6， 原式=x+2﹣（﹣x+6） =x+2+x﹣6 =2x﹣4 【答案】2x﹣4 【总结升华】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+2，x﹣6的正负性． 9．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示： 　　　　　 　　 化简： 【答案】由图所示，可得 ∴ ，， ∵ ∴ 原式 10．已知a、b为有理数，且满足：，则a=_______，b=________． 【解析】由，，， 可得 ∴ 【答案】a=___-___，b=___2___． 【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0． 11．有理数a、b、c、d在数轴上的位置如图所示，下列结论中不正确的是（ ） A． B．c+d＞0 C． D． 【解析】根据数轴上各数的位置判断其大小和绝对值大小，再按照选项进行计算 由数轴可知大小关系为 选项A中，且，得，正确； 选项B中，且，得，正确； 选项C中，，，，错误； 选项D中， ，，，正确． 【答案】选C． 【总结升华】本题考查数轴上数的大小判断、绝对值的计算和有理数加减结果的符号判断，根据大小进行判断和正确的化简绝对值是解题的关键． 12*．我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是 ； (2)当取最小值时，x可以取整数 ； (3)最大值为 ； (4)的最小值为 ； 【答案】 （1）解：由题意可知，式子可以表示成, 在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离． （2）解：根据题意可得， 的几何意义是数轴上表示有理数x到的距离与x到3的距离之和， ∴当时，取最小值， 即当x可以取整数，0，1，2，3； 故答案为：，0，1，2，3． （3）解：的几何意义是表示x的点到的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离， 时取得最大值， 的最大值是：． （4）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示x的点到表示的点和到表示的点和表示1的点的距离之和， 当表示x的点在表示的点到表示1的点的线段上，有最小值，即， 当时，的值最小，最小值为7； 故答案为：7 13*．若|a-2|=5, |b|=9,且|a+b|+a+b=0,求a-b 【答案】∵ |a-2|=5，|b|=9 ∴ a=7或-3 b=±9 又∵|a+b|+a+b=0 ∴ |a+b|=-（a+b） ∴ a+b≤0 ∴ b≠9，只能=-9 ∴ a-b=16或6 14*．设abc<0，且a+b+c=0， 【答案】由题意可知，a,b,c为两正一负 当a>0，b>0,c<0,原式=-1-1-1=-3 当a>0，b<0,c>0,原式=-1+1+1=1 当a<0，b>0,c>0,原式=1-1+1=1 综上，答案是1或-3 学科网（北京）股份有限公司 $$